Анализ повышающих-понижающих конвертеров с помощью эквивалентной трансформаторной схемы малого сигнала

Введение

В настоящее время в большинстве источников питания в качестве регулирующего звена используются импульсные регуляторы постоянного напряжения, зачастую называемые конвертерами. Несмотря на то, что анализу и расчету этих схем посвящено много работ, некоторые вопросы до сих пор остаются не полностью проанализированными или приведенные результаты анализа получаются слишком громоздкими и неудобными для практического использования. В частности, это касается анализа нелинейных импульсных преобразователей и получения их передаточной функции.

Поэтому возникает необходимость нахождения таких методов упрощенного анализа этих схем, которые были бы более практичны и удобны для инженерных расчетов и при этом удовлетворяли бы техническим требованиям по точности.

Рассмотрим процессы анализа динамического моделирования преобразовательных (конвертерных) схем с широтно-импульсным моделированием в непрерывном режиме работы. В общем случае при моделировании невозможно учитывать все внешние и внутренние воздействующие факторы, в связи с чем в зависимости от цели анализа принимаются приемлемые приближения [1–4].

Для упрощения анализа будем считать, что за рабочий период работы конвертера изменение напряжения на конденсаторе и тока через дроссель можно представить усредненными кривыми. Поэтому низкочастотные составляющие токов и напряжения моделируются следующими известными уравнениями [1, 2]:

где средние значения токов и напряжений, которые определяются следующим выражением (T_s — период работы):

Как видно из выражения (3), здесь используется базовая аппроксимация, которая отбрасывает высокочастотные составляющие, обусловленные переключениями вентилей. Однако необходимо учитывать, что средние значения могут быть изменены в течение рабочих периодов и что эти величины моделируются как низкочастотные напряжения. Фактически, «скользящее среднее» является фильтрацией низкочастотного сигнала [1, 3].

Заметим, что, когда преобразователь работает в условиях равновесия, а правые части уравнений (1) и (2) должны быть равны нулю (баланс вольт-секундной площади индуктивности и баланс заряда конденсатора) [3, 4].

Уравнения (1) и (2) также описывают, как изменяется ток индуктора и напряжение конденсатора, когда на период переключения подаются ненулевое среднее индуктивное напряжение и ток конденсатора.

Средние значения тока через конденсатор и напряжения на дросселе в общем случае являются нелинейными функциями, т. е. в общем случае уравнения (1) и (2) представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения. Уравнение (3) также содержит гармоники с частотой модуляции ω_m и амплитудой X_m, значения которых могут быть существенно выше, чем у основного сигнала конвертера с частотой переключения ω_S, что необходимо учитывать.

На рис. 1 показана линейная аппроксимация выходной характеристики повышающего-понижающего конвертера (ППК) в окрестности точки покоя при постоянном выходном напряжении V = –V_g и коэффициенте рабочего цикла D = 0,5. Колебание коэффициента рабочего цикла D на величину d приводит к колебанию напряжения в районе тока покоя на величину v. Если величина коэффициента рабочего цикла (D) мала, то расчет выходного напряжения можно сделать по линеаризованной характеристике [1, 2].

Рис. 1. Выходная характеристика повышающего-понижающего конвертера (ППК) в окрестности точки покоя при D=0,5

Известно, что наличие в схеме реактивных элементов приводит к частотной зависимости выходного сигнала, и потоэтому для правильного прогноза нахождения нулей и полюсов необходимо линеаризовать дифференциальные уравнения (1) и (2).

На рис. 2а,б приведены схема ППК и эквивалентная упрощенная схема. На примере этой схемы рассмотрены процессы АС-моделирования.

Рис. 2. Повышающий-понижающий конвертер:
а — схема конвертера;
б — упрощенная эквивалентная схема

Малосигнальную АС-модель конвертера можно получить существующими традиционными методами анализа [1, 4, 5].

Анализ схемы по переменному сигналу в режиме непрерывного тока

Рассмотрим схему на рис.2а по переменному сигналу в режиме непрерывного тока и получим основные уравнения для ее описания.

На рис. 3а,б приведены эквивалентные схемы по рис. 2б, когда ключ находится в положениях «1» и «2» соответственно.

Рис. 3. Эквивалентные схемы для конвертера (см. рис. 2б) в случае, когда ключ находится в положениях «1» и «2»

Анализ следует начать тогда, когда ключ находится в положении «1». Для этого случая можно записать

При аппроксимации малых пульсаций мгновенные величины ν_g(t) и ν(t) заменяются не постоянными (либо средними) значениями V_g, V, а низкочастотно-модулированными усредненными величинами 〈ν_g(t)〉 и 〈ν(t)〉, которые определятся по выражению (3).

В этом случае формулы записываются следующим образом:

Как видно из выражений (6) и (7), ток через индуктивность L и напряжение на конденсаторе C меняются по закону, близкому к линейному.

Аналогично, когда ключ находится в положении «2», можно записать:

Как видно из формул (8) и (9), во втором межкоммутационном интервале напряжение и ток также меняются по закону, близкому к линейному (диаграммы этих величин приведены на рис. 4). Согласно (6) и (8), в первом и втором межкоммутационных интервалах усредненное низкочастотное напряжение на дросселе определяется по следующему выражению [1, 3, 4]:

где d`(t) = 1 – d(t), d(t) — мгновенное значение рабочего цикла. Отметим, что правая часть уравнения (10) не содержит высокочастотных помех, связанных с переключением ключа, это модулированная низкочастотная составляющая напряжения на индуктивности.

Рис. 4. Диаграммы тока и напряжения на индуктивном дросселе

Используя (2) и (10), можно записать:

Выражение (11) показывает, как в течение времени изменяются низкочастотные составляющие напряжения и тока на индуктивном дросселе.

При анализе допускается, что ток через индуктивность периодичен и что имеет место следующее равенство: i(t+T_s) = i(t). В течение периода T_s ток непрерывен, что позволяет применять аппроксимацию напряжения на индуктивности по среднему значению [1, 3]. Это обусловлено следующим. Напряжение на индуктивности определяется уравнением

Если обе его части разделить на L, а затем проинтегрировать по текущему t времени до t + T_S, то получится:

Как видно из (13), левая часть уравнения представляет собой разность токов. При этом его правую часть можно считать средним значением напряжения на индуктивности.

Уравнение (13) можно преобразовать, чтобы привести к следующему виду:

А производную среднего значения тока через индуктивность можно определить как

При сравнении выражений (14) и (15) можно заметить, что для среднего значения напряжения на индуктивности получается выражение, аналогичное выражению (1):

Рассмотрим, как изменяется ток через индуктивность при схеме, представленной на рис. 2, более чем один период. Из рис. 5 видно, что в начале периода ток имеет некоторое начальное значение, а в его конце приобретает значение [i(dT_s)], которое определяется выражением

Во втором межкоммутационном интервале можно считать, что ток через индуктивность L изменяется на постоянную величину, которую можно определить по выражению (11):

Объединяя (17) и (18), получим величину тока в конце периода в зависимости от значения в начале периода:

Заметим, что второй множитель в скобках уравнения (19) — это среднее значение напряжения на индуктивности:

Следовательно, как видно из формул (19) и (20), напряжение на дросселе меняется по линейному закону. Значение тока в конце периода определяется начальным значением и средним наклоном кривой изменения тока:

Аналогично вышеприведенным получим формулы усредненных значений тока и напряжения конденсатора. Используя формулы (7) и (9), легко можно получить усредненное значение тока:

С учетом (2) и (21) можно получить:

Уравнение (22) является основным уравнением для конденсатора, которое описывает динамику изменения постоянной и низкочастотной составляющей сигнала на конденсаторе.

Определим среднее значение входного тока. Как видно из эквивалентных схем ППК, входной ток в первом межкоммутационном интервале равен току через дроссель, а во втором — равен нулю. Пренебрегая пульсациями тока через индуктивность и выражая текущее значение тока через среднее значение, можно представить входной ток в следующем виде:

На рис. 5 показан график изменения входного тока.

Рис. 5. График изменения входного тока

Возмущение и линеаризация сигналов в схеме конвертера

В схемах ППК описывающие усредненные уравнения имеют следующий вид (см. уравнения (20), (22) и (23)):

Эти уравнения нелинейные, потому что содержат нелинейные члены, зависящие от времени. Например, ток конденсатора зависит от низкочастотной составляющей тока, что приводит к возникновению генерации высоко­частотных гармоник и, следовательно, нелинейных искажений [5, 6].

Известно, что основные операторные методы анализа электрических схем — это преобразование Фурье и Лапласа. Комплексные методы неприменимы к нелинейным схемам, поэтому необходимо каким-то образом линеаризовать уравнения (24), (25) и (26).

Допустим, преобразователь приведен в уравновешенное состояние, и такие зависящие от времени параметры, как коэффициент рабочего цикла, определяются как d(t) = D, а входное напряжение источника равно установленному напряжению ν_g(t) = V_g.

Известно, что в течение переходного процесса ток через индуктивность, напряжение на конденсаторе и входной ток стремятся к установленным постоянным значениям I, V, и I_g, которые связаны между собой и определяются следующими соотношениями:

Соотношения (26), (27) и (28) получают обычным путем, используя закон баланса заряда на конденсаторе и уравнения напряжения (баланс вольт-секундной площади) на дросселе [1, 4]. Последние можно получить из (22), (23) и (24), считая, что производные напряжения и тока равны нулю.

При создании модели малого сигнала вокруг точки с определенными координатами (точки
с установившимся режимом) допускается, что входное напряжение и рабочий цикл стремятся к соответствующим значениям и к ним добавлены переменные низкого сигнала. В результате имеем:

При таком входном сигнале реакции средних значений токов и напряжения конденсатора и дросселя будут соответственно равны, как и добавленные к ним соответствующие малые сигналы:

При условии, что имеет место следующее соотношение:

и при условиях (30), (31) и (32) уравнения (23), (24) и (25) можно линеаризовать и привести к следующему виду:

Заметим, что коэффициент рабочего цикла связан с дополнением коэффициента рабочего цикла d(t) следующим уравнением:

где D = 1 – D`.

С учетом (33) и (34) получим:

Производная постоянного тока I равна нулю (dI/dt = 0), но при этом постоянный ток является предельным значением постоянного (среднего) тока.

При создании малосигнальной модели можно принимать, что постоянные (dc) величин I, V, V_{g за} даны.

Видно, что первое слагаемое правой части уравнения (35) является постоянной величиной, а во втором переменные имеют постоянные коэффициенты, следовательно, эти величины изменяются линейно. Третье слагаемое в правой части уравнения (35) — нелинейная величина, так как имеет нелинейные во времени изменяющиеся множители.

Для упрощения выражения (35) желательно принимать некоторые приближения. Допустим, нелинейные члены второго порядка   и   намного меньше, чем любой член второго линейного слагаемого. В этом случае для переменных составляющих уравнения (35) можно записать следующее упрощенное уравнение:

Уравнение (36) является линейной малосигнальной моделью конвертера, которая описывает изменение тока индуктивного дросселя.

Для получения аналогичной модели для конденсатора воспользуемся уравнениями (24), (29) и (30), из которых можно легко получить:

Преобразуя (37), получим:

Здесь для упрощения анализа также будем считать, что нелинейный член второго порядка намного меньше, чем остальные члены, и учитывая, что постоянные члены правой и левой частей уравнения (38) равны, получим уравнение малосигнальной модели для конденсатора, которая описывает изменение напряжения на этом конденсаторе:

Используя (29) и (31), для входного тока получим малосигнальную линеаризованную модель в следующем виде:

Преобразуя (40), получим:

В уравнении (41), пренебрегая членом второго порядка и учитывая, что постоянные члены левой и правой частей компенсируют друг друга, получим аппроксимированную малосигнальную модель для переменной составляющей входного тока:

Полученные результаты показывают, что усредненные нелинейные уравнения могут быть линеаризованы в районе рабочей точки покоя.

Отметим, что независимые входные сигналы — это постоянные величины с изменяющимися вокруг них малосигнальными переменными составляющими. В результате на выходе конвертера формируются усредненные сигналы, пропорциональные этим сигналам.

Обобщая вышеизложенное, можно сказать, что полученные уравнения для малого сигнала (36), (39) и (42) являются линеаризованной малосигнальной моделью конвертера.

Построение эквивалентной схемы по линеаризованной малосигнальной модели

Полученные уравнения (36), (39) и (42) описывают схему ППК в области малого сигнала, поэтому если их объединить, то они могут быть представлены в одной системе уравнений:

На рис. 6 приведены эквивалентные схемы в соответствии с системой уравнений (43). В схеме на рис. 6а величины  и — зависимые источники напряжения, а слагаемое — источник напряжения, также зависимый от коэффциента рабочего цикла.

Рис. 6. Эквивалентные схемы в соответствии с системой уравнений (43):
а) в соответствии с первым;
б) со вторым;
в) с третьим

В соответствии с эквивалентными схемами, представленными на рис. 6, получена объединенная эквивалентная трансформаторная схема малого сигнала, которая приведена на рис. 7.

Рис. 7. Объединенная эквивалентная трансформаторная схема малого сигнала

Отметим, что аналогичный результат, т. е. уравнение (43), можно было получить, используя ряд Тейлора для трех переменных и пренебрегая нелинейными членами выше второго порядка [1, 6, 7].

Передаточная функция преобразователя типа ППК

Для получения передаточной характеристики ППК воспользуемся эквивалентной схемой, показанной на рис. 7, которая получена по малосигнальному анализу.

Как видно из рис. 7, конвертер содержит два независимых AC-входа: контрольный регулирующий вход  и на входной линии напряжение источника питания . Выходное напряжение можно получить сложением этих двух величин [8]:

где G_vd и G_vg определяются следующими выражениями соответственно:

Чтобы найти передаточную функцию G_νg(s), необходимо подставить , и из схемы на рис. 7 получим упрощенную схему, показанную на рис. 8.

Рис. 8. Упрощенная эквивалентная трансформаторная схема

Используя эквивалентное преобразование трансформатора и переводя первичные параметры к вторичном, получим расчетную схему, данную на рис. 9.

Рис. 9. Расчетная схема по малому сигналу

Используя схему на рис. 9 и формулу (45), получим:

Преобразуя (46) для передаточной характеристики, получим отношение полиномов с учетом того, что степень полинома числителя равна 0, поскольку s⁰ = 1, а степень знаменателя равна 2.

Как видно из (47), передаточная функция содержит множитель (–D/D’), который представляет собой коэффициент передачи по постоянному DC-сигналу (–D/D’ =G_g0) и функцию с полюсом второй степени:

Из (47) и (48) получим:

Из (49) можно легко получить выражение для добротности Q:

Выражения (49) и (50) являются необходимыми для определения передаточной характеристики в зависимости от параметров схемы.

Для определения передаточной функции G_vg(s) воспользуемся схемой, показанной на рис. 8, с учетом того, что генератором (входным сигналом) в этом случае является сигнал, зависимый от коэффициента (рабочего цикла). Для анализа воспользуемся принципом суперпозиции, считая, что и что входная цепь замыкается накоротко. Из схемы, представленной на рис. 8, получим схему, показанную на рис. 10а.

Рис. 10. Эквивалентная схема для расчета передаточной функции G_vg(s)

После эквивалентных преобразований, переведя все параметры на выходную цепь трансформатора с коэффициентом передачи (D’:1), получим схему, данную на рис. 10б, и с использованием принципа суперпозиции определим G_νg(s). Как видно из рис. 10б, в схеме есть два источника (источник напряжения и источник тока), оба зависящие от параметра . В первом случае будем считать, что источник тока равен нулю, и получим схему, показанную на рис. 11а, а во втором — источник напряжения равен нулю, так что получим схему, представленную на рис. 11б.

Рис. 11. Эквивалентная схема для расчета передаточной функции G_vd(s):
а) — источник тока равен нулю,
б — источник напряжения равен нулю

Из схемы на рис. 11а определим

Из схемы на рис.11б получим:

Передаточную функцию G_vd(s) получим, суммируя (51) и (52):

Путем алгебраических преобразований выражение (53) можно привести к следующему виду:

Уравнение (54) также представим в виде, аналогичном выражению (48):

где коэффициент передачи по постоянному току (по DC-сигналу) G_d0 определяется как:

Угловую частоту числителя (нули полинома) определим из (54):

Как видно из (57), этот нуль находится в правой комплексной полуплоскости.

Выражения (56) и (57) получены с учетом того, что:

Полученные выражения (49), (50) (56) и (57) позволяют предварительно рассчитать величины Q, G_d0, ω₀, и ω₂. Также эти уравнения можно использовать для расчета основных элементов схемы.

Имея аналитические выражения для отдельных частей передаточной функции, можно определить их численное значение и после этого построить графики Боде.

Рассмотрим пример построения графика Боде при следующих параметрах схемы на рис. 2:

D = 0,7; R = 0,8 Ом; V_g = 50 В; L = 180 мкГн; C = 160 мкФ.

Используя полученные выше формулы, рассчитываем величины Q, G_d0, ω₀, и ω₂:

График Боде и фазы передаточной функции G_vd приведены на рис. 12. Передаточная функция по постоянному току имеет усиление величиной 47,5 дБВ и на полюсе с резонансной частотой f₀ = 280 Гц имеет добротность Q = 2,26 и нуль на правой полуплоскости с частотой f₂ = 910 Гц.

Рис. 12. График Боде с фазами передаточной функции G_vd

График Боде и фазы передаточной функции G_νg представлены на рис. 13. Здесь передаточная функция по постоянному току G_g0 имеет усиление величиной 7,4 дБ, а на полюсе резонансной частотой 280 Гц имеет усиление 14,5 дБ. Графики Боде получены с помощью программы MATLAB на основе формул (55) и (48) соответственно.

Рис. 13. График Боде с фазами передаточной функции G_vg

Коэффициент усиления G_g0 — это и есть коэффициент передачи конвертера M(D). Как видно из графика фаз, имеются изменения фазы на 180°, что соответствует инвертирующему характеру конвертеров таких типов.

Выводы

1. Поскольку коммутационные преобразователи являются нелинейными системами, желательно построить линеаризованные малосигнальные модели путем линеаризации вокруг рабочей точки покоя.
2. На примере повышающего-понижающего конвертера проанализированы и получены основные уравнения по малосигнальному анализу, на основе которых получены эквивалентные трансформаторные схемные модели.
3. С помощью линеаризованной мало-сигнальной модели получены аналитическое выражение передаточной функции и графики Боде.