ШКОЛА MATLAB. Урок 23. Многовариантный анализ вентильного электропривода c бесконтактным двигателем постоянного тока

Все статьи цикла

Введение

В соответствии с терминологией, принятой в отечественной литературе, синхронный двигатель с постоянными магнитами на роторе (СДПМ, в англоязычной версии — Permanent Magnet Synchronous Machine, PMSM), включенный в замкнутую систему с датчиком положения ротора (ДПР) и силовым полупроводниковым преобразователем (СПП), называется вентильным двигателем (ВД) [3, 5, 7]. Обмотка статора СДПМ выполняется в двух вариантах: сосредоточенная (рис. 1а) и распределенная (рис. 1б) обмотки.

Рис. 1. Элемент статора СДПМ:
а) модульная конструкция;
б) традиционная конструкция

В варианте с сосредоточенной обмоткой СДПМ может быть реализован в модульном конструктивном исполнении [2], что позволяет:

• существенно упростить технологию изготовления двигателя;
• значительно (на 20–30%) увеличить коэффициент заполнения обмотки;
• без изменения конструкции простым переключением обмоток модулей использовать двигатель на различные напряжения;
• обеспечить простой ремонт двигателя;
• исключить лобовые части обмоток.

В варианте с распределенной обмоткой магнитное поле в рабочем зазоре двигателя распределено по практически гармоническому закону и при синусоидальном управлении позволяет осуществить его математическое описание во вращающихся координатах системой аналитически разрешимых дифференциальных уравнений [3].

При наличии сосредоточенных обмоток магнитное поле в рабочем зазоре двигателя распределено по трапецеидальному закону, что требует формирования прямоугольных токов в фазных обмотках двигателя длительностью в 120 эл. град. [5]. Формирование прямо­угольной формы токов в обмотках в свою очередь требует применения замкнутых токовых контуров. Таким образом, особенность конструкции обмотки двигателя вызывает специальные требования к построению, управлению и анализу вентильного электропривода (ВЭП).

ВД с сосредоточенной обмоткой на статоре в отечественной литературе назван бесконтактным двигателем постоянного тока (БДПТ), а в англоязычной версии его обозначают как Brushless Direct Current (BLDC).

Многовариантные структуры БДПТ и их анализ

Математическое описание БДПТ в фазовых координатах может быть представлено в виде:

где: u_k,i_k(Q_m), Y_0kQ_m), M_k — мгновенные напряжение, ток, потокосцепление и электромагнитный момент k-ой фазы; r_k, L_k — сопротивление и индуктивность k-ой фазы; w, w _m — угловая частота напряжения (тока) в фазе и угловая скорость вращения вала двигателя; M, M_H — суммарный электромагнитный момент и момент нагрузки на валу двигателя; J, p — момент инерции на валу двигателя и число пар полюсов.

При трапецеидальных зависимостях потокосцепления и, соответственно, прямоугольных зависимостях требуемого тока БДПТ представляет собой систему с дискретно изменяющейся структурой, что приводит к необходимости решения системы уравнений (1) на интервалах, где структура системы остается постоянной, с последующим «сшиванием» решений.

В связи с этим предпочтительным методом анализа БДПТ на базе уравнений (1) является компьютерное моделирование, поскольку в модели могут быть реализованы отмеченные зависимости.

Приблизительные решения могут быть получены на основании различных упрощений, основные из которых следующие:

• описание БДПТ при токовом управлении;
• описание БДПТ при представлении потокосцеплений и токов их первыми гармониками;
• описание БДПТ эквивалентным магнитоэлектрическим двигателем постоянного тока.

Далее описаны структуры БДПТ, соответствующие всем перечисленным методам его представления, разработаны модели, осуществлен их анализ и проведено сравнение полученных результатов. Исследования осуществлены для двигателя, параметры которого приведены в таблице 1.

В дальнейшем многовариантное представление БДПТ рассматривается в составе ВЭП, с релейными регуляторами токов в фазах двигателя и пропорциональным регулятором скорости (K = 50).

Модельное исследование БДПТ в среде MATLAB+Simulink в фазовых координатах по уравнениям (1)

На рис. 2 приведена модель электропривода с БДПТ, построенная по системе уравнений (1). Модель содержит:

• ДПР с формирователем единичных трапецеидальных и прямоугольных функций для управления потокосцеплением и током в каждой фазе БДПТ (блок Position Sensor);
• ограничители и релейные регуляторы токов в фазах двигателя;
• блок Subsystem, моделирующий электромагнитные процессы;
• блок Mechanic, моделирующий электромеханические процессы в двигателе.

Рис. 2. Модель электропривода с БДПТ

Модель ДПР с формирователем единичных трапецеидальных (для формирования потокосцепления) и прямоугольных (для формирования тока) функций приведена на рис. 3а. Прямоугольные единичные импульсы формируются в блоках Subsystem, Subsystem1, Subsystem2, модель одного из них показана на рис. 3б.

Рис. 3. Модель ДПР с формирователем единичных функций:
а) трапецеидальных (для формирования потокосцепления);
б) прямоугольных (для формирования тока)

Выходные сигналы блока ДПР в установившемся режиме для фазы А показаны на рис. 4. Выходные трапецеидальные единичные функции на выходных портах a, b, c в блоке Subsystem (рис. 2), представляющем модель электромагнитной части БДПТ, умножаются на заданное значение потокосцепления. Выходные прямоугольные единичные функции на выходных портах sig, sig1, sig2, будучи умноженные на сигнал с выхода регулятора скорости (рис. 2), являются задающими сигналами на формирование напряжений на фазах двигателя.

Рис. 4. Выходные единичные сигналы на выходе блока Position Sensor

Для формирования токов в фазах двигателя эти сигналы сравниваются с реальными токами на входах релейных регуляторов с гистерезисом, что обеспечивает скользящий режим по току (так называемый «токовый коридор») [1, 6]. В блоке Subsystem, модель которого приведена на рис. 5, реализуются три первых уравнения системы (1). Два последних уравнения системы (1), описывающих электромеханическую часть БДПТ, реализованы в блоке Meсhanic, модель которого показана на рис. 6.

Рис. 5. Модель электромагнитной части БДПТ

Рис. 6. Модель электромеханической части БДПТ

На осциллограммах, приведенных на рис. 7 и 8, представлены переходные процессы по скорости, моменту и токам в фазах БДПТ при пуске электропривода с выходом на насыщение («в большом») и поддержание скорости в режиме холостого хода с последующим набросом момента нагрузки.

Рис. 7. Переходные процессы по моменту и скорости ВЭП с выходом на режим насыщения («в большом»)

Рис. 8. Переходные процессы по токам ВЭП с выходом на режим насыщения («в большом»)

Динамика электропривода в линейной зоне («в малом») представлена переходным процессом по управлению на рис. 9.

Рис. 9. Переходные процессы по скорости и моменту электропривода в линейной зоне («в малом»)

Модельное исследование электропривода в среде MATLAB+Simulink при управлении БДПТ от источника тока

Если сформированные в релейных регуляторах токи в фазах двигателя считать заданными, то математическое описание БДПТ (1) можно упростить и представить в виде:

В этом случае модель электропривода преобразуется к виду, показанному на рис. 10. Электромагнитная часть БДПТ при таком управлении также упрощается, ее модель показана на рис. 11.

Рис. 10. Модель электропривода при управлении БДПТ от источника тока

Переходные и установившиеся процессы в электроприводе показаны на рис. 12 и 13. Сравнивая результаты моделирования электромагнитных и электромеханических процессов «в большом» в строгой и упрощенной модели, следует отметить их достаточную близость. Различие наблюдается лишь в характере пульсаций момента, которая имеет место на фронтах задающих импульсов тока.

Рис. 11. Электромагнитная модель БДПТ при его управлении от источника тока

Рис. 12. Переходные процессы в электроприводе с БДПТ «в большом» при его управлении от источника тока

Рис. 13. Переходные процессы по токам в фазах в электроприводе с БДПТ «в большом» при его управлении от источника тока

В линейной зоне («в малом») (рис. 14) различаются переходные процессы по моменту, т. к. при управлении от источника тока ток выступает как задающий сигнал, что исключает переходный электромагнитный процесс в двигателе.

Рис. 14. Переходные процессы в электроприводе с БДПТ «в малом» при его управлении от источника тока

Модельное исследование электропривода в среде MATLAB+Simulink при представлении потокосцепления и тока БДПТ первой гармоникой

При разложении трапецеидальных (потокосцепления) и прямо­угольных (токи) импульсов в ряд Фурье переменные состояния двигателя становятся синусоидальными функциями времени. В этом случае, при учете только первой гармоники в разложении, математическое описание БДПТ осуществляется так же, как для вентильного двигателя во вращающейся системе координат [3]:

где: U₁, I_d, I_q, Y₀ — фазные амплитудные значения переменных состояний; R₁, L₁ — сопротивление и индуктивность фазы статора; m — число фаз; k_ai, k_aY — коэффициенты амплитуды тока и потокосцепления, равные: k_ai = 1,11, k_{a Y} = 1,22. Модель вентильного электропривода при представлении потокосцепления и тока БДПТ первой гармоникой, составленной по системе уравнений (3) с аналогичными предыдущему регуляторами тока и скорости, приведена на рис. 15. Результаты моделирования переходного процесса по моменту и скорости «в большом» и «малом» представлены на рис. 16 и 17. Сравнивая представленные результаты с ранее полученными, можно оценить возможность приведенного математического представления БДПТ.

Рис. 15. Модель вентильного электропривода при представлении потокосцепления и тока БДПТ первой гармоникой

Рис. 16. Переходные процессы в электроприводе с БДПТ «в большом» при представлении потокосцепления и тока БДПТ первой гармоникой

Рис. 17. Переходные процессы в электроприводе с БДПТ «в малом» при представлении потокосцепления и тока БДПТ первой гармоникой

Математическое описание БДПТ уравнениями (3) имеет то преимущество, что позволяет найти в явном виде передаточную функцию двигателя по управлению и выявить некоторые качественные свойства динамики двигателя. Передаточная функция двигателя находится при преобразовании уравнений (3) и записывается в виде:

в которой коэффициенты определяются из ниже приведенных выражений:

Уравнения (4, 5) позволяют выявить влияние переменных состояния двигателя на его динамические свойства. Это влияние объясняется зависимостью коэффициента а₁ при первой производной от скорости. Производная от скорости, как это видно из уравнений (3), пропорциональна моменту, что свидетельствует о влиянии момента на динамические характеристики двигателя. Еще одним преимуществом математического описания БДПТ (3) является то обстоятельство, что оно позволяет получить замкнутые уравнения для расчета электромагнитных и механических характеристик двигателя в установившемся режиме [3].

Модельное исследование электропривода в среде MATLAB+Simulink заменой БДПТ эквивалентным двигателем постоянного тока

При представлении БДПТ эквивалентным магнитоэлектрическим двигателем постоянного тока (МДПТ) математическое описание последнего имеет вид:

Структурная схема МДПТ, построенная по уравнениям (6), показана на рис. 18.

Рис. 18. Структурная схема магнитоэлектрического двигателя постоянного тока

Параметры этой структурной схемы рассчитаем путем сравнения с математическим описанием при представлении потокосцепления и тока БДПТ первой гармоникой. В этом случае параметры МДПТ определятся из приведенных ниже зависимостей:

Модель электропривода с эквивалентным МДПТ, c релейным токовым контуром и пропорциональным регулятором скорости, построенная по уравнениям (6), приведена на рис. 19, а аналогичные предыдущим примерам переходные процессы в электроприводе — на рис. 20 и рис. 21.

Рис. 19. Модель электропривода с эквивалентным МДПТ

Рис. 20. Переходные процессы в электроприводе с МДПТ «в большом»

Рис. 21. Переходные процессы в электроприводе с МДПТ «в малом»

Математическое представление БДПТ эквивалентным МДПТ в уравнении (6) позволяет получить замкнутые выражения для передаточной функции и электромеханических характеристик двигателя в установившемся режиме [3].

Заключение

Многовариантное моделирование вентильного электропривода показало достаточную адекватность всех рассмотренных вариантов представления БДПТ. При представлении потокосцепления и тока БДПТ первой гармоникой, а также при замене эквивалентным МДПТ удается получить замкнутые выражения для переходных и установившихся процессов в БДПТ и на этой базе исследовать электромеханические процессы и осуществить предварительный структурный и параметрический синтез электропривода. Однако «чистовая доводка» спроектированного электропривода должна осуществляться с использованием строгой модели БДПТ в фазовых координатах.