Стабилизатор напряжения с параметрическим управлением

№ 3’2016
PDF версия
В подавляющем большинстве систем автоматического управления (САУ) информация и управляющие воздействия — это электрические напряжения и токи, механические линейные и угловые перемещения, световые и электромагнитные сигналы и т. д. В некоторых САУ сигналы и управляющие воздействия изменяют параметры устройства (элемента САУ). Например, электромеханический преобразователь, состоящий из приводного двигателя постоянного тока и синхронного генератора, осуществляет превращение напряжения постоянного тока в напряжение переменного. При этом стабилизация частоты переменного тока производится путем стабилизации частоты вращения приводного двигателя. Параметрическое управляющее воздействие может оказаться предпочтительным и в других случаях. В данной статье приведены результаты исследования стабилизатора напряжения постоянного тока с параметрическим управляющим воздействием.

Введение

В подавляющем большинстве систем автоматического управления (САУ) информация и управляющие воздействия — это электрические напряжения и токи, механические линейные и угловые перемещения, световые и электромагнитные сигналы и т. д. В некоторых САУ сигналы и управляющие воздействия изменяют параметры устройства (элемента САУ). Например, электромеханический преобразователь, состоящий из приводного двигателя постоянного тока и синхронного генератора, осуществляет превращение напряжения постоянного тока в напряжение переменного. При этом стабилизация частоты переменного тока производится путем стабилизации частоты вращения приводного двигателя. При жестких требованиях к габаритам преобразователя, обычно применяемого на подвижных объектах, а также при мощности не более нескольких единиц киловатт стабилизация частоты вращения происходит по цепи возбуждения в результате короткого замыкания резистора, включенного последовательно с обмоткой возбуждения приводного двигателя параллельного возбуждения. При повышении скорости, вызванном сбросом нагрузки генератора, центробежный регулятор замыкает резистор, а при снижении скорости, вызванном повышением нагрузки, резистор подключается в цепь обмотки возбуждения.

Несмотря на определенные недостатки такого способа стабилизации частоты, в рассматриваемых условиях он оказался наиболее технически рациональным.

Параметрическое управляющее воздействие может оказаться предпочтительным и в других случаях. Изменяя сопротивление резистора, включенного последовательно с нагрузкой, можно регулировать напряжение на нагрузке, например стабилизировать его. Чтобы плавно изменять сопротивление резистора от нуля до номинального, нужно варьировать относительное время его короткого замыкания, осуществляющегося с высокой частотой. Подобный подход применялся в работе [1] для плавного изменения емкости конденсаторов. Разумеется, между коммутируемым резистором и нагрузкой должен быть включен сглаживающий LC-фильтр. В данной статье приведены результаты исследования стабилизатора напряжения постоянного тока с параметрическим управляющим воздействием.

 

Математическое описание стабилизатора напряжения

Стабилизатор напряжения постоянного тока (рис. 1) состоит из импульсного регулятора сопротивления резистора R и LC-фильтра. Ключ K периодически с высокой частотой (f = 1/T) замыкает резистор R, изменяя среднее значение сопротивления Rср = (1 – γ)R, γ = t/T от 0 при γ = 1 до R при γ = 0.

Схема стабилизатора напряжения с параметрическим управлением

Рис. 1. Схема стабилизатора напряжения с параметрическим управлением

Высокая частота переключений ключа К позволяет рассматривать предельную непрерывную модель стабилизатора [2]. Чтобы ее получить, запишем уравнения схемы при двух положениях ключа К:

Формула

Записав уравнения в векторной форме [2]:

Формула

где

Формула

получаем уравнение предельной непрерывной модели схемы:

Формула

где

Формула

С учетом интегрального регулятора величины γ согласно уравнению (1) получаем систему уравнений предельной непрерывной модели стабилизатора напряжения:

Формула

где K — коэффициент преобразования интегрального регулятора, Uз — заданное значение напряжения нагрузки.

Полагая Uз и U постоянными, а левые части уравнений системы (2) равными 0, получаем уравнения стационарного режима:

Формула

Из системы уравнений (3) находим:

Формула

Легко проверить совпадение первых двух уравнений предельной непрерывной модели стабилизатора (2), полученной аналитически, с уравнениями непрерывной модели схемы (рис. 2), полученной из исходной схемы (рис. 1) заменой коммутируемого резистора R эквивалентным резистором со «средним» значением сопротивления (1 – γ)R.

Непрерывная модель стабилизатора напряжения

Рис. 2. Непрерывная модель стабилизатора напряжения

Для оценки устойчивости стационарного режима необходима линеаризованная система уравнений возмущенного движения. Подставив в систему уравнений (2): i = I0 + di, uн = Uн0 + duн, γ = γ0 + , где di, duн и  — отклонения от стационарного режима (возмущения), учитывая уравнения стационарного режима (3) и линеаризовав уравнения для малых возмущений, получаем линеаризованное векторное уравнение возмущенного движения:

δdX/dt = X,

где

δXT = (X – X0)T = [δi, δuн, δγ]T, X0 = [I0, Uн0, γ0]T,

Формула

Для асимптотической устойчивости стационарного режима с точностью до критического случая необходимо и достаточно отрицательных вещественных частей корней характеристического уравнения [3]:

det(zE – B) = 0,            (5)

где E — единичная матрица.

Вычисление определителя (5) приводит к кубическому характеристическому уравнению:

z3 + c2z2 + c1z + c0=0,                (6)

где

 

Формула

Воспользовавшись критерием устойчивости Вышнеградского [4], получаем условие асимптотической устойчивости в виде неравенства

Формула

Из формулы (7) очевидно, что критический коэффициент Kкр возрастает при увеличении U.

Для сравнения рассмотрим стабилизатор напряжения на понижающем импульсном преобразователе напряжения постоянного тока (рис. 3).

Cтабилизатор напряжения на понижающем импульсном преобразователе

Рис. 3. Cтабилизатор напряжения на понижающем импульсном преобразователе

Записав дифференциальные уравнения силовой части схемы для двух положений ключа К, получаем:

Формула

Переписав эти уравнения в векторной форме

Формула

где

Формула

согласно работе [2] получаем уравнения предельной непрерывной модели, оказавшиеся линейными,

dX/dt = AX + hγU.                 (8)

С учетом уравнений (8) и интегрального регулятора γ получаем систему линейных уравнений стабилизатора напряжения:

Формула

Стационарный режим, найденный из уравнений (9), определяется выражениями

Формула

Уравнения возмущенного движения совпадают с уравнениями (9):

Формула

а в векторной форме с уравнением

Формула

где

Формула

Характеристическое уравнение возмущенного движения имеет вид:

Формула

где c2 = 1/RнC, c1 = 1/LC, c0 = KU/LC.

Согласно критерию Вышнеградского, необходимое и достаточное условие устойчивости стационарного режима выражено неравенством

Формула

 

Сравнение основных свойств стабилизатора при параметрическом управлении со свойствами стабилизатора, использующего понижающий импульсный преобразователь

Ограничим сравнение случаем использования стабилизаторов во вторичных источниках питания, где колебания стабилизируемого напряжения относительно невелики, а требования к стабильности выходного напряжения высоки. Зададим колебание входного (стабилизируемого) напряжения ограниченным 20% в сторону снижения. Примем минимальное входное напряжение равным номинальному выходному, пренебрегая сопротивлением замкнутого ключа К. Тогда

Umin = Uн ном, Umax = 1,25Uн ном,

ΔU = UmaxUmin = 0,25Uн ном.

Требования по допустимому току транзисторного ключа в обоих стабилизаторах одинаковы. Во втором стабилизаторе необходим еще и обратный диод VD с таким же допустимым током. По допустимому напряжению в первом стабилизаторе транзисторный ключ выбирается исходя из напряжения 0,25Uн ном. Во втором же стабилизаторе транзисторный ключ и обратный диод выбираются по допустимому напряжению 1,25Uн ном, то есть в 5 раз большему.

Чтобы сравнить переменную составляющую напряжения на входе фильтра (uф на рис. 1, 3) в обоих стабилизаторах, пренебрежем пульсациями тока, а транзисторные ключи и диод примем идеальными. На  рис. 4а представлена переменная составляющая uф в первом стабилизаторе при 1,125Uн. С учетом R = 0,25Rн согласно формуле (4) получаем γ = 1 – 4 × 0,125 = 0,5.

Переменные составляющие напряжения на входе фильтра

Рис. 4. Переменные составляющие напряжения на входе фильтра:
а) в стабилизаторе с параметрическим управлением;
б) в стабилизаторе с импульсным понижающим преобразователем

На рис. 4б представлена переменная составляющая uф во втором стабилизаторе (γ0 = 1/1,125 = 0,8).

Из рис. 4а, б будет очевидно, что размах пульсаций входного напряжения фильтра ΔUф = Uф max Uф min в первом стабилизаторе оказался значительно меньше, чем во втором. Если во втором ΔUф = U, а изменяется в пределах от Umin до Umax, то в первом размах пульсаций ΔUф = Iн0R = Uн0R/Rном = 0,25Uн ном и не изменяется. Это утверждение не распространяется на граничные точки: γ0 = 0 и γ0 = 1 (U = Umax и U = Umin).

Пренебрегая пульсациями тока (iR = const) и напряжения на нагрузке (Uн = const), полагаем, что переменная составляющая uф полностью падает на дросселе фильтра с индуктивностью L. Это позволяет считать, что в стационарном режиме за первую часть периода коммутации (0< t< t) ток дросселя i увеличивается на ΔI = (U – Uн ном)t/L, а во второй его части (t< t< T) уменьшается на эту же величину ΔI. Нетрудно получить выражение для ΔI в первом (I) и втором (II) стабилизаторах:

Формула

Полагая, что пульсирующая (переменная составляющая тока i) замыкается только через конденсатор фильтра, найдем размах пульсаций выходного напряжения. Учитывая пилообразный характер пульсаций тока с нулевыми точками в середине частей периода, получаем

Формула

Интеграл в формуле (11) вычислен как площадь треугольника с высотой DI/2 и основанием T/2.

С учетом формул (10) и (11) получаем размах пульсаций выходного напряжения в первом (I) и втором (II) стабилизаторах

Формула

Соотношение относительного размаха пульсаций выходного напряжения первого (I) и второго (II) стабилизаторов напряжения при одинаковых параметрах фильтра определяет выражение

Формула

Из формулы (13) следует, что отношение размахов пульсаций первого и второго стабилизаторов при увеличении U от Umin до Umax уменьшается от 1 до 0. Максимальный относительный размах пульсаций первого стабилизатора имеет место при γ0 = 1/2(U/Uн ном = = R/2Rн + 1 = 1,125) и составляет ΔUн/Uн ном = = (T2/8LC)R/4Rн. По сравнению с таковым у второго стабилизатора, имеющим место при γ0 = Uн ном/Umax и равным

ΔUн/Uн ном = (T2/8LC)(UmaxUmin)/Uн ном = (T2/8LC)R/Rн,

оказывается в 4 раза меньше. Следовательно, для одинакового максимального размаха пульсаций ΔUн/Uн ном второй стабилизатор должен иметь произведение LC в 4 раза большее. При этом дроссель фильтра следует рассчитывать при значительно больших пульсациях напряжения на нем, чем у первого стабилизатора.

Недостатком первого стабилизатора являются потери в резисторе, используемом для регулирования напряжения. Для сравнения КПД двух стабилизаторов примем ключи, диод, дроссель и конденсатор идеальными, то есть учтем только потери в резисторе R. Очевидно, что в этом случае КПД второго стабилизатора   = 100%. У первого же КПД изменяется в зависимости от величины U. При U = Umax h = hmin = (Rн/(Rн + R)) × 100%, а при U = Umin h = hmax = (Rн/Rн) × 100% = 100%.

В случае Umin< U< Umax КПД имеет значение

Формула

 

Исследование стабилизатора с параметрическим управлением методом математического моделирования

Для примера рассчитаем стабилизатор с параметрическим управлением при Uн ном = 100 В, 100 В < U < 125 В, Iн ном =1 А (Rн = 100 Ом).

При U = Umax избыток напряжения гасится на сопротивлении R. Полагая γ0 = 0, при U = Umax получаем

Формула

Выберем частоту коммутации 5 кГц (T = 0,0002 c). Задав допустимый размах пульсаций тока ΔI < 65 мА (6,5×10–3 А), согласно формуле (10) выбираем индуктивность дросселя, приняв γ0 = 0,5, что соответствует максимуму ΔI:

Формула

Величину емкости конденсатора фильтра определим по допустимому размаху пульсаций выходного напряжения ΔU < 16 мB. Используя формулу (12), находим, приняв γ0 = 0,5,

Формула

Согласно формуле (7) при выбранных значениях R, L, C и γ = γ0 = 0,5 определяем критический коэффициент преобразования интегрального регулятора

Формула

Чтобы проверить полученные результаты в системе MATLAB 6.5, с помощью пакета Simulink 5 были построены предельная непрерывная модель стабилизатора по дифференциальным уравнениям (2) и дискретная модель, учитывающая коммутацию резистора R (рис. 5).

Непрерывная и дискретная модели стабилизатора

Рис. 5. Непрерывная и дискретная модели стабилизатора

Для U = 112,5 B (γ0 = 0,5), K = 10 1/B.c, соответствующем запасу устойчивости 20lg(32,6/10) = 10 дБ, построен переходный процесс включения стабилизатора. На рис. 6 представлены кривые изменения фазовых координат непрерывной (iн, uнн, γн) и дискретной модели (iд, uнд, γд).

Переходный процесс включения стабилизатора

Рис. 6. Переходный процесс включения стабилизатора

Фазовые координаты обеих моделей практически совпадают, заметна только пульсационная составляющая тока дискретной модели. Там же показаны пульсации тока и напряжения в увеличенном масштабе. Расчетные значения пульсаций ΔUн = 16 мB и ΔI = 62,5 мA хорошо согласуются со значениями, определенными в результате моделирования: ΔUн = 15,5 мB, ΔI = 63,7 мA.

К превышению критического коэффициента интегрального регулятора приводят автоколебания стабилизатора, являющегося нелинейной системой не только вследствие умножения фазовых координат i и γ в первом уравнении системы (2), но и в результате ограничения величины выходного сигнала интегрального регулятора диапазоном 0< γ< 1.

При K = 40 1/B.c размах колебаний выходного напряжения составляет 17 В при периоде колебаний 8,31×10–3 c. В автоколебательном режиме проявляется ограничение γ снизу на уровне 0.

 

Выводы

Параметрическое управление, основанное на изменении эквивалентного сопротивления коммутируемого резистора, имеет определенные преимущества по сравнению с применением импульсного понижающего преобразователя при использовании обоих способов в стабилизаторах напряжения вторичных источников питания.

Его основные преимущества:

  • значительно более легкие условия работы транзисторного ключа и отсутствие обратного диода;
  • максимальные пульсации выходного напряжения при одинаковом произведении параметров фильтра LC будут в 4 раза меньше при параметрическом управлении, а кроме того, максимальное переменное напряжение на дросселе также будет существенно ниже.

Основной недостаток рассмотренного параметрического управления — снижение коэффициента полезного действия вследствие потерь в резисторе.

Анализ свойств стабилизатора по его предельной непрерывной модели дает результаты, хорошо согласующиеся с полученными на дискретной модели при вполне реальных частотах коммутации.

Литература
  1. Коршунов А. И. Импульсное регулирование емкости конденсаторов // Известия вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58. № 6.
  2. Коршунов А. И. Предельная непрерывная модель системы с высокочастотным периодическим изменением структуры // Известия вузов. Приборостроение. 2009. № 9.
  3. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.–Л.: Госэнергоиздат, 1962.
  4. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.