Анализ устойчивости импульсных стабилизаторов постоянного напряжения как замкнутых систем с периодическим изменением структуры

Для желаемого стационарного режима с частотой пульсаций выходного сигнала, равной частоте переключений структуры системы, получена матрица линеаризованного разностного уравнения возмущенного движения. Расположение ее собственных значений внутри круга единичного радиуса с точностью до граничного случая гарантирует асимптотическую устойчивость стационарного режима.

Приведен пример практического применения полученных результатов к стабилизатору напряжения с параметрическим управлением, подтвердивший актуальность задачи и корректность ее решения.

 

Введение

При мощности нагрузки, превышающей единицы ватт, импульсные стабилизаторы напряжения постоянного тока (ИСНПТ) существенно превосходят аналогичные непрерывные стабилизаторы по весу и габаритам, практически не уступая им по качеству стабилизации. В зависимости от соотношения выходного и входного напряжений используют один из трех импульсных преобразователей: понижающий, повышающий или инвертирующий, схемы которых представлены на рис. 1. В рассматриваемых моделях преобразователей предполагается двухсторонняя проводимость транзисторных ключей, обеспечивающая более высокие динамические свойства и рекуперацию энергии при наличии ЭДС в нагрузке (например, в двигателе постоянного тока).

Считая сопротивление транзисторного ключа одинаковым в разных положениях и учтя его в сопротивление нагрузки, ИСНПТ с понижающим преобразователем можно рассматривать как классическую широтно-импульсную систему [1].

Стабилизаторы, использующие повышающий и инвертирующий преобразователи, уже нельзя представить как классическую широтно-импульсную систему [2, 3], поскольку при изменении положения ключа изменяется структура силовой части ИСНПТ. Это же относится и к стабилизатору с понижающим преобразователем, если учесть различное сопротивление ключа при разных его положениях.

В общем случае ИСНПТ представляет собой систему с периодическим изменением структуры. При достаточно высокой частоте переключений ИСНПТ можно рассматривать как предельную непрерывную систему [4], пренебрегая дискретным (импульсным) характером управления. К системам с периодическим изменением структуры относится и стабилизатор с параметрическим управлением [5] (рис. 2).

Как показано в [1], в ИСНПТ с понижающим импульсным преобразователем, рассчитанным с учетом только полезной [6] составляющей его выходного напряжения, возможно возникновение субгармонических автоколебаний, вызванных нарушением устойчивости стабилизатора как широтно-импульсной системы.

Естественно предположить, что и в других ИСНПТ, относящихся также к дискретным системам, возможны нежелательные автоколебания или другие явления, вызванные проявлением нелинейных дискретных свойств.

Особенно вероятно проявление этих нежелательных явлений при невысоких требованиях к величине допустимых пульсаций выходного напряжения. В этом случае частота переключений структуры может оказаться недостаточной для корректного использования предельной непрерывной модели системы.

Таким образом, анализ устойчивости системы с периодическим изменением структуры может дать ответ на вопрос, является ли выбранная частота коммутации достаточно высокой для использования при расчете системы ее предельной непрерывной модели.

 

Математическая модель системы с периодическим изменением структуры

Ограничим рассмотрение стабилизаторами напряжения и подобными им системами, в которых внутри периода происходит только одно изменение структуры.

В первой части периода nT<t< nT+t_n, где n — целое положительное число, Т — период переключений, t_n — длительность первой части n-го периода, силовая часть системы описывается системой линейных дифференциальных уравнений, записанных в векторно-матричной форме в виде:

где Х — m-мерный вектор фазовых координат силовой части стабилизатора, m-ныйй элемент которого равен выходному напряжению стабилизатора; h₁ — m-мерный числовой вектор; c^T — m-мерная вектор-строка, m-ный элемент которой равен 1, а остальные элементы равны 0; E₁ — входное напряжение в первой части периода; A₁ — m×m матрица, элементы которой зависят от параметров схемы силовой части в первой части периода.

Аналогично, во второй части периода коммутации nT+t_n< t< (n+1)T, имеем уравнения:

Ограничимся случаем использования интегрального регулятора, обеспечивающего нулевую статическую ошибку стабилизации, и широтно-импульсным преобразователем I рода.

В этом случае:

t_n = k_Me_n,          (2)

где k_М = const, e_n = e(t) | _t=nT, e(t) — выходной сигнал интегрального регулятора, ограниченный значениями: 0< e(t)<T/k_М:

где U_з — заданное значение выходного напряжения ИСНПТ, k_p — коэффициент преобразования интегрального регулятора.

С учетом динамических свойств регулятора состояние стабилизатора определяется (m+1)—мерным вектором фазовых координат:  Z = [X^T, e]^T.

Процессы в стабилизаторе в n–ном периоде коммутации описываются уравнениями (1.1, 1.2, 2 и 3).

В дальнейшем будем полагать матрицы A₁ и A₂ гурвицевыми, что следует из пассивности элементов (кроме источников питания E₁ и E₂) электрических цепей, образующей силовую часть стабилизатора.

 

Разностное уравнение ИСНПТ

Разностное уравнение ИСНПТ связывает значения фазовых координат системы в начале следующего периода

с их значениями в начале текущего периода

При этом предполагаем непрерывность фазовых координат, т. е. Z(t–0) = Z(t+0).

Обозначив X(nT+t_n) = X_n^’, получаем, решив уравнения (1.1, 1.2 и 3):

где H_i(t) = exp(A_it) — матричный экспоненциал, i = 1,2,

При определенных значениях E₁=const, E₂= const и при заданном U_З = const возможен желаемый стационарный режим, определяемый условием:

Z_n+1 = Z_n = Z₀ = const

или

X_n+1 = X_n = X₀, e_n+1 = e_n = e₀ (t_n+1 = t_n = t₀, 0< t₀< T).

Определение точных значений Z₀, t₀ в общем случае представляет собой сложную задачу. При интегральном регуляторе среднее значение выходного напряжения совпадает с заданным его значением, т. е.

Из этого условия в каждом конкретном случае можно точно определить t₀. По величине же t₀ можно построить стационарный режим и затем оценить его устойчивость.

По значению t₀ сразу определяется e₀ = t₀/k_M. Из уравнения (4) находим:

Матрица [E–H₂(T–t₀)H₁(t₀)] при принятых допущениях невырожденная, и следовательно, существует ее обратная матрица.

Рассматриваемый стационарный режим ИСНПТ является желательным, поскольку обеспечивает равномерную загрузку ключей и наименьшие пульсации выходного напряжения при выбранной частоте коммутации. Для его существования необходима его устойчивость.

 

Оценка устойчивости желаемого стационарного режима ИСНПТ

Для оценки устойчивости необходимо линеаризовать разностное уравнение возмущенного движения ИСНПТ:

ΔZ_n+1 = f(ΔZ_n),    (8)

где

ΔZ_n = Z_n — Z₀ = [ΔX_n^T, De_n^T]^T, ΔX_n = X_n — X₀, Δe_n = e_n — e₀.

или 

ΔZ_n = Z_n — Z₀ = [ΔX_n^T, Dt_n]^T, ΔX_n = X_n — X₀, Δt_n = t_n — t₀, 0 < t_n < T.

Подстановка в уравнения (4) и (5)

X_n = X₀ + ΔX_n, t_n = t₀ + Δt_n

и линеаризация их при

ΔX_n » 0, Δt_n » 0

дает систему двух линеаризованных уравнений:

где

g_m — m-мерный вектор-столбец; q_m^T — m-мерный вектор-строка; d_m+1,m+1 — скаляр; k = k_М k_Р.

Линеаризованное разностное уравнение возмущенного движения можно записать в матричной форме, используя блочные векторы и матрицы:

ΔZ_n+1 = DΔZ_n,     (10)

где

(m+1)×(m+1) квадратная матрица и (m+1)-мерный вектор-столбец соответственно.

Как известно из [7], с точностью до граничного случая для асимптотической устойчивости желательного стационарного режима необходимо и достаточно выполнения условия:

|λ_i|< 1,                     (11)

где λ_i — различные собственные значения матрицы D, или корни ее характеристического уравнения:

det[zE–D] = 0,

среди которых могут быть и кратные корни.

Определив максимальный по модулю корень, например по алгоритму [8], можно оценить не только устойчивость системы, но и время затухания свободного процесса в линеаризованной системе.

Разумеется, выполнение условия (11) гарантирует только устойчивость в малом, а область устойчивости в фазовом пространстве {ΔX, Δt} оказывается неопределенной.

Для оценки области устойчивости можно воспользоваться вторым методом Ляпунова [7], дающим, как известно, только достаточные условия устойчивости. При использовании в качестве функции Ляпунова квадратичной формы при определении матрицы квадратичной формы удобно использовать матрицу линеаризованного уравнения возмущенного движения D (10). Это позволяет всегда выделить хотя бы часть области устойчивости стационарного режима.

Использование нескольких функций Ляпунова позволяет расширить часть области устойчивости, выделяемой в фазовом пространстве [9].

Пример

Исследуем устойчивость ИСНПТ с параметрическим управлением [5], схема которого представлена на рис. 2.

В первой части n-го периода

0< η = t–nT< t_n                        (12)

силовая часть описывается уравнениями (1.1), где

а во второй его части

t_n< η = t–nT< T

силовая часть описывается уравнениями (1.2), где

Согласно [4], предельная непрерывная модель силовой части имеет вид:

где

В установившемся режиме при g₀ = t₀/T = const AX+hU = 0, то есть:

откуда получаем:

Поскольку при интегральном регуляторе в предельной непрерывной модели u_H = U₃, легко определить

Вычислив собственные значения матриц A₁ и A₂, получаем соответственно:

и далее:

С учетом (13–15), находим по формуле (7):

Переходя в последнем выражении к пределу при T, стремящемся к 0, получаем:

что согласуется с выражением (16) и объясняется полным исчезновением пульсаций при T, стремящемся к 0.Вычислив при параметрах схемы (рис. 2) R = 25 Ом, R_H = 100 Ом, U₃ = 100 B, U = 112,5 B, T = 2×10^–4 c, L = 2×10^–2 Гн, C = 1×10^–4 Ф, t₀ = 0,5T = 1×10^–4 c, g₀ = 0,5 [5] элементы вектора X₀, получаем: X₀ = [0,969108, 100,0034]^Т. Сравнив с предельным (при T, стремящемся к 0) значением X₀ = [1, 100]^Т, наблюдаем хорошее совпадение, что говорит о малых пульсациях тока и напряжения при выбранных параметрах фильтра L и C и достаточно высокой частоте коммутации (F = 1/T =5 кГц).

В рассматриваемом случае несколько упрощаются выражения для элементов матрицы D:

Вследствие наличия пульсаций выходного напряжения ИСНПТ его среднее значение отличается от напряжения предельной непрерывной модели при одинаковых значениях g₀ = t₀/T. При t₀ = T/2 (g₀ = 0,5) среднее значение u_H(t) в установившемся режиме:

равно 100,000036 В. Постоянная составляющая выходного напряжения ИСНПТ u_H(t) очень мало отличается от установившегося напряжения его предельной непрерывной модели: u_H = U₃ = 100 В. Это позволяет принять в реальной модели ИСНПТ U₃=100,000036 B. Определять значение t₀, обеспечивающее в реальной модели среднее значение выходного напряжения, равное 100 В, не имеет смысла, поскольку оно будет очень незначительно отличаться от t₀ = T/2 (g₀ = 0,5).

При заданных параметрах силовой части СНПТ, согласно формулам (18), получаем:

p_1,2 = α₁±jω₁,     a₁ = 50,     ω₁ = 100√49,75,      q_1,2 = a₂±jω₂,

a₂ = 675,     ω₂ = 100√4,4375,

Вычислив по формулам (10), (20) и (21) с использованием формул (22) элементы матрицы D для значения k = k_Pk_M = 2×10^–3 c/B, соответствующего 10 дБ запаса устойчивости в предельной непрерывной модели ИСНПТ, получаем

где eig(D) — вектор собственных значений матрицы D.

Наибольшее по модулю собственное значение матрицы D

|λ|_max = max|λ_i| = 0,95789 < 1

удовлетворяет условию (11), что доказывает асимптотическую устойчивость желательного стационарного режима.

При значении коэффициента k = k_Pk_M = 3,26×10^–3 c/B, соответствующем границе устойчивости предельно непрерывной модели, получаем также пару комплексно сопряженных корней, имеющих максимальный модуль:

|λ|_max = max|λ_i| = 1,00258 > 1.

Проведено исследование на математических моделях реальной дискретной системы и ее предельной непрерывной модели, построенных в системе MATLAB 6.5 SIMULINC 5 (рис. 3а и б соответственно). Основой построения моделей служат описания переключаемых структур (13) и (14) и интегрального регулятора (3).

Изменение структуры реализуется фиксатором нулевого порядка Zero-Order Hold, широтно-импульсным модулятором ШИМ (Subsystem, рис. 3в), блоком умножения Product1 и сумматором S₁. В течение промежутка времени nT < t < nT+t_n ШИМ выдает единичный сигнал на вход блока умножения. Вследствие этого на его выходе действует сигнал i. На выходе S₁ в результате получается 0, и произведение Ri на вход S₂ не поступает. Этим моделируется короткое замыкание резистора R в силовой части стабилизатора (рис. 2). В оставшейся части периода: nT+t_n < t < nT+T нулевой сигнал c выхода ШИМ обнуляет выход блока произведения. В результате на вход S₂ поступает произведение Ri. Этим моделируется включение резистора R в схеме силовой части (рис. 2).

Блок Subsystem (рис. 3в), реализующий широтно-импульсный модулятор, состоит из генератора периодического линейно возрастающего сигнала Repeating Sequence, сумматора и релейного элемента Relay. Генератор Repeating Sequence вырабатывает пилообразный сигнал «развертки» с амплитудой, равной 1, и периодом T, равным периоду переключений структуры. Сумматор сравнивает выходной сигнал интегрального регулятора с сигналом «развертки». Выходной сигнал релейного элемента, равный 1 при положительном входном сигнале и равный 0 при отрицательном сигнале, представляет собой широтно-модулированные прямоугольные импульсы единичной амплитуды. Таким образом, t = k_Me, k_M = T/U_П с/В, где U_П — амплитуда пилы, U_П =1 В, T = 2×10^–4c, g = (k_M/T)e.

При начальных условиях, соответствующих желательному стационарному режиму в предельной непрерывной модели U₀ = 100 B, i₀ = 1 A, t₀ = 0,5T, e₀ = 0,5 B, стационарный режим сохраняется в течение времени моделирования (4 с) при параметрах моделирования ode23, Max step size 1e-6, Relative tolerance 1e-6.

В модели реальной системы при начальных условиях, соответствующих желательному стационарному режиму

[i₀, U₀, t₀] = [x₀^T, 0,5T] = [0,969108, 100,0034, 1×10^–4],

стационарный режим вследствие его установленной неустойчивости не сохраняется. За время моделирования происходит расходящийся переходный процесс, представленный на рис. 4а, заканчивающийся установлением автоколебаний (рис. 4б) с периодом 8,8×10^–3 c, ровно в 44 раза большим периода коммутации T = 2×10^–4. Это определено по диаграмме u_Ф0 в установившемся режиме. Наблюдаемые автоколебания можно считать поэтому субгармоническими.

При ненулевых отклонениях от желательного стационарного режима в предельной непрерывной модели наблюдаются автоколебания с периодом 8,4×10^–3 c, приблизительно равным периоду субгармонических автоколебаний в реальной системе.

При k/T = 30,3 |l|_max=0,99974 < 1, а при k/T = 31 |l|_max=1,00062 > 1. Следовательно, критическое значение (k/T)_КР, соответствующее |l|_max = 1, заключено между этими двумя значениями. При k/T = 31 устанавливаются почти периодические колебания, что видно на рис. 5а, б, близкие к субгармоническим с периодом 44Т.

При частоте переключений структуры F₁ = F/10 = 500 Гц, T₁ =2×10^–3 и k/T = 32,6 оказывается |l|_max = 1,1599. Моделирование показывает установление непериодических незатухающих колебаний с выходом напряжения интегрального регулятора в нижнюю зону насыщения (e = 0).

При k/T = 22,8 |l|_max = 1,1004 > 1, а при k/T = 22 |l|_max = 0,98352 < 1. Следовательно, критическое значение k несколько меньше, чем 22,8.

При k/T=22,8, cогласно временной диаграмме выходного сигнала фиксатора нулевого порядка, представленного на рис. 6, определен период субгармонических колебаний, равный 22×10^–3 (11T₁).

При частоте переключений F₂ = 250 Гц (T₂ = 4×10^–3) определены |l|_max при k/T₂ = 29 (|l|_max=0,9905), а при k/T₂=29,1 — (|l|_max= 1,0056). Следовательно, критическое значение (k/T)_КР удовлетворяет неравенству: 29 < (k/T)_КР < 29,1. При k/T = 29,1 в стабилизаторе устанавливаются субгармонические автоколебания половинной частоты. На рис.7а, б представлены автоколебания на выходе фиксатора нулевого порядка u_Ф0 и на выходе стабилизатора u_Н.

 

Выводы

Импульсные стабилизаторы напряжения постоянного тока относятся к системам с периодическим изменением структуры. Обычно изменение структуры происходит с достаточно высокой частотой, что следует из необходимости получения малых пульсаций выходного напряжения при приемлемых габаритах фильтра и позволяет рассчитывать стабилизатор напряжения по его предельной непрерывной модели. При низких требованиях к качеству стабилизированного напряжения выбранная частота коммутации при заданных параметрах сглаживающего фильтра может оказаться недостаточной для пренебрежения дискретным характером управления. В таких случаях возможно возникновение автоколебаний и других нежелательных проявлений дискретного характера управления, увеличивающих амплитуду пульсаций выходного напряжения и вызывающих неравномерную и повышенную нагрузку ключей.

Критерием достаточности частоты изменений структуры может служить отсутствие нежелательных проявлений дискретного характера управления, например субгармонических автоколебаний, что гарантируется устойчивостью желательного стационарного режима с наивысшей частотой пульсаций выходного напряжения, равной частоте переключений структуры, при всех возможных возмущениях.

В статье получено необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости желательного стационарного режима, требующее расположения собственных значений полученной матрицы линеаризованного разностного уравнения возмущенного движения внутри круга единичного радиуса.

Для оценки области устойчивости желательного стационарного режима в пространстве возмущений можно применить второй метод Ляпунова. При использовании квадратичной пробной функции для выбора ее матрицы рационально использовать матрицу линеаризованного разностного уравнения возмущенного движения, поскольку это всегда гарантирует выделение части области устойчивости. Для расширения выделенной части области устойчивости можно использовать различные квадратичные функции Ляпунова.

Экспериментальная проверка полученных результатов на примере стабилизатора с параметрическим управлением показала актуальность поставленной задачи и корректность ее решения.