Анализ и построение функции Боде преобразователей постоянного напряжения с помощью простейших эквивалентных схем малого сигнала

Объединенная эквивалентная трансформаторная схема малого сигнала понижающего-повышающего преобразователя постоянного напряжения представлена в работе [1] и имеет вид, показанный на рис. 1.

Рис. 1. Объединенная эквивалентная трансформаторная схема малого сигнала понижающего-повышающего преобразователя

Передаточная функция G_vg(s) между выходом и входом преобразователя определяется установкой вариаций рабочего цикла равного нулю и последующим нахождением передаточной функции от до :

Передаточная функция (1) описывает, как изменения или возмущения приложенного входного напряжения приводят к нарушениям выходного напряжения . Это важно при проектировании регулятора выходного напряжения в преобразователях постоянного напряжения (в конвертерах). Например, в автономном источнике питания входное напряжение v_g(t) содержит нежелательные четные гармоники напряжения сети переменного тока. Передаточная функция G_vg(s) используется для определения влияния этих гармоник на выходное напряжение v(t) преобразователя.

Передаточная функция G_vg(s), которая описывает связь между управлением рабочим циклом и выходным напряжением, находится путем установки изменений входного напряжения на ноль и последующего получения модели эквивалентной схемы для определения в функции от [1, 2, 3, 4]:

Эта передаточная функция описывает, как изменения управляющего входа влияют на выходное напряжение v(t). В системе регулятора входного напряжения G_vg(s) является ключевым компонентом и оказывает существенное влияние на характеристики регулятора.

Выходной импеданс Z_вых(s) определяется при условии, что переменные и равны нулю. Z_вых(s) описывает, как изменения в токе нагрузки влияют на выходное напряжение. Количественная оценка этой величины также важна для регуляторов напряжения.

Входное сопротивление Z_вх(s) преобразователя играет существенную роль, когда на входе питания преобразователя добавлен фильтр электромагнитных помех (ФЭП). Отметим, что величины Z_вх(s) и Z_вых(s) фильтра в целом влияют на передаточную функцию преобразователя G_vg(s), что необходимо учитывать при проектировании полупроводниковых преобразователей.

Правила построения амплитудных и фазовых асимптот рассматриваются ниже, включая два типа особенностей, которые часто появляются в передаточных функциях преобразователя: резонансы и нули в правой части полуплоскости. Диаграммы Боде для передаточной функции при малосигнальном анализе повышающего преобразователя приведены в работах [3, 4, 5, 6, 7, 8].

Трудность, с которой сталкиваются при анализе схем, — это сложность модели схемы: практическая схема может содержать сотни элементов, и, следовательно, их анализ может привести к сложным выводам, неразрешимым уравнениям и множеству алгебраических ошибок. Некоторые инструменты, предназначенные для проектирования сложной преобразовательной системы, описаны в работах [1, 2, 3, 4, 5]. Представление передаточных функций в нормализованной форме напрямую раскрывает важные особенности реакции схемы. Аналитические выражения для этих функций и асимптот приводят к простым уравнениям, которые можно использовать при проектировании преобразователей.

Хорошо разделенные корни полиномов передаточной функции могут быть аппроксимированы простым способом. Ниже описывается графический метод построения графиков Боде передаточной функции по существу, путем проверки. Этот метод может:

• уменьшить объем алгебры и связанной с ней алгебраических ошибок;
• привести к более глубокому пониманию поведения схемы;
• привести к пониманию, необходимому для получения подходящих приближений, которые сделают уравнения легко описываемыми.

Для лучшего усвоения приведенных вопросов приведем краткий обзор графиков Боде для простых схем.

Величина передаточной функции G в безразмерной форме в децибелах имеет следующий вид:

Когда описываемый параметр имеет размерность, эту величину необходимо нормализовать с помощью деления на базовую величину. Например, для представления сопротивления в децибелах следует выполнить деление на величину базового сопротивления:

где R_баз — величина базового сопротивления. Значение величины базового сопротивления выбирают произвольно, но нужно уточнить, какое базовое значение используется. Например, если ||Z|| = 5 Ом и выбрано R_баз = 10 Ом, то ||Z||_дБ = 20lg(5/10) = –6 дБ относительно 10 Ом.

В практических расчетах для удобства базовое сопротивление выбирается R_баз = 1 Ом и считается, что импеданс при этом выражен в децибел-омах (дБОм). Таким образом, при импедансе 5 Ом его эквивалент равен ||Z||_дБ = 20lg(5/1) = 14 дБ.

При оценке гармоник входного тока преобразователя часто выбирают базовый ток 1 мкА. Например, если ток равен 1000 мкА, то его эквивалент в дБ равен 60 дБ.

Рассмотрим простую однополюсную схему, простой RC-фильтр нижних частот, показанный на рис. 2.

Рис. 2. Простой RC-фильтр нижних частот

Передаточная функция определяется отношением выходного и входного напряжений:

Передаточная функция фильтра совпадает со следующей стандартной нормализованной формой для одного полюса:

где параметр w₀ = 2pf₀, находится приравниванием коэффициентов при s в формулах (5) и (6):

w₀ = 1/RC.                          (7)

Поскольку R и C вещественные положительные величины, то w₀ тоже вещественная положительная величина. Знаменатель уравнения (6) содержит корень при s = –w₀ и, следовательно, G(s) содержит действительный полюс в левой половине комплексной плоскости. Чтобы найти величину и фазу передаточной функции, положим s = jw (j² = –1). При s = jw из (4) получим:

и, соответственно, в децибелах получим вид:

Самый простой способ изобразить график Боде для G(jw) — исследовать асимптотическое поведение этой функции при высоких и низких частотах.

Для малой частоты w<< w₀, или f<<f₀ и

с учетом (10) и (11) получим:

При высоких частотах

Из (14) получим:

Отклонение точной кривой от асимптот можно найти, просто вычислив уравнение (9) на угловой частоте w = w₀:

В децибелах величина равна:

На рис. 3 приведены графики функции Боде для амплитуды и фазы в соответствии со схемой на рис. 2, где красным цветом показан график асимптоты, который в частоте f₀ имеет максимальное отклонение 3 дБ.

Рис. 3. Резюме графика амплитуды и фазы Боде

Фаза передаточной функции G(jw) определяется из (6) и равна:

Фаза ∠G(jw) стремится к нулю на низкой частоте и к –90° на высокой частоте. При частоте f = f₀ ∠G(jw) = –45°. Поскольку высокочастотная и низкочастотная фазовые асимптоты не пересекаются, нужна третья асимптота для аппроксимации фазы на угловой частоте f₀. Один из способов сделать это проиллюстрирован на рис. 3, где наклон асимптоты выбран таким, чтобы он совпадал с наклоном фактической кривой при частоте f = f₀. Можно показать, что при таком выборе частоты пересечения асимптот f_a и f_b имеют вид [2, 3]:

Более простой вариант, с приемлемой точностью соответствующий реальной кривой, это:

f_a = f₀/10;

f_b = 10 f₀.                           (20)

Как видно на рис. 3, где эта асимптота сравнивается с реальной кривой, полюс вызывает изменение фазы в диапазоне частот примерно на две декады. Наклон асимптоты в этом диапазоне частот составляет –45° на декаду. В частотах излома f_a и f_b фактическая фаза отклоняется от асимптот примерно на 5,7°.

Обычно рекомендуется выражать однополюсные передаточные функции в нормализованной форме.

Уравнение (6) легко интерпретируется в w₀ = 2pf₀ благодаря его нормализованной форме. На низких частотах, где член (s/w₀) мал по величине, передаточная функция приблизительно равна 1. На высоких частотах (s/w₀>>1) передаточная функция приблизительно равна (s/w₀)^–1 или (f/f₀)^–1 (w₀ = 2pf₀). Таким образом, передаточная функция записывается непосредственно в терминах ее основных характеристик, то есть ее асимптот и угловых частот.

Схема с одиночным нулевым откликом

Схема с одним нулевым откликом содержит корень в числителе передаточной функции и может быть записана в следующей нормализованной форме:

Фаза задается:

При низких частотах фаза стремится к нулю, а при высоких частотах к +90°. Вне интервала частот f₀/10<f<10f₀ фазовая асимптота имеет наклон +45°/декада.

Нули правой полуплоскости

При малосигнальном анализе нули в передаточных функциях часто встречаются в правой полуплоскости:

Корень уравнения (24) положительный и, следовательно, лежит в правой половине комплексной s-плоскости. Передаточная функция имеет абсолютную величину аналогично (21):

Следовательно, только по абсолютному значению невозможно различить, находится ноль в правой полуплоскости или в левой полуплоскости.

Фаза задается ∠G(jw) = –arctg(w/w₀), и это совпадает с фазой схемы с одиночным нулевым откликом по формуле (18). То есть при нуле в правой полуплоскости отклик по амплитуде будет таким же, как и при нуле в левой полуплоскости, но фазовая характеристика аналогична полюсу. Амплитудно-фазовые характеристики приведены на рис. 4.

Рис. 4. Амплитудно-фазовые характеристики при нуле в правой полуплоскости

Две другие формы (перевернутый полюс и перевернутый ноль) возникают из-за инверсии оси частот.

Перевернутый полюс имеет передаточную функцию:

Преобразуя (25), получим:

Отметим, что перевернутый полюс имеет усиление на высоких частотах, равное 1, а асимптота на низких частотах имеет наклон +20 дБ/декада.

Перевернутый ноль имеет передаточную функцию:

Преобразуя (27), получим:

Примером использования передаточной функции этого типа является пропорционально-интегральный контроллер при построении связи с конструкцией контура обратной связи [3, 4].

Отметим, что перевернутый ноль имеет усиление на высоких частотах, равное 1, а асимптота на низких частотах имеет наклон –20 дБ/декада.

Квадратичный полюсный отклик (резонанс)

Рассмотрим теперь передаточную функцию G(s) двухполюсного фильтра частот (рис. 5). Отметим, что большинство понижающих-повышающих преобразователей содержат фильтр такого типа [2, 3, 8].

Рис. 5. Двухполюсный фильтр частот

Передаточная функция цепи (рис. 5) имеет следующий вид:

Передаточная функция (29) в знаменателе содержит многочлен второго порядка. Обозначая a₁ = L/R, a₂ = LC в (29), получим:

Чтобы построить график Боде этой передаточной функции, попробуем разложить знаменатель на два его корня:

Использование квадратичной формулы приводит к следующему выражению для корней:

Передаточная функция по уравнению (29) может быть записана в следующей стандартной нормализованной форме:

где w₀ = 1/√LC — собственная частота последовательного LC-контура, Q = R/r — добротность контура, r = √L/C — волновое сопротивление контура.

Абсолютное значение G(s) определяется выражением:

На низких частотах w/w₀<<1 и, следовательно, ||G(s)|| → 1 при w<< w₀.

При высоких частотах w/w₀>>1 член (w/w₀)⁴ доминирует в выражении внутри радикала уравнения (35). Следовательно, высокочастотная асимптота имеет вид:

Таким образом, высокочастотная асимптота имеет наклон –40 дБ/декада, асимптоты пересекаются в точке f = f₀ и не зависят от параметра Q. Параметр Q влияет на отклонение фактической кривой от асимптот в окрестности частот f₀ (рис. 6).

Рис. 6. Графики Боде передаточной функции для схемы второго порядка

Основные особенности графика Боде передаточной функции второго порядка приведены на рис. 6. Как видно из этих графиков, при увеличении добротности контура Q отклонение фактических кривых от асимптот в окрестности частот f₀ увеличивается.

Фаза функции G(s) определяется:

Фаза стремится к 0° на низкой частоте и к –180° на высокой. При частоте f = f₀ фаза равна –90°. Как показано на рис. 6, увеличение значения добротности Q вызывает более резкое изменение фазы между асимптотами 0° и 180°. Поэтому необходима асимптота на средней частоте, чтобы аппроксимировать фазовый переход в окрестности угловой частоты f₀. Как и в случае реального одиночного полюса, можно выбирать наклон этой асимптоты идентичным наклону реальной кривой при частоте f = f₀. Можно показать, что такой выбор приводит к следующим частотам изломов асимптот [3]:

Лучшим выбором, который согласуется с приближением (20), используемым для реального однополюсного соединения, является:

При таком выборе асимптота средних частот имеет наклон Q –180°/декада.

Приближение при низких значениях добротности Q

Как упоминалось выше, когда корни полиномиального уравнения второго порядка знаменателя (30) действительны, можно разложить знаменатель на множители и построить диаграмму Боде, применив асимптоты для действительных полюсов. В дальнейшем используется следующая нормализованная форма:

Это особенно желательно, когда угловые частоты w₁ и w₂ хорошо разделены по значению [3, 4, 7]. Сложность данной процедуры заключается в выражении угловых частот w₁ и w₂ в зависимости от элементов схемы R, L, C, что часто приводит к сложным и непонятным выражениям, особенно когда схема содержит много элементов. Даже в случае простой схемы (рис. 5), передаточная функция которой задается уравнением (30), эта обычная квадратная формула приводит к следующей сравнительно сложной формуле для угловых частот:

Данное уравнение практически не дает представления о том, как угловые частоты зависят от значений элементов. Например, можно показать, что, когда угловые частоты w₁ и w₂ хорошо разделены по значениям, они могут быть выражены с высокой точностью гораздо более простыми соотношениями [3, 4]:

В этом случае w₁, по существу, не зависит от значения емкости C, а w₂ — от значения индуктивности L, однако уравнение (38) очевидно показывает, что обе угловые частоты зависят от всех значений элементов. Простые выражения (39) намного предпочтительнее, чем уравнения (38), и могут быть легко получены с использованием приближения низкой добротности.

Предположим, что передаточная функция была выражена в стандартной нормализованной форме (30). Для Q ≤ 0,5 воспользуемся формулой корней квадратного уравнения, чтобы записать действительные корни много­члена знаменателя уравнения (34):

Угловую частоту w₂ можно выразить следующим образом:

где:

Отметим, когда Q<< 0,5, тогда 4Q²<< 1 и можно с высокой точностью определить, что когда Q быстрее уменьшается ниже Q< 1, тогда F(Q) стремится к 1 (рис. 7).

Рис. 7. Зависимость функции F(Q) при малых значениях добротности

Используя (43), (45) и (46), получим следующее выражение для w₁:

Так как F(Q) стремится к 1, когда Q<< 0,5, то, следовательно, из (47) получим:

w₁ = Qw₀, для Q<< 0,5.           (48)

Асимптотические величины для случая малых добротностей представлены на рис. 8; при Q< 0,5 два полюса в w₀ разделяются на реальные полюса: один действительный полюс находится на угловой частоте w₁< w₀, а другой — на угловой частоте w₂ > w₀.

Рис. 8. Асимптотические величины для случая малых добротностей

Угловые частоты легко аппроксимируются с помощью (45) и (48). Для схемы на рис. 5 параметры Q и w₀ задаются формулой (34). Для случая Q< 0,5 можно получить следующие простые аналитические выражения для угловых частот w₁ и w₂, используя (45) и (48):

Таким образом, приближение при низких значениях добротности позволяет получить простые аналитические выражения для определения угловых частот.

Рассмотренный способ получения передаточных функций и угловых частот можно обобщить и применять для определения параметров более сложных схем.

Приближение низкого значения добротности можно использовать, чтобы найти приближенное аналитическое выражение для корней n-порядка:

P(s) = 1 + a₁s + a₂s² + … + a_nsⁿ.       (50)

Желательно разложить полином P(s) на множители в виде:

P(s) = (1 + t₁s)(1 + t₂s)…(1 + t_ns).      (51)

Постоянные коэффициенты времени t₁, t₂ … t_n можно связать с исходными коэффициентами a₁, a₂ … a_n и произвести умножение в уравнении (51), в результате получим:

a₁ = t₁ + t₂ +… + t_n,

a₂ = t₁(t₂ +…+ t_n) + t₂(t₃ +…+ t_n) +…,

a₃ = t₁t₂(t₃ +…t_n) + t₂t₃(t₄ + … + t_n) + ….,

a_n = t₁t₂t₃ +…+ t_n.                   (52)

Общее решение этой системы уравнений сводится к точному разложению полинома произвольной степени на множители, что является безнадежной задачей. Тем не менее уравнение (52) дает способ аппроксимации корней. Предположим, что все константы t₁, t₂ … t_n действительны и хорошо разделены по значению. Без ограничения общности далее можно предположить, что константы расположены в порядке убывания величины:

|t₁|>>| t₂|>>| t₃|>>…>>| t_n|.          (53)

С учетом (53) из (52) получим:

a₁ ≈ t₁,

a₂ ≈ t₁t₂,

a₃ ≈ t₁t₂t₃,

a_n ≈ t₁t₂t₃ … t_n.                            (54)

Из (54) определяются константы времени t₁, t₂, t₃… t_n в следующем виде:

Соответственно, если:

то полином P(s) можно разложить на множители в следующем виде:

При нарушении первого неравенства выражения (56) первые два корня следует оставить в квадратичной форме.

В качестве примера рассмотрим схему фильтра электромагнитных помех (ФЭМП). На рис. 9 показана упрощенная схема входного каскада ФЭМП.

Рис. 9. Упрощенная схема входного каскада ФЭМП

Как известно, такие фильтры обычно размещаются на входе мощных преобразователей (конвертеров) для ослабления коммутационных гармоник, присутствующих во входном токе конвертера. Используя известные методы расчета электрических схем, можно легко получить для фильтра схемы на рис. 9 передаточную функцию в следующем виде:

Как видно из (58), знаменатель передаточной функции содержит полином третьей степени с постоянными коэффициентами:

С учетом (56), (57) знаменатель передаточной функции (58) можно представить в следующем виде:

Согласно выражению (54), приближение справедливо при условии, что:

Эти неравенства не могут быть удовлетворены без удовлетворения условия L₁ >>L₂. При L₁ >>L₂ условия (61) можно упростить:

Используя (62) из (60), получим:

Таким образом, в случае если передаточная функция содержит три хорошо разделенных полюса, уравнения (60) и (63) представляют собой приблизительные аналитические факторизации знаменателя уравнения (58). Необходимость выполнения условий (61) и (62) для получения простых аналитических выражений в зависимости от величин элементов L₁, L₂, R и C позволяет с помощью (63) выбирать значения параметров элементов, чтобы получить заданные частоты полюсов.

Когда второе неравенство уравнения (61) нарушается, то второй и третий корни следует оставить в квадратичной форме:

Это приближение оправдано при условии, что:

Выражение (65) можно упростить при условии:

Заметим, что больше не требуется выполнять условие RC >> L₂/R. Уравнение (66) позволяет дополнительно упростить (64) и привести к виду:

Таким образом, для этого случая передаточная функция содержит низкочастотный полюс, хорошо отделенный от высокочастотной квадратичной пары полюсов.

На рис. 10 приведены графические зависимости функции Боде для схемы, показанной на рис. 9, при условии (66) согласно выражениям (67) и (60) соответственно. В графиках (рис. 10) красным цветом показаны приближенные кривые согласно (58) при знаменателе (67). Как видно из этих графиков, при соблюдении условий (66) отклонения между реальной и приближенной функциями незначительны.

Рис. 10. Графические зависимости функции Боде при условии (66)

В случае невыполнения первого неравенства в условии (61) первый и второй корни следует оставить в квадратичной форме:

Это приближение оправдано при условии, что:

Или в более упрощенном виде:

Для этого случая передаточная функция содержит низкочастотную квадратичную пару полюсов, которые хорошо отделены от высоко­частотного реального полюса.

Если приведенные выше приближения не наблюдаются, то все три корня приблизительно равносильны по величине и в этом случае необходимо найти другие способы для упрощенного получения и расчета передаточной функции преобразователей [6–8].

Выводы

1. Представление передаточных функций в нормализованной форме напрямую раскрывает важные особенности реакции схемы. Аналитические выражения для этих функций и асимптот приводят к простым уравнениям, которые можно использовать при проектировании преобразователей.
2. Рассмотренные выше способы для получения передаточных функций и угловых частот можно обобщить и применять для более сложных схем, для этого необходимо принимать соответствующие приемлемые допущения.