Синтез одноконтурной системы управления двухтактным импульсным преобразователем

№ 4’2013
PDF версия
Статья продолжает публикацию, в которой был дан анализ структур и функционирования систем управления двухтактными преобразователями, построенных на сравнительно простых микросхемах. В предлагаемом материале приведены обоснованные авторами расчетные динамические модели двухтактного импульсного преобразователя, обоснован учет требований по точности регулирования при синтезе и даны примеры синтеза.

Расчетные динамические структурные модели двухтактного импульсного преобразователя

Вообще говоря, необходимо учитывать дискретность и нелинейность импульсного преобразователя. Однако при синтезе замкнутой системы управления частотным методом обычно используют усредненные (непрерывные) линеаризованные структурные динамические модели, обосновываемые тем, что частота среза fср разомкнутого контура не менее чем в 10 раз меньше частоты задающего генератора.

Пользуясь методикой, изложенной в [2, 3], получаем линеаризованную импульсную модель неизменяемой (при расчете корректирующего звена) части замкнутой системы в режиме непрерывного тока (РНТ) дросселя (рис. 1а), где G(p) — передаточная операторная проводимость цепи дросселя LC-фильтра; Z(p) — операторное сопротивление выходного конденсатора с параллельно соединенным сопротивлением нагрузки R с учетом ЭПС конденсатора rC. Справедливы выражения:

Формула

где L и r — индуктивность и активное сопротивление цепи дросселя LC-фильтра; tС = rСC и TС = (R+rС)C  — постоянные времени цепи выходного конденсатора. Знаком «D» обозначены отклонения переменных от их стационарных значений.

Линеаризованные структурные динамические модели не изменяемой при коррекции части двухтактного импульсного преобразователя

Рис. 1. Линеаризованные структурные динамические модели не изменяемой при коррекции части двухтактного импульсного преобразователя:
а) исходная дискретная;
б) преобразованная дискретная;
в) усредненная за период задающего генератора;
г, д) усредненные модели замкнутой системы

Для общности полагаем, что нагрузка преобразователя состоит из параллельно соединенных активного сопротивления R и источника тока iн.д.

На рис. 1а введены обозначения: uвх и uвых — входное и выходное напряжения преобразователя; вх = nтрuвх — входное напряжение, приведенное ко вторичной обмотке трансформатора; nтр = w2/w1 — коэффициент трансформации трансформатора; uуо — выходное напряжение усилителя ошибки; t1 — время включенного состояния силового транзистора; g = t1/T, T — период задающего генератора.

Коэффициент усиления широтно-импульсного модулятора Kшим в схеме на рис. 1а определяется следующим образом:

Kшим = SмF,                             (2)

где Sм = 1/  ·uп(t1) — крутизна модуляционной характеристики ШИМ при uуо = const; F — фактор пульсаций, учитывающий изменение коэффициента усиления ШИМ за счет переменной составляющей сигнала uуо(t) в стационарном режиме. Известно, что

F = 1/(1+Sм  ·uуо(t1)),             (3)

где точкой сверху обозначена производная сигнала uуо(t) [2, 3]. Время отсчитывается от момента начала нарастания пилообразного напряжения uп(t). При идеальной линейности пилообразного напряжения  ·uп(t1) = Uп/Т, Sм = T/Uп; Uп — амплитуда (размах) пилообразного напряжения в случае, когда время обратного хода равно нулю. При конечном времени обратного хода для определения Uп необходимо линейно изменяющийся участок условно продлить до конца периода.

Идеальный импульсный элемент ИЭ1 в схеме на рис. 1а генерирует периодическую последовательность дельта-импульсов, отстающую на время t1 относительно тактовых моментов времени. Импульсный элемент ИЭ2 представляет собой ключ, периодически замыкающийся на время t1, указанное под изображением ключа.

На выходе неизменяемой части системы показано пропорциональное звено с коэффициентом передачи Kд делителя выходного напряжения.

Перемещая в схеме на рис. 1а точку приложения сигнала Diн.д. назад (против направления передачи сигнала) через звено G(p) [4] и преобразуя замкнутый контур, состоящий из звеньев G(p) и Z(p), получаем структурную модель неизменяемой части замкнутой системы, показанную на рис. 1б. В этой схеме передаточная функция LC-фильтра Wф(p) определяется выражением:

Формула

где Kф = R/(R+r) — коэффициент передачи фильтра на постоянном токе; Tф и zф — постоянная времени и коэффициент демпфирования фильтра, определяемые как

Формула

Заменяя идеальный импульсный элемент ИЭ1 пропорциональным звеном с коэффициентом передачи 1/T, а ключ ИЭ2 — пропорциональным звеном с коэффициентом передачи g = t1/T, получаем усредненную модель (рис. 1в), где переменные вх, uвых, iL, uуо, iн.д заменяются на их средние за период T значения вх.ср, uвых.ср, iL.ср, uуо.ср, iн.д.ср.

Многие производители не предоставляют значений ЭПС для выпускаемых ими конденсаторов. Обычно частота излома ЛАЧХ fэпс = 1/(2prCC), обусловленная ЭПС, составляет [5]:

  • для оксидно-электролитических конденсаторов 1–5 кГц;
  • для танталовых конденсаторов 10–25 кГц.

Как видно, ЭПС может существенно влиять на частотные характеристики неизменяемой части в окрестности частоты wэпс = 1/tС.

На рис. 1г и 1д представлены структурные усредненные модели замкнутых систем управления импульсными преобразователями. На рис. 1д Uз = Uоп/Kд — задающий сигнал системы регулирования напряжения.

 

Учет требований по точности регулирования при построении желаемой ЛАЧХ

Для системы, показанной на рис. 1д, в общем случае ошибка регулирования складывается из трех составляющих: ошибки, вызванной изменениями задающего сигнала, eз(t), изображение по Лапласу которой есть

eз(t) = Фе(р)Duз(р),               (6)

ошибки, вызванной нестабильностью входного напряжения, eвх(t), с изображением

eвх(р) = –Фе(р)gWф(р)Dвх.ср(р),      (7)

ошибки, вызванной изменениями тока нагрузки, eн(t), изображение которой с учетом (1) есть

eн(р) = Фе(р)(Lp+r)Wф(p)Diн.д.ср(p).       (8)

В равенствах (6–8) Фe(p) = 1/[1+W(p)] — передаточная функция замкнутой системы для ошибки регулирования; W(p) — передаточная функция разомкнутой системы.

Ошибка eз(t) учитывает неточное отслеживание системой изменений задающего сигнала uз(t). Когда система работает в режиме стабилизации выходного напряжения, Duз(t) ≡ 0, составляющая eз(t) ошибки регулирования отсутствует.

Для оценки точности регулирования системы обычно используются значения установившихся ошибок при типовых воздействиях (скачкообразное, линейно изменяющееся, гармоническое и др.) [4].

Установившаяся ошибка определяется по теореме о предельном значении оригинала [4]:

Формула

Если система обладает астатизмом первого порядка, то ошибки при скачкообразных внешних воздействиях (статические ошибки) отсутствуют, но имеются ошибки при линейно изменяющихся воздействиях (скоростные ошибки), которые пропорциональны скорости изменения воздействия.

Все три составляющие скоростных ошибок обратно пропорциональны коэффициенту усиления разомкнутой системы K (добротности), определяемому в виде произведения коэффициентов усиления всех звеньев разомкнутой системы:

К = Кд(Кшим/Т)вхКуоКф.            (9)

В импульсных преобразователях линейное изменение внешних воздействий Dвх.ср(t) и Diн.д.ср(t) обычно не имеет места. Правильнее было бы рассматривать эти воздействия как случайные функции времени [6].

Если заданы максимальное значение внешнего воздействия, скорости его изменения и ускорения, то можно найти эквивалентное гармоническое входное воздействие и построить запретную область для ЛАЧХ [6].

Предположим, что двухтактный ключевой каскад питается от сетевого выпрямителя. Тогда амплитуда первой гармоники напряжения Dвх(t) приблизительно оценивается как (Dвх)Тс/2/2 = авх [7], где (Dвх)Тс/2 — размах пульсаций, изменяющихся с периодом Tc/2 = 1/(2fс), а fс — частота сети.

Амплитуда установившейся ошибки, вызванной воздействием вх~= авхsinwвхt, согласно (7) определяется выражением:

Формула

где в большинстве случаев |W(jwвх)| >> 1, следовательно, приближенно амплитуда ошибки:

Формула

Для обеспечения значения ошибки аевх, не превышающего допустимое значение Аевх, необходимо выполнение условия

Формула

откуда следует

L(wвх) = 20lg|W(jwвх)| Ак,

где Ак — ордината контрольной точки на ЛАЧХ, определяемая выражением

Формула 

 

Определение параметров неизменяемой при синтезе части схемы

Исходные данные, необходимые для проектирования: выходное напряжение 5 В; номинальный выходной ток 5 А; минимальный выходной ток 1 А; номинальное входное напряжение, приведенное ко вторичной обмотке выходного трансформатора [1], (вх.ср)Тс/2 = 12 В. Нестабильность выходного напряжения при изменении напряжения питающей сети на ±15% — не более 15 мВ; нестабильность выходного напряжения при изменении тока нагрузки от 1 до 5 А — не более 10 мВ; допустимый размах пульсаций выходного напряжения — не более 20 мВ [8]. Размах низкочастотных пульсаций входного напряжения, приведенного ко вторичной обмотке трансформатора, (Dвх.ср)Тс/2 = 6 В. Индуктивность дросселя выходного фильтра L = 20 мкГн, емкость выходного конденсатора C = 3600 мкФ.

Амплитуду первой гармоники входных пульсаций вх~ = авхsin2wвхt примем равной авх = (Dвх)Тс/2/2 = 3 В, а допустимое значение амплитуды ошибки регулирования, вызванной низкочастотными пульсациями, Аевх = 5 мВ. Тогда, принимая g = 5/12 = 0,42, по формуле (11) найдем ординату контрольной точки на ЛАЧХ Ак = 20lg(0,42 × 3/0,005) = 48 дБ.

Предполагая использование электролитических конденсаторов, примем частоту излома ЛАЧХ неизменяемой части, вызванного ЭПС выходного конденсатора, равной 5 кГц, т. е. wэпс = 2p × 5×103 = 31,42×103 рад/с [5]. Тогда постоянная времени выходного конденсатора

tС = 1/(2p × 5 × 103) = 31,83 мкс,

а эквивалентное последовательное сопротивление rC = tC/C = 31,83×10–6/3600 × 10–6 = 0,00884 Ом.

Найдем составляющие коэффициента усиления неизменяемой части. Выбрав Uоп = 2,5 В, найдем коэффициент передачи делителя

Кд = Uоп/uвых.ср = 2,5/5 = 0,5

и коэффициент усиления ШИМ

 Кшим/Т = F × (T/Uп) × (1/Т) = F/Uп = 1/2,5 = 0,4 В-1,

где фактор пульсаций F принят равным 1.

Коэффициент усиления неизменяемой части при Kф = 1 и F = 1

К0 = Кд × (Кшим/Т) × вх.ср = Кд × вх.ср/Uп = 0,5 × 0,4 × 15 = 3.

В работе [5] коэффициент K0 определяется по формуле:

 К0 = (uвхnтр)/Duyo.max,

где Duуо.max — полный эффективный диапазон изменения выходного напряжения усилителя ошибки, который, очевидно, равен амплитуде пилы Uп.

Передаточная функция неизменяемой части с учетом (4) есть

Формула

Постоянная времени LC-фильтра

 Тф LC = 20 × 10-6 × 3600 × 10-6 = 268,3 мкс,

соответствующая частота излома асимптотической ЛАЧХ (рис. 2) wф = 3,727·103 рад/с; коэффициент передачи фильтра на частоте входных пульсаций wвх = 4pfc = 4p × 50 = 628 рад/с |Wф(jwвх)| 1.

ЛАЧХ и ФЧХ для первого варианта: асимптотические ЛАЧХ (жирные линии); точные (тонкие линии)

Рис. 2. ЛАЧХ и ФЧХ для первого варианта: асимптотические ЛАЧХ (жирные линии); точные (тонкие линии)

 

Определение последовательного корректирующего звена

ЛАЧХ неизменяемой части L0(w) при найденных значениях параметров представлена на рис. 2. Возможны различные варианты желаемой ЛАЧХ Lж(w) [9].

Частоту среза разомкнутого контура wвх необходимо выбирать не менее чем на порядок меньше частоты задающего генератора [5], что при f = 100 кГц составляет примерно f≤ 10 кГц, wср = 2pf= 6,28 × 104 рад/с.

Для устранения влияния резонансного максимума АЧХ LC-фильтра, зависящего от сопротивления нагрузки, на частотные характеристики разомкнутого контура в окрестности частоты среза, частота среза должна быть не менее чем на порядок больше резонансной частоты фильтра. В нашем случае fф = wф/2p = 3,727 × 103/2p = 593 Гц, и частота среза должна быть больше 6 кГц. Следовательно, необходимо, чтобы выполнялось условие 6 кГц ≤ f≤ 10 кГц. Возьмем f= 7,5 кГц, wср = 2 7,5 × 103 = 4,71 × 104 рад/с (рис. 2).

Построим желаемую ЛАЧХ Lж(w) вида ЛАЧХ-I [9]. Для этого ее низкочастотный участок проведем с наклоном –20 дБ/дек через контрольную точку Aк (или выше нее), среднечастотный участок — также с наклоном –20 дБ/дек через точку wср на оси частот. Низкочастотный и среднечастотный участки желаемой ЛАЧХ сопрягаем отрезком с наклоном –40 дБ/дек, причем левую сопрягающую частоту этого участка примем равной резонансной частоте фильтра w1 = wф = 3,727 × 103 рад/с, а правую, являющуюся одновременно левой границей среднечастотного участка, равной w2 = 1,26 × 104 рад/с, так, чтобы L2 10 дБ. Правую границу среднечастотного участка w3 берем примерно в 10 раз больше w2, а именно w3 = 1,58 × 105 рад/с. Тогда желаемой ЛАЧХ соответствует передаточная функция

Формула

где K — коэффициент усиления разомкнутого контура, определяемый с учетом того, что низкочастотный участок желаемой асимптотической ЛАЧХ согласно (13) описывается выражением |Wж(jw)| = K/w и этот участок проходит через контрольную точку Aк. Имеем уравнение K/wвх = Aк, откуда

K = Aкwвх.

При wвх = 4pfс = 200p рад/с и ранее найденном значении Aк = 252 = 48 дБ имеем K = 252·200p = 1,583 ×·105 с–1.

ЛАЧХ последовательного корректирующего звена Lуо(w) = Lж(w)–L0(w), согласно рис. 2, соответствует передаточная функция

Формула

где Kуо = K/K0 = 1,583 × 105/3 = 5,277 × 104 с–1.

Недостатком звена с передаточной функцией (14) является невозможность его точной настройки, поскольку частота wэпс точно неизвестна и может иметь большой разброс в зависимости от типа выходного конденсатора импульсного преобразователя. Ожидаемого эффекта от использования этого сложного звена можно и не получить. На практике чаще всего используются звенья, показанные на рис. 3а и 3б. Для построения частотных характеристик первого варианта скорректированной системы используем выражение для передаточной функции скорректированной системы

Формула

где wф = 1/Tф.

Схемы последовательных корректирующих звеньев, выполненных на транскондуктивном усилителе, и их асимптотические ЛАЧХ

Рис. 3. Схемы последовательных корректирующих звеньев, выполненных на транскондуктивном усилителе, и их асимптотические ЛАЧХ

При построении второго варианта желаемой ЛАЧХ (рис. 4) частоту сопряжения низкочастотного участка с наклоном –20 дБ/дек с переходным участком с наклоном –40 дБ/дек, как и в предыдущем варианте, принимаем равной резонансной частоте LC-фильтра wф = w1. Частоту сопряжения указанного переходного участка со среднечастотным принимаем равной wэпс. Тогда может оказаться, что низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ необходимо будет разместить выше контрольной точки с ординатой Aк, как показано на рис. 4. Стремясь получить ординату L2 10 дБ, возьмем частоту среза fср = 15 кГц, wср = 2p × 15 = 9,42 × 104 рад/с, а правую частотную границу среднечастотного участка w2 = 10wэпс = 3,142 × 105 рад/с. При этом целесообразно повысить частоту задающего генератора до 150 кГц.

ЛАЧХ и ФЧХ для второго варианта: асимптотические ЛАЧХ (жирные линии); точные (тонкие линии)

Рис. 4. ЛАЧХ и ФЧХ для второго варианта: асимптотические ЛАЧХ (жирные линии); точные (тонкие линии)

Второй вариант желаемой ЛАЧХ соответствует желаемой передаточной функции

Формула

Тогда среднечастотный участок асимптотической ЛАЧХ описывается выражением:

|Wж(jw)| = Кwф/wэпсw.

Подставляя в это равенство w = wср, |Wж(jwср)| = 1, получаем

К = wэпсwср/wф = (3,142 × 104 × 9,42 × 104)/(3,727 × 103) = 7,941 × 105 рад/с,

что примерно в пять раз больше, чем в предыдущем варианте. Низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ располагается на 14 дБ выше контрольной точки.

ЛАЧХ последовательного корректирующего звена Lуо(w) = Lж(w) – L0(w) в данном варианте соответствует передаточная функция

Формула

реализуемая корректирующим звеном, показанным на рис. 3б, где Kуо = K/K0 = 7,941 × 105/3 = 2,647 × 105 с–1. Согласно рис. 3б,

t1 = 1/wф = R1C1;

T1 = 1/w2 = R1 × C1C2/(C1+C2);       (16)

Kyo = gm/(C1+C2).

Из третьего равенства (16) найдем

 C1+C2 = gm/Kyo = 2,25 × 10-3/2,647 × 105 = 8,50 × 10-9 Ф,

а из первого и второго равенств

 C2 = T1/t1 × (C1+C2) = wф/w2 × (C1+C2) = 3,727 × 103/3,142 × 103 × 8,5×10-9 = 0,1008 × 10-9 Ф.

Тогда

 C1 = (8,5–0,101) × 10-9 = 8,4 × 10-9 Ф,

R1 = 1/wфC1 = 1/(3,727 × 103) × (8,4 × 10-9) = 31,94 × 103 Ом.

Передаточная функция скорректированной системы в данном варианте определяется выражением

Формула

которое по форме аналогично передаточной функции Wск(p) предыдущего варианта, но отличается иными сопрягающими частотами.

Для суждения об устойчивости замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам (ЛАЧХ и АЧХ) учтем, что, согласно критерию Найквиста, в простейшем случае (рис. 2) точка пересечения ЛФЧХ с линией –180° должна лежать правее частоты среза wср.

В общем случае, если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы число положительных переходов ЛФЧХ разомкнутой системы через линию –180° (снизу вверх) равнялось числу отрицательных переходов (сверху вниз) левее частоты среза разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ∞ [4]. Такой случай имеет место на рис. 4 при zф = 0,1 и 0,2, где в точках 2 и 4 — положительные переходы, в точках 1 и 3 — отрицательные. Запасы устойчивости по фазе составляют в первом варианте (рис. 2) m≈ 55°, во втором (рис. 4) — m≈ 54°.

На рис. 5 показаны АФЧХ разомкнутого контура для рассмотренных двух вариантов. Справа в увеличенном масштабе показан вид АФЧХ вблизи начала координат для демонстрации неохвата АФЧХ точки (–1, j0). Точки 1–4 на рис. 5б соответствуют точкам с такими же номерами на рис. 4, причем в точках 1 и 3 на рис. 5б происходит отрицательный переход АФЧХ через отрезок (–∞, –1), в точках 2 и 4 — положительный переход через этот отрезок.

АФЧХ разомкнутого контура

Рис. 5. АФЧХ разомкнутого контура:
а) для первого варианта;
б) для второго варианта, где U и V — вещественная и мнимая части АФЧХ; штриховые линии в четвертом квадранте условно обозначают дуги окружности бесконечного радиуса, дополняющие АФЧХ

Поскольку системы обладают астатизмом первого порядка и АФЧХ при w = 0 оказывается в бесконечности, то для использования критерия устойчивости Найквиста эти характеристики необходимо дополнить дугой бесконечного радиуса, расположенной в четвертом квадранте [4]. Построенные АФЧХ подтверждают устойчивость обоих вариантов систем, поскольку АФЧХ не охватывают точку (–1, j0) при изменении частоты от 0 до ∞.

С помощью АФЧХ можно оценить значение коэффициента колебательности M для синтезированных систем. Для этого по формулам [4]

С = М2/(М2–1);

R = М/(М2–1);

(U+C)2+V2 = R2

находим окружность наибольшего радиуса R с центром в точке C на оси U, которая не пересекается с АФЧХ, а только касается ее в наихудшем случае, когда zф = 0,1 (рис. 6).

Иллюстрация нахождения коэффициента колебательности M

Рис. 6. Иллюстрация нахождения коэффициента колебательности M:
а) для первого варианта;
б) для второго варианта

На рис. 7 представлены переходные характеристики замкнутых систем для обоих вариантов. Для первого варианта (wср = 7,5 кГц) время нарастания характеристики до установившегося значения составляет tнар1 = 35,18 мкс и перерегулирование в наихудшем случае, когда zф = 0,1, s1 = 24%, для второго варианта (wср = 15 кГц) время нарастания примерно в два раза меньше (tнар2 = 16,94 мкс), но перерегулирование чуть больше (s2 = 26%).

Переходные характеристики замкнутой системы для первого (кривые 1) и второго (кривые 2) вариантов ЛАЧХ

Рис. 7. Переходные характеристики замкнутой системы для первого (кривые 1) и второго (кривые 2) вариантов ЛАЧХ

 

Выводы

  • При обоих вариантах желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы обеспечивается приемлемое значение запаса устойчивости по фазе 55° и 54°, однако во втором варианте более высокое значение частоты среза (15 кГц вместо 7,5 кГц), вследствие чего во втором варианте следует ожидать более быстрого затухания переходных процессов, что подтверждается построенными переходными характеристиками замкнутых систем.
  • Одной из особенностей синтеза систем управления импульсными преобразователями, затрудняющих решение этой задачи, является наличие в контуре колебательного звена, которое вызывает резкое нарастание модуля отрицательной фазы разомкнутого контура вблизи резонансной частоты звена. Необходимо, чтобы частота среза не менее чем в 10 раз отличалась от резонансной частоты звена.
  • Изложенная методика синтеза обеспечивает высокую статическую точность регулирования и хорошее качество переходного процесса в линеаризованной непрерывной модели замкнутой системы (низкую колебательность, коэффициент колебательности M 1,30 в первом варианте и M 1,33 во втором, малые перерегулирование и время нарастания переходной характеристики до установившегося значения). Как видно на рис. 6, влияние коэффициента затухания LC-фильтра zф, а следовательно, и нагрузки преобразователя, на динамику в замкнутой системе существенно ослабляется.

Для окончательного суждения о динамических свойствах скорректированных систем необходимо провести их моделирование с учетом дискретности и нелинейности.

Литература
  1. Белов Г. А., Серебрянников А. В. К синтезу одноконтурной системы управления двухтактным импульсным преобразователем // Силовая электроника. 2013. № 3.
  2. Белов Г. А. Динамика импульсных преобразователей. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та. 2001.
  3. Иванов А. Г., Белов Г. А., Сергеев А. Г. Системы управления полупроводниковыми преобразователями. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та. 2010.
  4. Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. 1989.
  5. Brown M. Power Supply Cookbook. Second Edition Newnes. 2001.
  6. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука. 1976.
  7. TOPSwitch – GX Flyback Design Methodology. Application Note AN-32. powerint.com.
  8. Микросхемы для импульсных источников питания и их применение. 2-е изд., испр. и доп. М.: Додэка-XXI. 2001.
  9. Основы проектирования следящих систем. М.: Машиностроение. 1978.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *