Дискретные структурные динамические модели понижающего импульсного ППН при модуляции момента включения силового транзистора и двусторонней модуляции

В статье предлагается обоснование линеаризованных дискретных структурных динамических моделей понижающего ППН (рис. 1а) при модуляции момента включения силового транзистора и двусторонней модуляции.

Рис. 1.
а) Схема силовой части понижающего импульсного ППН;
б) ее нелинейная дискретная структурная динамическая модель для режима прерывистого тока (РПТ)

При обосновании линеаризованных моделей импульсного ППН будем исходить из обоснованной ранее в [1] нелинейной модели (рис. 1б), составленной из линейных динамических звеньев с передаточными функциями G(p), Z(p) и ключей K1–K3

где L и r — индуктивность силового дросселя и активное сопротивление цепи дросселя; R — сопротивление нагрузки; r_C — эквивалентное последовательное сопротивление (ЭПС) выходного конденсатора; C — емкость этого конденсатора, t_C = r_CC — постоянная времени. Ключи K1–K3 передают сигнал только со входа на выход ключа; под изображением ключа указано время его замкнутого состояния, причем t₁ — длительность включенного состояния силового транзистора, t_с — время спада тока дросселя. Выходной сигнал ключа обозначен так же, как и входной сигнал, но со «звездочкой».

Используется общий метод линеаризации нелинейных систем автоматического управления в окрестности некоторого установившегося режима работы [6]. При этом предполагается, что на систему, работавшую в установившемся режиме, извне воздействует малое возмущение (или несколько малых возмущений). В качестве возмущения может служить также изменение начальных условий для описывающих систему дифференциальных уравнений.

Линеаризацию нелинейной дискретной модели (рис. 1б) иллюстрирует рис. 2, на котором в верхней части сплошными линиями показаны кривые сигналов i_L, u_вых, u_вых^*, u_вх, u_вх^*, u_д.пр, u_д.пр^*, действующих в нелинейной модели понижающего ППН в установившемся режиме, а штрихами — кривые этих же сигналов в возмущенном режиме, обозначенные как i_L+Δi_L, u_вых+Δu_вых, u_вых^*+Δu_вых^*, u_вх+Δu_вх, u_вх^*+Δu_вх^*, u_д.пр^*+Δu_д.пр^*. Предполагается, что сигнал u_д.пр(t) при переходе к возмущенному режиму не меняется. Кривые возмущенного режима должны мало отличаться от соответствующих кривых установившегося режима, в остальном их вид произволен (за исключением моментов переключений в схеме).

Рис. 2. Временные диаграммы, поясняющие линеаризацию нелинейной импульсной модели понижающего ППН в РПТ

В нижней части рис. 2 показаны приблизительно кривые сигналов Δi_L, Δu_вых, Δu_вых^*, Δu_вх, Δu_вх^* и Δu_д.пр^*, получаемые вычитанием кривых установившегося (стационарного) режима из соответствующих кривых возмущенного режима. Эти сигналы называются вариациями соответствующих сигналов установившегося режима и, в отличие от последних, обозначаются дополнительным символом «Δ» [6].

Анализируя кривые вариаций сигналов на рис. 2, видим, что на вход звена G(p) модели понижающего ППН (рис. 1а) на каждом периоде T при отсчете времени от момента включения силового транзистора подаются шесть элементарных импульсов:

1. Импульс конечной высоты u_вых(0)+Δu_вых(0) и малой длительности |Δt₁|, действующий в начальный момент времени, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt₁.
2. Импульс малой переменной высоты Δu_вых(t) и конечной длительности t₁+t_с, действующий на интервале t₁+t_с, полярность которого совпадает со знаком сигнала Δu_вых(t).
3. Импульс конечной высоты u_вых(t₁+t_с)+Δu_вых(t₁+t_с) и малой длительности |Δt_с|, действующий в момент t₁+t_с, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt_с.
4. Необходимо учитывать, что перечисленные в п. 1–3 импульсы инвертируются в суммирующем узле, как и сигнал u_вых^* в схеме на рис. 1б.
5. Импульс конечной высоты u_вх(0)+Δu_вх(0) и малой длительности |Δt₁|, действующий в начальный момент времени, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt₁.
6. Импульс малой переменной высоты Δu_вх(t) и конечной длительности t₁, действующий на интервале t₁, полярность которого совпадает со знаком вариации Δu_вх(t).
7. Импульс конечной высоты u_д.пр и малой длительности |Δt_с|, действующий в момент t₁+t_с, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt₁. Этот импульс инвертируется в суммирующем звене, как и сигнал u_д.пр^* в схеме на рис. 1б.

Заменяя импульсы малой длительности, действующие на входе звена G(p), дельта-импульсами эквивалентной площади, получаем линейную импульсную модель (рис. 3а), в которой учтены указанные шесть импульсов, а время отсчитывается от момента отпирания силового транзистора.

Рис. 3. Линеаризованные импульсные модели для вариаций тока силового дросселя понижающего ППН:
а) исходная;
б, в) преобразованные

Импульсы конечной высоты u_вых(0)+Δu_вых(0), u_вых(t₁+t_с)+Δu_вых(t₁+t_с) и u_вх(0)+Δu_вх(0) и u_д.пр, показанные на рис. 2 и 3а, заменены дельта-импульсами, формируемыми на выходах идеальных импульсных элементов ИЭ1–ИЭ4 и пропускаемыми через пропорциональные звенья с коэффициентами передачи соответственно u_вых(0), u_вых(t₁+t_с), u_вх(0) и u_д.пр. При этом значения вариаций Δu_вых(0), Δu_вых(t₁+t_с), Δu_вх(0) не учитываются, поскольку они предполагаются малыми по сравнению со значениями u_вых(t) и u_вх(t). Ключи K1, K2 периодически замыкаются на время, указанное под изображением ключа.

Параллельно соединенные ветви с одинаковыми идеальными импульсными элементами ИЭ1 и ИЭ3, ИЭ2 и ИЭ4 на рис. 3а можно заменить одной ветвью с таким же импульсным элементом и соединенным последовательно с ним пропорциональным звеном с коэффициентом передачи u_вх(0)– u_вых(0) и u_вых(t₁+t_с)+u_д.пр (рис. 3б).

Учтем, что непосредственно из рассмотрения кривых сигналов i_L(t) и i_L(t)+Δi_L(t) на рис. 2 при малых отклонениях следует равенство

откуда найдем

В выражении (2) для понижающего ППН имеем:

где i_L(t₁+t_с) = 0. Теперь выражение (1) принимает вид:

Следовательно, входной сигнал Δt_с верхней ветви схемы на рис. 3б можно заменить сигналом Δi_L(t₁+t_с–0), добавив последовательно с ИЭ2 пропорциональное звено с коэффициентом передачи L/[u_вых(t_с)+u_д.пр], и преобразовать схему на рис. 3б к виду, показанному на рис. 3в.

Объединяя схему, представленную на рис. 3в, со схемой для выходного конденсатора (рис. 1б), согласно которой справедливо равенство

Δu_вых(p) = Z(p)[Δi_L(p)–Δi_н.д(p)],

получаем линейную импульсную динамическую модель всей силовой части понижающего импульсного ППН для РПТ (рис. 4а).

В режиме непрерывного тока (рис. 4б) пауза между импульсами тока i_L(t), имеющаяся на рис. 2, исчезает; справедливо равенство t₁+t_с=T; ключ K2 в схеме на рис. 1б непрерывно замкнут; импульсы Δu_вых^*, имеющиеся на рис. 2, будут отсутствовать.

Анализируя кривые вариаций сигналов при переходе от установившегося режима к возмущенному в РНТ (рис. 4б) при отсчете времени от момента отпирания силового транзистора, видим, что на вход звена G(p) линеаризованной модели подаются три элементарных импульса:

1. Импульс конечной высоты u_вх(0)+Δu_вх(0) (в общем случае напряжение u_вх в стационарном режиме является переменным, например за счет пульсаций) и малой длительности |Δt₁|, действующий в начальный момент, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt₁.
2. Импульс малой переменной высоты Δu_вх(t) и конечной длительности t₁, действующий на интервале t₁, полярность которого совпадает со знаком вариации Δu_вх(t).
3. Импульс конечной высоты u_д.пр и малой длительности |Δt₁| (предполагаем, что прямое падение напряжения на открытом силовом диоде в установившемся и возмущенном режимах одинаково), действующий в начальный момент, полярность которого противоположна знаку приращения Δt₁; учтем, что этот импульс инвертируется в суммирующем узле.

Линеаризованная импульсная модель в РНТ (рис. 4в), где u^м.ф_РНТ = u_вх(0)+u_д.пр, как видно, получается из модели для РПТ, но не так просто, как в случае модуляции момента выключения силового транзистора [2]. В случае модуляции момента включения силового транзистора (модуляции фронта) для перехода от модели для РПТ (рис. 4а) к модели для РНТ (рис. 4в) необходимо не только исключить цепь обратной связи через идеальный импульсный элемент ИЭ2, замкнуть ключ K1, но и заменить коэффициент передачи u^м.ф_РПТ = u_вх(0)–u_вых(0) на u^м.ф_сх1 = u_вх(0)+u_д.пр.

Рис. 4.а) Линеаризованные импульсные структурные динамические модели силовой части понижающего ППН при модуляции момента включения силового транзистора для РПТ (а) и РНТ (в);
б) временные диаграммы, поясняющие особенности линеаризации в РНТ

Двусторонняя ШИМ

Линеаризацию нелинейной дискретной структурной модели (рис. 1б) в случае двусторонней ШИМ иллюстрирует рис. 5, где, в отличие от рис. 2, показаны только кривые сигналов u_вых^*, u_вх^* и u_д.пр^* в установившемся и возмущенном режимах без кривых изменения u_вых, u_вх и u_д.пр. В установившемся режиме силовой транзистор открывается в момент t’ и запирается в момент t” пересечения кривой выходного напряжения усилителя ошибки u_у.о(t) с графиком пилообразного (треугольного) напряжения u_п(t), причем ни один из моментов времени t’, t” не связан жестко c тактовыми моментами времени, в то время как на рис. 2 моменты выключения силового транзистора совпадают с тактовыми моментами. Длительность открытого состояния силового транзистора в данном случае изменяется за счет модуляции момента фронта на Δt₁^ф и модуляции момента спада на Δt₁^с.

Рис. 5. Временные диаграммы, поясняющие линеаризацию нелинейной импульсной модели понижающего ППН в РПТ, при двусторонней модуляции; u_у.о — выходное напряжение усилителя ошибки, входящего в состав системы управления

Как показано на рис. 5 и 1б, при двусторонней ШИМ на вход звена G(p) модели на рис. 1б на каждом периоде T подаются восемь элементарных импульсов:

1. Импульс конечной высоты u_вых(t’)+Δu_вых(t’) и малой длительности |Δt₁^ф|, действующий в момент t’, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt₁^ф.
2. Импульс малой переменной высоты Δu_вых(t) и конечной длительности t₁+t_с, действующий на интервале t₁+t_с, полярность которого совпадает со знаком сигнала Δu_вых(t).
3. Импульс конечной высоты u_вых+Δu_вых и малой длительности |Δt₁^с+Δt_с|, действующий в момент t”+t_с, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt₁^с+Δt_с.

Перечисленные три импульса инвертируются в суммирующем звене, как и сигнал u_вых^*.

4. Импульс конечной высоты u_вх+Δu_вх и малой длительности |Δt₁^ф|, действующий в момент t’, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt₁^ф.
5. Импульс малой высоты Δu_вх и конечной длительности t₁, действующий на интервале t₁, полярность которого совпадает со знаком вариации Δu_вх(t).
6. Импульс конечной высоты u_вх+Δu_вх и малой длительности |Δt₁^с|, действующий в момент t”, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt₁^с.
7. Импульс конечной высоты u_д.пр и малой длительности |Δt₁^с|, действующий в момент t”, полярность которого противоположна знаку приращения Δt₁^с.
8. Импульс конечной высоты u_д.пр и малой длительности |Δt₁^с+Δt_с|, действующий в момент t”+t_с, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt₁^с+Δt_с. Импульсы, перечисленные в последних двух пунктах, дополнительно инвертируются в суммирующем звене, как и сигнал u_д.пр^*.

Перечисленным импульсам соответствует линейная импульсная модель, представленная на рис. 6а. Объединяя ветви с одинаковыми импульсными элементами и одинаковыми входными сигналами и учитывая равенство

аналогичное (3), получаем схему, представленную на рис. 6б.

Рис. 6. Линейные импульсные модели для вариаций тока силового дросселя понижающего ППН с двусторонней ШИМ:
а) исходная;
б) преобразованная

Объединяя схему, представленную на рис. 6б, со звеном Z(p), получаем линейную импульсную модель для силовой части понижающего ППН в РПТ при двусторонней ШИМ (рис. 7а), где введены обозначения u_сх1 = u_вх(t”) + u_д.пр, u^м.ф_РПТ = u_вх(t’) – u_вых(t’).

Из модели для двусторонней модуляции (рис. 7а) получаются модели для случаев:

• модуляции момента выключения силового транзистора (модуляции момента спада импульса), если положить Δt₁^ф ≡ 0 и исключить соответствующую ветвь схемы;
• модуляции момента включения силового транзистора (модуляции момента фронта импульса) (рис. 4а), если положить Δt₁^с ≡ 0, исключить соответствующую ветвь схемы.

Двусторонняя ШИМ в РНТ

В РНТ ключи K2 в схемах на рис. 1б и 7а непрерывно замкнуты, поэтому импульсы u_вых^* отсутствуют. По рис. 7б видно, что при переходе от установившегося режима (сплошные кривые) к возмущенному (штриховые кривые) на вход звена G(p) в линеаризованной модели за период подаются пять элементарных импульсов, соответствующих вариациям сигналов:

1. Импульс конечной высоты u_вх(0)+Δu_вх(0) (при отсчете времени от момента отпирания силового транзистора) и малой длительности |Δt₁^ф|, действующий в начальный момент времени, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt₁^ф.
2. Импульс малой переменной высоты Δu_вх(t) и конечной длительности t₁, действующий на интервале t₁, полярность которого совпадает со знаком вариации Δu_вх(t).
3. Импульс конечной высоты u_вх(t₁)+Δu_вх(t₁) и малой длительности |Δt₁^с|, действующий в момент t₁, полярность которого совпадает со знаком приращения Δt₁^с_.
4. Импульс конечной высоты u_д.пр и малой длительности |Δt₁^ф|, действующий в начальный момент, полярность которого противо­положна знаку приращения Δt₁^ф.
5. Импульс конечной высоты u_д.пр и малой длительности |Δt₁^с|, действующий в момент t₁, полярность которого противоположна знаку приращения Δt₁^с. Необходимо учитывать, что упомянутые последние два импульса дополнительно инвертируются в суммирующем звене, так же, как и сигнал u_д.пр^* в схеме на рис. 1б.

Как видно, импульсы, упомянутые в п. 1 и 4, 3 и 5, можно объединить, благодаря чему получаются импульсы высоты u_вх(0)+u_д.пр и u_вх(t₁)+u_д.пр. Тогда для РНТ будет справедлива импульсная модель, представленная на рис. 7в,

где  u_сх1 = u_вх(t₁)+u_д.пр, u^м.ф_сх1 = u_вх(0)+u_д.пр.

Из сравнения схем на рис. 7а и 7в видно, что для получения модели для РНТ (рис. 7в) в модели для РПТ (рис. 7а) необходимо исключить ветвь обратной связи с импульсным элементом ИЭ1 и заменить пропорциональное звено с коэффициентом передачи u^м.ф_РПТ на звено с коэффициентом передачи u^м.ф_сх1.

Рис. 7. Линейные импульсные структурные динамические модели силовой части понижающего ППН при двусторонней ШИМ для РПТ (а) и РНТ (в);
б) временные диаграммы, поясняющие особенности линеаризации в РНТ

Линеаризация двусторонней ШИМ

Во-первых, обратим внимание на то, что ШИМ должна быть устроена таким образом, чтобы длительность открытого состояния силового транзистора возрастала при увеличении напряжения на выходе усилителя ошибки u_у.о(t) (рис. 5 и 7б). Как видно по рис. 5 и 7б, при малых вариациях Δu_у.о(t) и отсчете времени от момента включения транзистора справедливы равенства:

Из этих равенств следуют линеаризованные соотношения для ШИМ:

Δt₁^ф = К^ф_ШИМΔu_у.о(–0),    Δt₁^с = К^с_ШИМΔu_у.о(t₁–0),             (5)

где К^ф_ШИМ, К^с_ШИМ — коэффициенты усиления ШИМ при модуляции момента включения силового транзистора (модуляции момента фронта импульса) и модуляции момента выключения (спада) силового транзистора, определяемые выражениями

Выражения (6) могут быть представлены в виде:

К^ф_ШИМ = К^ф_ШИМF_ф,     К^с_ШИМ = К^с_ШИМF_с,                     (7)

где К^ф_ШИМ, К^с_ШИМ — коэффициенты усиления ШИМ при u_у.о = const, определяемые выражениями

а F_ф, F_с — поправочные коэффициенты, называемые факторами пульсаций и рассчитываемые по формулам