Предельные непрерывные модели типовых импульсных преобразователей напряжения переменного тока

Введение

Во многих областях, в частности в электромеханических системах автоматики и в электропитании, требуется изменение величины напряжения переменного тока. Для этого традиционно применяют магнитные усилители, многообмоточные трансформаторы с тиристорной коммутацией обмоток, различные тиристорные схемы, изменяющие величину напряжения за счет искажения формы синусоиды. Такие устройства отличаются неудовлетворительными весогабаритными показателями или не обеспечивают нужные пределы, плавность регулирования, синусоидальную форму напряжения. Использование автотрансформаторов, управляемых двигателями, обладает плавностью регулирования и не искажает форму напряжения, но, очевидно, громоздко, дорого и неудовлетворительно по быстродействию.

Прогресс силовой полупроводниковой техники привел к широкому распространению систем регулирования переменного напряжения по схеме «выпрямитель — широтно регулируемый инвертор». Плавное регулирование амплитуды и частоты напряжения позволило обеспечить бурное развитие высококачественных регулируемых приводов переменного тока. При необходимости же регулировать только величину переменного напряжения — такая схема вряд ли оправдана экономически. Кроме того, при наличии однофазной сети габариты схемы существенно увеличивает фильтр выпрямленного напряжения.

При достаточно высокой частоте коммутации известные импульсные преобразователи постоянного напряжения могут преобразовывать и напряжение переменного тока, например промышленной частоты. Разумеется, ключи (К), осуществляющие коммутацию, должны проводить ток в обе стороны. Современные силовые полевые транзисторы (Mosfet) и транзисторы типа IGBT допускают частоту переключений f  в десятки и сотни килогерц при напряжениях в сотни вольт и токах в десятки и сотни ампер. Вследствие высокой частоты коммутации и малых потерь в транзисторных ключах весогабаритные и энергетические показатели импульсных преобразователей напряжения переменного тока (ИПНПТ) и качество их выходного напряжения оказываются весьма высокими.

Первые попытки в этом направлении предпринимались еще в 1970–80-х годах [2, 3]. Однако недостаточное быстродействие полупроводниковых приборов не позволяло достичь высоких показателей качества ИПНПТ. Другим препятствием было почти полное отсутствие теоретического исследования подобных устройств. Если первое препятствие к настоящему времени практически снято, то второе во многом остается в силе. Поэтому актуально теоретическое исследование процессов в типовых ИППН, представленных на рис. 1, при синусоидальном входном напряжении u₁.

 

Анализ установившегося процесса в типовых ИППН при синусоидальном входном напряжении

В общем случае в n-м периоде переключений импульсный преобразователь описывается двумя различными векторно-матричными уравнениями [4, 5]:

где X^T = [x₁, x₂, …, x_m] — вектор фазовых координат, в качестве которых выбраны токи в индуктивностях и напряжения на конденсаторах, непрерывные в моменты коммутации ключа К, полагаемого идеальным; А₁ и А₂ — m×m — квадратные матрицы, элементами которых являются параметры анализируемых цепей, полагаемые постоянными; U_m и Ω — амплитуда и частота преобразуемого гармонического напряжения; h₁ = k₁c, h₂ = k₂c; c — вектор-столбец; c^T = [1, 0, …,0] — m-мерные векторы; k₁ и k₂ — постоянные; T = 2p/(NΩ) — период коммутации; N >> 1 — целое число.

Согласно полученному в статье [1] результату — формулы (9) и (10), — предельная непрерывная модель импульсного преобразователя описывается системой дифференциальных уравнений, записанной в векторно-матричной форме:

где

Для удобства анализа введем в рассмотрение комплексный вектор фазовых координат: 

Х^*= RеХ^*+jI_mХ^*, мнимая часть которого удовлетворяет уравнению (3), то есть I_mХ^*=Х, а вещественная часть удовлетворяет тому же уравнению (3), в правой части которого синусоидальное напряжение заменено косинусоидальным напряжением той же амплитуды и частоты, то есть .

Очевидно, для комплексного вектора Х^* можно записать следующее векторно-матричное уравнение:

Выполнив при нулевых начальных условиях (X^*(0) = 0) в уравнении (4) преобразование Лапласа, получаем изображение отклика на гармоническое воздействие:

Заметим, что независимость установившегося режима в устойчивой линейной системе (4) от начальных условий (НУ) позволяет упростить его построение, приняв НУ нулевыми.

Преобразование по Лапласу установившейся реакции предельно-непрерывной модели преобразователя на гармоническое воздействие U_mexp(jΩt) составляет часть изображения отклика, соответствующего простому полюсу p = jΩ. Для ее определения достаточно найти числители простейшей дроби C/(p – jΩ) в разложении на простейшие дроби элементов вектора X^*(p) (5). Для этого в вектор C(p) = (pE – A)^-1h надо подставить p = jΩ.

В результате изображение установившейся реакции имеет вид:

где

Выполнив обратное преобразование Лапласа, получаем:

Предельные непрерывные модели установившегося режима основных импульсных преобразователей при идеальном источнике входного напряжения

А. Рассмотрим повышающий преобразователь, представленный расчетной схемой на рис. 1а. Для положений переключателя 1 и 2 повышающий преобразователь описывается следующими двумя системами дифференциальных уравнений соответственно:

где u₁ = U_m sin(Ωt) — преобразуемое напряжение; u₂ — выходное напряжение; R_Н, L_Н — активное сопротивление и индуктивность нагрузки; C — емкость конденсатора фильтра; L и r — индуктивность и активное сопротивление дросселя, в которые можно включить активную и индуктивную составляющие выходного сопротивления источника преобразуемого напряжения u₁, T — период коммутации.

Обозначив фазовые координаты преобразователя

можно системы уравнений (9) и (10) представить соответственно в виде двух векторно-матричных уравнений (1) и (2), где

Подстановка выражений (12), (13) в формулы (7) и (8) дает:

где

Заметим, что при обращении матрицы необходимо определить только элементы ее первого столбца, для чего достаточно решить систему (3) из девяти линейных уравнений, определяющих элементы обратной 3×3 матрицы.

Б. Рассмотрим инвертирующий преобразователь, расчетная схема которого представлена на рис. 1б, полагая, как и выше, источник входного напряжения идеальным. Согласно расчетной схеме, при первом и втором положениях ключа преобразователь описывается соответственно двумя системами дифференциальных уравнений, аналогичными системам уравнений повышающего преобразователя (9), (10):

Использовав те же обозначения фазовых координат (11), получаем матрицы, векторы и коэффициенты уравнений (1) и (2):

Действуя аналогично предыдущему, получаем для установившегося режима:

где

 

В. Понижающий преобразователь, представленный расчетной схемой на рис. 1в, рассмотрим, также полагая источник входного напряжения идеальным. Согласно расчетной схеме, ниже записаны системы дифференциальных уравнений преобразователя для положений переключателя 1 и 2 соответственно:

Матрицы, векторы и коэффициенты систем (1) и (2) при тех же, что и выше, обозначениях фазовых координат (11) имеют вид:

Аналогично получаем для установившегося режима:

где

Поскольку понижающий импульсный преобразователь при идеальном источнике входного напряжения не изменяет свою структуру, установившийся режим можно построить частотным методом [5, 6]. Входное напряжение LC-фильтра преобразователя (u_ф на рис. 1в), представленное на рис. 2, разложенное в ряд Фурье, имеет основную гармонику с частотой входного напряжения Ω, амплитудой U_m1 = γU_m и нулевой фазой φ₁ = 0. Высшие гармоники напряжения имеют частоты (kN ± 1)Ω и соответствующие амплитуды и фазы:

Используя комплексную амплитуду первой гармоники напряжения u_ф , можно определить комплексную амплитуду первой гармоники выходного напряжения по формуле:

использующей те же обозначения, что и в фор­муле (23).

Нетрудно проверить совпадение комплексной амплитуды первой гармоники выходного напряжения с ее амплитудой, найденной из выражения x₂^* (23).

Анализ свойств основных схем преобразователей в установившемся режиме

Запишем согласно формулам (14), (15), (19) и (23) выражения для комплексной амплитуды выходного напряжения (x₂^*) в виде:

где z_нс = z_нz_с(z_н + z_с)^-1 — комплексное сопротивление нагрузки и параллельно включенного конденсатора фильтра C.

Согласно выражениям (26), непрерывную модель преобразователя можно рассматривать как источник регулируемого напряжения переменного тока, ЭДС E_m и выходное сопротивление z_вых которого определяются выражениями:

Очевидно, что выражения для ЭДС повторяют формулы выходного напряжения соответствующих импульсных преобразователей напряжения постоянного тока (повышающего, инвертирующего и понижающего). Выходное сопротивление повышающего и инвертирующего преобразователей оказывается переменным, увеличивающимся вместе с ростом ЭДС, причем значительно быстрее последней. Это обстоятельство оказывается следствием различия структуры преобразователей в первой и во второй частях периода коммутации. У понижающего же преобразователя структура не изменяется, поэтому выходное сопротивление его постоянно. Во всех схемах z_вых имеет активно-индуктивный характер со значительно преобладающей индуктивной составляющей, что характерно для дросселей.

При построении регуляторов и стабилизаторов переменного напряжения на основе повышающего или инвертирующего преобразователя необходимо ограничивать величину γ сверху неравенством γ< γ_КР, поскольку превышение γ_КР вместо увеличения выходного напряжения вызовет его уменьшение под действием обратной связи вплоть до 0 при γ = 1. Ток дросселя при этом может иметь недопустимо большое значение.

У повышающих преобразователей нетрудно показать, используя исходные формулы (15, 19), что? несмотря на стремление ЭДС повышающего и инвертирующего преобразователей к ∞ (бесконечности) при γ, стремящейся к 1, их выходное напряжение при этом стремится к нулю, что объясняется более быстрым стремлением к ∞ выходного сопротивления. Физическая же причина этого заключена в ограничении амплитуды тока дросселя величиной:

I_lm< U_m/(r² + Ω²L²),

тогда как при стремлении γ к 1 ток дросселя должен неограниченно расти, чтобы за исчезающее малое время (1 – γ)T компенсировать разряд конденсатора С током нагрузки i_Н за время γT. Сказанное означает, что для повышающего и инвертирующего преобразователей существует критическое значение γ–γ_КР, при котором выходное напряжение (его амплитуда или действующее значение) при фиксированных значениях z_ДР, z_Н, z_С, достигает максимальной величины. Для определения γ_КР необходимо исследовать на экстремум по γ выражения амплитуды выходного напряжения:

где

Исследование на экстремум первого выражения дает γ_КР для повышающего преобразователя:

которому соответствует максимальная амплитуда выходного напряжения

Для инвертирующего преобразователя

где x_КР — положительный корень уравнения:

Несложно показать, что в силу a > 0 уравнение (31) имеет единственный положительный корень 0< x_КР<0,5 и, следовательно, для инвертирующего преобразователя

При одинаковых γ_КР, то есть одинаковых |z_ДР/z_НС|, отношение (U_2m)_max/U_m имеет разные значения, лежащие в пределах:

Нижний предел соответствует z_ДР/z_НC = a, b = 0, верхний предел соответствует a = 0, z_ДР/z_НC= jb.

В инвертирующем преобразователе γ_КР зависит не только от модуля z_ДР/z_НC, но и от его вещественной части, причем при одинаковом модуле большему значению вещественной части (a) соответствуют меньшие x_КР и (U_2m)_max/U_m и большее γ_КР. При вещественном z_ДР/z_НC (z_ДР/z_НC = a) положительный корень уравнения (31) x_КР и соответствующие ему γ_КР и (U_2m)_max/U_m имеют аналитические выражения:

Полученные выражения могут служить при известном значении |z_ДР/z_НС| оценкой снизу для x_КР и (U_2m)_max/U_m и оценкой сверху для γ_КР.

Для выбора транзисторов, образующих ключевой элемент преобразователей, например представленного на рис. 3, необходимо знать наибольший коммутируемый ими ток. Во всех схемах транзисторы коммутируют ток дросселя i_L, амплитуда которого и должна учитываться при выборе транзисторов ключевого элемента.

При исчезающем малом периоде коммутации Т, учтя обозначения (11), из выражений (14), (15), (19) и (23) несложно выразить отношение комплексных амплитуд токов дросселя и тока нагрузки:

Учитывая, что при выполнении условия , можно амплитуду тока дросселя считать в (1 – γ)^–1 раз большей амплитуды тока нагрузки в повышающей и инвертирующей схемах, а в понижающей схеме можно амплитуды токов считать равными.

В реальных схемах при конечном Т необходимо учесть еще и пульсации тока дросселя, накладывающиеся на полезную (гладкую) составляющую тока [6].

 

Пример расчета электронного повышающего трансформатора

Рассчитаем электронный повышающий трансформатор U₁/U₂ = 110/220, выполненный по схеме повышающего преобразователя (рис. 1а). Рассмотрим два варианта нагрузки мощностью 1100 В·А (220 В, 5 А, 50 Гц): z_Н1 = 40+18,33j; z_Н2 = 18,33+40j; (|z_Н| = U₂/I_Н = = 220/5 = 44 Ом). Частоту коммутации f примем равной 50 кГц, то есть в 10³ раз выше частоты сети f₀ = 50 Гц. Допустимый размах пульсаций (удвоенную амплитуду) положим для тока дросселя равным DI_Lmax = 0,225 А, а для выходного напряжения DU_2max = 5 В.

Рассчитаем индуктивность дросселя и емкость конденсатора фильтра, приняв U₂ ~ E_m, согласно первой из формул (27) имеем γ = 1–U₁/U₂=0,5. По формулам из монографии [6] получаем:

Для простоты примем активное сопротивление дросселя равным нулю (r = 0).

Для уточнения значения γ необходимо решить относительно γ уравнение

полученное по первой из формул (26).

Последнее уравнение, обозначив x = 1 – γ, легко преобразовать к виду: , где  

Вычисление модуля комплексного числа x + a/x позволяет свести полученное уравнение к биквадратному уравнению:

 

Комплексный коэффициент a принимает значение:

a₁ = 0,010917 + 0,044878j при z_Н1 и a₂ = 0,035229 + 0,020565j при z_Н2.

Решение биквадратного уравнения дает пары положительных корней: x₁ = 0,4673, x₂ = 0,0988 (γ₁ = 0,5327, γ₂ = 0,9012) при a₁ и x₁ = 0,4120, x₂ = 0,0990 (γ₁ = 0,5880, γ₂ = 0,9010) при a₂. Из пары полученных значений γ следует выбрать меньшее, соответствующее возрастающей ветви статической характеристики преобразователя U₂ = f(γ). Статические характеристики преобразователя в относительных единицах для указанных значений нагрузки z_Н1 и z_Н2 представлены на рис. 4 (кривые 1 и 2 соответственно).

По формулам из монографии [6] уточнен размах пульсаций:

где z_HC = z_Н1/(1 + jΩC z_Н1) = 45,6959 + 11,1151j = = 47,0284·e^jφ, φ = 13,67°.

При этом максимум пульсаций тока дросселя сдвинут по фазе относительно максимума тока дросселя на угол j = 13,67° в сторону опережения, а максимум пульсаций напряжения отстает от максимума напряжения на такой же угол.

Аналогично вычислено и для нагрузки z_Н2:

где z_HC=z_Н2/(1 + jΩC z_Н2) = 26,8443 + 45,9852j =  53,2471·e^jφ, φ = 59,73°.

При этом максимум пульсаций тока дросселя сдвинут по фазе относительно максимума тока дросселя на угол j = 59,73° в сторону опережения, а максимум пульсаций напряжения отстает от максимума напряжения на такой же угол.

Согласно формуле (35), максимальный коммутируемый ключом К (рис. 3) ток, равный амплитуде тока дросселя, превышает амплитуду тока нагрузки в (1 – γ)^–1|1 + z_H/z_C| раз, что составляет 2,0021 при z_Н1 и 2,0057 при z_Н2.

Существенный выигрыш в коммутируемом токе можно получить при z_Н2, выбрав емкость конденсатора фильтра из условия компенсации реактивной составляющей тока нагрузки согласно формуле:

Такой выбор емкости делает сопротивление z_HC чисто активным и равным 105,62 Ом, то есть почти в два раза большим, чем |z_HC| при предыдущем выборе емкости. Аналогично вышеизложенному получаем значения γ₁ = 0,5017 и γ₂ = 0,9587. Максимальный коммутируемый ключом К ток в этом случае превышает амплитуду тока нагрузки в 0,836 раза, то есть меньше ее в 1,196 раза. Существенно снижаются и пульсации выходного напряжения, составляющие:

Статическая характеристика имеет в этом случае больший максимум и большее значение γ_КР (кривая 3 на рис. 4). Значения γ_КР, рассчитанные по формуле (28) для рассмотренных случаев, составляют 0,7851; 0,7980; 0,8566.

Значительный интерес представляет моделирование импульсных преобразователей напряжения переменного тока с учетом импульсного характера процессов, позволяющее проверить результаты расчетов, основанных на использовании непрерывных моделей. В качестве базы моделирования удобно использовать систему Matlab 6.5 с версиями пакетов Simulink 5.0 и SimPowerSystem 2.3 [7–9].

Моделирование ключа с двухсторонней проводимостью на реальных элементах (рис. 3) вызывает определенные трудности. Поэтому проще использовать идеальный ключ (Ideal Switch) из библиотеки силовых элементов полупроводниковых преобразователей (Power Electronics), позволяющий учесть внутреннее сопротивление реального ключа и снабберные цепи. Схема моделирования представлена на рис. 5. Обе половинки ключа управляются импульсами генератора (Discrete Pulse Generator) из библиотеки (Sources), поступающими на ключи в противофазе и имеющими заданную частоту f и скважность γ.

Результаты моделирования и расчетов хорошо совпадают, что можно видеть из осциллограмм тока дросселя и напряжения нагрузки, представленных на рис. 6 для случая z_Н2, С = 14,14 мкФ.

Поскольку максимум пульсаций тока дросселя i_L сдвинут по фазе относительно максимума тока дросселя на угол φ = 59,73 ~ 60° в сторону опережения, а максимум пульсаций выходного напряжения u₂ отстает от максимума напряжения на такой же угол, максимальные пульсации соответствуют мгновенным значениям, составляющим половину амплитудного значения. При этом максимальные пульсации тока имеют место при возрастании тока, а максимальные пульсации напряжения — при убывании напряжения. Участки временных диаграмм i_L и u₂ представлены на рис. 7 и 8 соответственно.

Экспериментально определенный максимальный размах пульсаций тока дросселя i_L и выходного напряжения u₂ практически совпал с расчетным размахом пульсаций.

 

Выводы

1. Предложенная методика позволяет получить в конечном виде математическое описание установившегося режима импульсного преобразователя при идеальном источнике входного напряжения.
2. Импульсный преобразователь переменного напряжения при достаточно высокой частоте коммутации можно рассматривать как регулируемый источник переменного напряжения. ЭДС и выходное сопротивление повышающего и инвертирующего преобразователя растут при увеличении относительной длительности импульсов γ.
3. Зависимость выходного напряжения повышающего и инвертирующего преобразователей от γ имеет максимум вследствие более быстрого роста выходного сопротивления, чем ЭДС. Выходное напряжение преобразователей стремится к 0 при стремлении γ к 1 даже в случае нулевого активного сопротивления дросселя.
4. Компенсация реактивной (индуктивной) составляющей тока нагрузки за счет увеличения емкости конденсатора фильтра существенно улучшает свойства преобразователя.