Получение передаточной функции и частотных характеристик противопомехового фильтра преобразователя напряжения.

Владимир Худяков
Василий Хабузов
Александр Васильев

Противопомеховые фильтры строятся на базе магнитно-связанных катушек индуктивности, которые соединяются последовательно и либо согласно, либо встречно друг с другом (рис. 1а, б соответственно, где точками показаны начала катушек) [1]. Предположим, по обеим катушкам протекает один и тот же ток, и они объединены в единую систему. Общий магнитный поток (потокосцепление) у первой катушки с учетом влияния второй катушки составляет

Ф₁ = Ф₁₁ ± Ф₁₂

а у второй

Ф₂ = Ф₂₂ ± Ф₂₁

где первая составляющая потока Ф₁₁ (Ф₂₂) вызвана протеканием тока в первой (второй) катушке и пронизывает все витки первой (второй) катушки; вторая составляющая Ф₁₂ (Ф₂₁) — полный поток (потокосцепление) взаимной индукции первой (второй) катушки, который вызван протеканием тока во второй (первой) катушке и пронизывает все витки первой (второй) катушки. Знак (+) отражает согласное, а знак (–) — встречное соединение катушек. Общая индуктивность всей системы из последовательно соединенных катушек составляет

L = L1 + L2 ± 2M,

где L1 и L2 — индуктивности первой и второй катушек соответственно; М — взаимная индуктивность системы, равная отношению полного потока взаимной индукции к связанному с ним току.

При этом взаимное влияние обеих катушек оценивают с помощью коэффициента связи k_с. Значение коэффициента связи не превышает 1, то есть 0< k_с < 1, и определяется как

и соответственно взаимная индуктивность

Включим в ППФ кроме магнитно-связанных катушек два конденсатора: первый С1 на вход анализируемой системы катушек и второй С2 — на ее выход. Источник напряжения Е подключен к фильтру через резистор R1 с относительно малым сопротивлением для ограничения тока заряда конденсатора С1 при запуске. К выходу ППФ подсоединена нагрузка R2. Эквивалентная схема замещения ППФ представлена цепью пятого порядка (по числу реактивных элементов) и включает три контура с токами I₁, I₂ и I₃ (рис. 2).

Получение передаточной функции в символьном виде для такой цепи является довольно сложной задачей. Чтобы упростить для пользователя процесс решения этой задачи, целесообразно использовать пакет MAPLE, дающий возможность:

• решать системы дифференциальных, алгебраических и тригонометрических уравнений в символьном или численном видах;
• выполнять символьные и численные операции с матрицами;
• осуществлять символьное прямое и обратное преобразования Лапласа.

Кроме того, для быстрого и эффективного решения задач частотного анализа и исследования динамических свойств устройств можно дополнительно применить систему MATLAB, базирующуюся на матрично-векторных вычислениях и имеющую возможность обмена данными с программой MAPLE. Для демонстрации совместного использования обеих программ выполним анализ схемы замещения ППФ, в котором катушки включены последовательно и встречно.

В начале выберем систему координат — базис узловых потенциалов или базис контурных токов. В работе [2] рекомендуется для анализа цепей с индуктивными связями выбрать второй базис координат. Для этого базиса принимается такой порядок действий:

• выбрать n независимых связанных контуров и задать направления положительных токов в каждом из них;
• построить квадратную матрицу nхn для анализируемой цепи;
• составить вектор задающих источников, действующих в контурах;
• решить матричные уравнения цепи;
• получить передаточную функцию. Квадратная матрица сопротивлений цепи

строится по следующим правилам [2]:

• записать на главной диагонали матрицы суммы операторных сопротивлений всех пассивных двухполюсников, образующих контур, причем элемент z_kk определяется в виде суммы операторных сопротивлений k-го контура;
• включить в качестве остальных элементов матрицы взаимные операторные сопротивления контуров, в которых z_ki представляет собой сопротивление двухполюсника, общего для контуров с номерами k и i;
• определить знаки взаимных сопротивлений, причем знак (+) ставится в случае одинакового направления токов контуров k и i, а знак (-) — при их противоположном направлении.

В строку вектора задающих источников можно вместо значений Е_k записать 1. Тогда изображение реакции совпадет с выражением передаточной функции по току между источником и рассматриваемым контуром. Для нахождения передаточной функции по напряжению следует умножить передаточную функцию по току на операторное сопротивление двухполюсника, выбранного в качестве выхода (нагрузки) цепи.

Все перечисленные действия, связанные с получением и обработкой матрицы, выполним в программе MAPLE. Первое действие состоит в построении матрицы размером 3×3 для анализируемой цепи (рис. 2). В главной диагонали расположены три суммарных операторных сопротивления контуров, а остальные элементы состоят из сопротивлений, общих для двух соседних контуров. Все элементы выше и ниже главной диагонали берутся со знаком «-». Оператор ввода матрицы (все операторы ввода в дальнейшем показаны красным цветом) имеет вид:

Сама матрица А, полученная после выполнения указанного оператора и записанная в память компьютера, приведена здесь

Все результаты выполнения операторов ввода имеют синий цвет. Переменная S представляет собой комплексную частоту, используемую в преобразовании Лапласа. Полученное выражение для матрицы А содержит только символы и до момента использования передаточная функция не требует введения их численных значений.

Для выполнения операций с матрицами в программе MAPLE необходимо подключить подпрограмму линейной алгебры, что осуществляется оператором ввода. Откликом на указанный оператор является сообщение о переопределении идентификаторов и снятии защиты с них и с пути, указанного в этой подпрограмме,

Для введения вектора B задающих возмущений применяется оператор, в котором напряжению Е (источник в первом контуре) присваивается значение 1, а именно:

Выполнение последующего оператора

позволяет найти матрицу AI, обратную (инверсную) по отношению к А, которая содержит громоздкие математические выражения для ее элементов и поэтому в тексте настоящей статьи не приводится.

Для нахождения символьных выражений для контурных токов в операторном виде следует использовать произведение инверсной матрицы AI и вектора-строки с задающими возмущениями B

Матрица IS в полном объеме в тексте не приводится, а показано только операторное выражение тока в третьем контуре:

Передаточная функция ППФ вычисляется с помощью оператора

После его выполнения достигается требуемый результат — выражение передаточной функции ППФ в символьном виде:

В результате перекодировки получено это же выражение, пригодное для анализа в системе MATLAB.

Для применения в MATLAB передаточной функции необходимо численное определение всех коэффициентов при комплексной переменной S с одинаковым показателем степени.

Основная особенность полученной передаточной функции заключается в том, что ее характеристическое уравнение (знаменатель) имеет третий порядок вместо ожидаемого пятого. Сокращение порядка связано с тем, что во втором контуре схемы замещения включены три индуктивности, которые программой MAPLE сведены к одному параметру L = L1+L2–2M. В числителе содержится только сопротивление нагрузки R2. Коэффициенты передаточной функции, приведенной выше, определяются по следующим формулам:

Ее символьное обобщенное выражение имеет вид:

По полученному выражению с учетом конкретных значений параметров элементов цепи в системе MATLAB относительно просто находится реакция ППФ на единичный скачок входного напряжения, и строятся частотные характеристики системы. Для этого в окне отладчика, в соответствии с рекомендациями [3], составляется программа, сохраняемая под именем Per_F_PPF (рис. 3). Вначале вводятся исходные данные для расчета коэффициентов — значения параметров элементов анализируемой цепи (пример условный):

R1=0,01 Ом; R2=1 Ом; C1=1e–6 Ф; C2=1e–6 Ф; L1=2e–6 Гн; L2=1e–6 Гн.

Величина коэффициента связи задана kc = 0,5 для определения взаимной индуктивности катушек по формуле M = kc*sqrt(L1*L2), где функция sqrt — извлечение квадратного корня.

С помощью команды

создается передаточная функция ППФ в численном виде. Другие команды

позволяют получить реакцию на единичный скачок, а также АЧХ и ФЧХ фильтра на двух отдельных рисунках, вызываемых в программе командой figure (рис. 3 и 4). Следует заметить, что указанные в перечисленных командах коэффициенты B0, A3, A2, A1, A0 необходимо задавать в численном виде.

В рассматриваемом случае после запуска программы в командном окне выводится выражение для передаточной функции (Transfer function) с численными значениями коэффициентов, а именно:

Реакция на ступенчатое воздействие представляет собой кривую с перерегулированием 6,5% при длительности переходного процесса до 8 мкс (рис. 4а). Амплитудная и фазовая частотные характеристики (рис. 4б) показывают, что до частоты 10⁶ рад/с коэффициент передачи ППФ составляет 1, а при частоте выше 10⁸ он снижается в 10⁵ раз. Специфика графика ФЧХ состоит в том, что он строится программой по частям. После –180° график для удобства построения (меньше занимает места по вертикали) изменяется скачком. Поскольку итоговый фазовый сдвиг системы третьего порядка достигает –270°, то после указанного скачка он определяется как φ= –180° – φ₂, где φ₂ — значение фазового сдвига со знаком (+) после полученного скачка.

Теперь следует проверить правильность получения передаточной функции ППФ на функциональной SPS-модели. Для этого построена модель PPFilter_1, состоящая из двух каналов: в первом катушки соединены встречно, во втором — согласно (рис. 5а). Правила построения таких моделей изложены в нашем журнале в цикле статей с общим названием «Школа MATLAB» (№ 1–4’2005, 1’2006). Настройка модели заключается в установке параметров элементов. Резистивные и емкостные элементы имеют те же параметры, что указаны выше при расчете передаточной функции. Для магнитно-связанных катушек значения L1, L2 и kc приведены в окнах настройки, которые одинаковы для обоих каналов (рис. 5б). Тип соединения катушек показан прямо на функциональной модели, что видно из направления стрелок. При этом знак у взаимной индуктивности учитывается автоматически в программе, описывающей построенную функциональную модель.

После запуска модели и ее расчета получены осциллограммы (рис. 6), отражающие реакцию ППФ на единичный скачок входного напряжения. На первой показана реакция в случае встречного соединения катушек (рис. 6а), а на второй — согласного (рис. 6б). Для случая встречного включения катушек проведены уточняющие измерения, показавшие, что численные значения перерегулирования и длительности переходного процесса выходного напряжения практически полностью совпадают с теми же значениями из символьного метода расчета (рис. 4а и 6а). При согласном соединении катушек процесс становится апериодическим и более затянутым.

Таким образом, проведенные расчеты и моделирование показали следующее: • построение эквивалентной схемы замещения фильтра с применением базиса контурных токов создает основу для символьного анализа процессов;

• за счет построения матрицы сопротивлений с последующим преобразованием и решением матричных уравнений в операторной форме определяются контурные токи и передаточная функция в символьном виде;
• при переходе от программы символьных вычислений MAPLE к системе матричных вычислений MATLAB появляется возможность численного расчета переходной характеристики, а также АЧХ и ФЧХ фильтра;
• использование функциональной модели ППФ подтверждает удовлетворительную сходимость результатов символьных вычислений с результатами функционального моделирования.

Литература

1. Зернов В. Н., Карпов В. Г. Теория радиотехнических цепей. Л.: Энергия. 1972.
2. Кошелев П. А., Парамонов С. В., Пшенкин С. Н. Моделирование электронных устройств в символьных и матричных математических вычислительных средах // Exponenta PRO. Математика в приложениях. 2004. № 3–4.
3. Худяков В. Школа MATLAB. Урок 5. Анализ динамических свойств устройств силовой электроники в частотной области // Силовая электроника. 2006. № 1.