Стабилизация выходного напряжения преобразователя Чука

№ 5’2017
PDF версия
В статье показано, что преобразователь Чука оказывается непригодным к использованию в замкнутых стабилизаторах напряжения постоянного тока. Успешное применение этого устройства для стабилизации напряжения постоянного тока возможно в разомкнутых стабилизаторах, построенных по принципу управления по возмущению.

Введение

Импульсный преобразователь Чука, представленный на рис. 1, содержит, подобно простейшим импульсным преобразователям напряжения постоянного тока, всего один транзистор и один диод, хотя относится к составным преобразователям. При этом он обладает значительными преимуществами по сравнению с простейшими преобразователями, например с инвертирующим преобразователем [1].

Импульсный преобразователь Чука

Рис. 1. Импульсный преобразователь Чука

Однако применение преобразователя Чука для стабилизации напряжения постоянного тока весьма ограничено. В статье определена причина, ограничивающая применение этого устройства в замкнутых стабилизаторах, и предложен способ стабилизации выходного напряжения, не требующий охвата преобразователя обратной связью.

 

Стабилизация выходного напряжения преобразователя Чука с помощью отрицательной обратной связи

Для исключения статической ошибки замкнутого стабилизатора напряжения используют регуляторы с интегральной составляющей в законе управления, например И-регулятор (интегральный) и ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный).

Вначале рассмотрим стабилизатор с ПИ-регулятором как более общий случай. Его предельно-непрерывная модель [2] описывается системой из двух дифференциальных уравнений:

Формула

Формула

где Uз — заданное значение выходного напряжения, kП и kИ — параметры ПИ-регулятора,

Формула

В номинальном стационарном режиме (U = UНОМ, u1 = U10 = U1НОМ) благодаря интегральной составляющей имеем:

u1 = U10 = U1НОМ, γ = γ0 = γНОМ.                    (2)

Номинальное значение γ (γНОМ) можно определить по статической характеристике преобразователя
U10 = f(U1ном). Из выражения статической характеристики преобразователя [1] получаем:

Формула

При решении квадратного уравнения выбрано меньшее значение корня, соответствующее «устойчивой» (возрастающей) части статической характеристики [1].

Для оценки устойчивости стационарного режима получим линеаризованное уравнение возмущенного движения [3]. Подставляя в дифференциальные уравнения (1)

Х = Х0Х, γ = γ0+δγ,                                     (4)

где δXT = [δi1, δi2, δu1, δu2], δγ — возмущения (отклонения от стационарного режима), и линеаризуя результат при δХ ≈ 0, δγ 0, Х0 = Х0ном = А–1ном)hUном, γ0 = γном, получаем:

Формула

Систему уравнений (4) можно записать в виде одного векторно-матричного уравнения, используя блочные вектор и матрицу:

Формула

где

Формула

 E = diag{1} — единичная матрица.

Для асимптотической устойчивости желаемого стационарного режима с точностью до граничного случая необходима и достаточна асимптотическая устойчивость тривиального (нулевого) решения линеаризованного уравнения возмущенного движения (6). Таким образом, желательный стационарный режим асимптотически устойчив при собственных значениях матрицы B: mi , i = 1, 2, 3, 4, 5, лежащих в левой полуплоскости, т. е. при

Re mi<0, i = 1, 2, 3, 4, 5.                                   (7)

Для проверки выполнения условия (7) с помощью критерия Рауса-Гурвица [3] необходим характеристический полином матрицы B:

Формула

Подставив выражение матрицы B (6) и раскрыв определитель, получаем коэффициенты полинома:

Формула

Проверив выполнение необходимого условия устойчивости (qi > 0, i = 0,1,2,3,4), убеждаемся в отрицательном знаке свободного члена характеристического уравнения q0 при γ0, принадлежащей «устойчивой» части статической характеристики преобразователя:

Формула

Действительно, подставляя в числитель выражения q0 значения U20, I20, I10 [1], получаем условие положительности коэффициента q0 в виде неравенства

Формула

противоположного по смыслу неравенству (9).

Таким образом, использование И- или ПИ-регулятора, обеспечивающих в стационарном режиме точное равенство выходного напряжения заданному его значению, невозможно.

Остается возможность использования пропорционального регулятора (П-регулятора), позволяющего при изменении входного напряжения даже в стационарном режиме обеспечивать только приближенное равенство выходного напряжения заданному его значению.

Для оценки устойчивости стабилизатора с П-регулятором получено линеаризованное уравнение его возмущенного движения:

δХ = GδХ,                                            (10)

где

Формула

и характеристический полином матрицы G:

Формула

где

Формула

Поскольку точность стабилизации зависит от величины параметра П-регулятора kП, а его величина ограничена требованием устойчивости замкнутого контура, допустимое значение kП оценено сверху. Из необходимого условия устойчивости замкнутого контура стабилизации s0>0 получена оценка допустимого значения kП:

Формула

Учитывая малую величину r/R (10–3–10–2) для изменения γ0 в рабочих пределах (12), можно упростить условие (12):

Формула

Для оценки точности стабилизации при использовании П-регулятора определен коэффициент стабилизации:

Формула

Из уравнений статики стабилизатора

Формула

в результате линеаризации относительно номинального стационарного режима получено уравнение для относительных значений отклонений:

Формула

Подстановка завышенного значения kП, не учитывающего необходимый запас устойчивости замкнутого контура стабилизации и равного правой части упрощенного неравенства (12), в уравнение (13) дает:

Формула

Полученная оценка возможного коэффициента стабилизации лишает смысла практическое применение замкнутого стабилизатора с преобразователем Чука.

Учитывая предыдущий опыт повышения точности стабилизации выходного напряжения импульсных стабилизаторов [4], рационально использовать принцип управления по возмущающему воздействию, полагая возмущающим воздействием отклонение входного напряжения от его номинального значения.

 

Стабилизация выходного напряжения преобразователя Чука по принципу управления по возмущению

Согласно этому принципу управления, следует при изменении входного напряжения изменять соответствующим образом величину γ: уменьшать ее при увеличении входного напряжения и увеличивать при его уменьшении. Такое управление имеет существенное преимущество перед управлением по отклонению, поскольку управляющее воздействие (изменение величины γ) происходит сразу при появлении возмущения, не дожидаясь проявления его следствия (отклонения выходного напряжения от заданного значения). Поскольку возможно практически мгновенное изменение величины γ до значения, обеспечивающего заданное значение выходного напряжения при новом значении входного напряжения, можно ожидать высоких динамических свойств стабилизатора напряжения и высокой точности стабилизации напряжения.

Возможны два подхода к управлению величиной γ. Первый состоит в реализации вычислений по формулам (3) в цифровой форме. Это требует достаточно быстродействующих аналого-цифровых, цифро-аналоговых преобразователей и цифрового вычислительного устройства, обладающих при этом достаточным числом разрядов. При частотах изменения структуры реальных преобразователей, составляющих десятки килогерц, современные микропроцессоры вполне способны удовлетворить заданным требованиям.

Второй подход основан на построении аналогового вычислителя γ, использующего преобразованное выражение статической характеристики преобразователя Чука [1]:

Формула

Решение уравнения (15) относительно γ при изменяющемся входном напряжении (U = U(t)) и постоянном U10 = UЗ = const дает аналоговое вычислительное устройство, схема которого в обозначениях системы MATLAB SIMULINK представлена на рис. 2а.

Схема аналогового вычислительного устройства в обозначениях системы MATLAB + Simulink

Рис. 2.
а) Схема аналогового вычислительного устройства в обозначениях системы MATLAB + Simulink;
б) графическое решение уравнения f1(γ) = f2(γ)

На рис. 2б представлены графики зависимостей от γ уменьшаемого f1(γ) = (γ0–γ02)U и вычитаемого f2(γ) = [(1–2 γ0+ γ02)R+(1–2 γ0+ γ02)×r]|U3|. Два корня уравнения, γ1 и γ2, соответствуют точкам пересечения кривых. При этом γ1 соответствует возрастающей («устойчивой») части статической характеристики преобразователя, а γ2 соответствует падающей («неустойчивой») ее части. Точки эти являются равновесными точками аналогового вычислительного устройства. Одна из них устойчива, а другая неустойчива.

Чтобы устойчивой была точка γ1, на вход интегрирующего усилителя подается разность f2(γ)–f1(γ). Интегрирующий усилитель с большим коэффициентом преобразования k обеспечивает точность и быстродействие вычислительного устройства.

Аналитическое исследование процессов в стабилизаторе с управлением по возмущению даже при использовании его предельной непрерывной модели весьма затруднительно, поскольку требует решения дифференциальных уравнений с изменяющимися коэффициентами. Поэтому дальнейшие исследования проводились на цифровой модели, построенной в системе MATLAB 6.5 SIMULINK 5.

Модель преобразователя Чука [1], учитывающая реальную частоту переключений структуры, построенная по системе уравнений, описывающих преобразователь Чука соответственно в первой и во второй части периода переключений, представлена на рис. 3а.

Модель преобразователя Чука в системе MATLAB + Simulink

Рис. 3.
а) Модель преобразователя Чука в системе MATLAB + Simulink;
б) объединение моделей преобразователя Чука (П) и вычислительного устройства (ВУ)

Моделирование переключений структуры преобразователя осуществляется с помощью подсистемы Subsystem и блоков умножения Product. Подсистема Subsystem на рис. 3а изображена в пунктирной рамке. Основным ее элементом является генератор пилообразного сигнала Repeating Sequence с частотой, равной частоте переключений, и амплитудой, равной 1. Релейные элементы Relay вырабатывают прямоугольные импульсы длительностью γT и (1–γ)T.

Объединение моделей преобразователя П и вычислительного устройства ВУ, согласно рис. 3б, дает математическую модель стабилизатора напряжения с управлением по возмущению.

Исследования на модели проводились при параметрах преобразователя, использованных в работе [1]: R = 100 Ом, r = 0,1 Ом, L = 0,01 Гн, M = ±0,009 Гн, C1 = C2 = 10–5 Ф, T = 10–5 c. Номинальное значение входного напряжения UНОМ = 100 В. Номинальное значение выходного напряжения U1НОМ принималось равным 200/3 В (γ = 0,4) и 150 В (γ = 0,6). Моделирование проводилось методом ODE 23 при максимальном шаге 1e-6.

Реакция стабилизатора (M = –0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на гармоническое возмущающее воздействие с частотой 10 рад/с для UЗ = 200/3 В

Рис. 4. Реакция стабилизатора (M = –0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на гармоническое возмущающее воздействие с частотой 10 рад/с для UЗ = 200/3 В

На рис. 4 и 5 представлена реакция стабилизатора (M = –0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на возмущающее воздействие ΔUНОМ =60sin(ω (t–0,05))×1(t–0,05)В, ω = 10 рад/с для UЗ = 200/3 В и 150 В соответственно.

Реакция стабилизатора (M = –0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на гармоническое возмущающее воздействие с частотой 10 рад/с для UЗ = 150 В

Рис. 5. Реакция стабилизатора (M = –0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на гармоническое возмущающее воздействие с частотой 10 рад/с для UЗ = 150 В

На рис. 6 и 7 представлена реакция стабилизатора (M = +0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на возмущающее воздействие ΔUНОМ =60sin(ω (t–0,05))×1(t–0,05) В, ω = 10 рад/с для UЗ = 200/3 В и 150 В соответственно.

Реакция стабилизатора (M = +0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на гармоническое возмущающее воздействие с частотой 10 рад/с для UЗ = 200/3 В

Рис. 6. Реакция стабилизатора (M = +0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на гармоническое возмущающее воздействие с частотой 10 рад/с для UЗ = 200/3 В

Реакция стабилизатора (M = +0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на гармоническое возмущающее воздействие с частотой 10 рад/с для UЗ = 150 В

Рис. 7. Реакция стабилизатора (M = +0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на гармоническое возмущающее воздействие с частотой 10 рад/с для UЗ = 150 В

Отклонение разности u1UЗ от нуля в исходном установившемся режиме вызвано отличием реального импульсного преобразователя от его предельно-непрерывной модели. Точно желаемое значение постоянной составляющей выходного напряжения можно установить небольшим изменением UЗ.

Процесс имеет непродолжительную свободную (переходную) составляющую. После ее затухания устанавливается периодический негармонический процесс.

Анализ установившихся режимов показывает, что амплитуда ошибки стабилизации оказывается примерно на два порядка меньше возмущения, что во многих случаях вполне удовлетворяет требованиям.

На рис. 8 представлена реакция стабилизатора (M = –0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на возмущающее воздействие ΔUНОМ =60sin(ω (t–0,05))×1(t–0,05) В, ω = 100 рад/с для UЗ = 200/3 В. Из сравнения рис. 4 и 8 видно, что повышение частоты возмущения в 10 раз вызывает увеличение амплитуды ошибки приблизительно также в 10 раз.

Реакция стабилизатора (M = –0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на гармоническое возмущающее воздействие с частотой 100 рад/с для UЗ = 200/3 В

Рис. 8. Реакция стабилизатора (M = –0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на гармоническое возмущающее воздействие с частотой 100 рад/с для UЗ = 200/3 В

Особенность реакции стабилизатора при M = –0,009 Гн на скачок возмущающего воздействия показывает рис. 9а, на котором представлен отклик стабилизатора, находившегося в стационарном режиме, на ΔUНОМ =60×1(t–0,3) В. Особенность эта состоит в том, что выходное напряжение в ответ на увеличение входного напряжения начинает не возрастать по абсолютной величине, а уменьшаться. Объясняется это неминимальнофазовыми свойствами преобразователя по отношению к изменению входного напряжения при g = const, установленными в работе [1] для преобразователя с M<0.

Реакция стабилизатора (M = –0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на скачок возмущающего воздействия

Рис. 9.
а) Реакция стабилизатора (M = –0,009 Гн), находящегося в номинальном стационарном режиме, на скачок возмущающего воздействия;
б) действие фильтра с постоянной времени, равной 0,01 с, уменьшающего колебания выходного напряжения во время переходного процесса

Во время колебательного переходного процесса, заканчивающегося восстановлением исходного значения выходного напряжения, отклонения выходного напряжения от заданного значения имеют недопустимую величину. Если возможные скачки входного напряжения приближаются к «мгновенным», можно ослабить их влияние с помощью входного фильтра с небольшой постоянной времени. На рис. 9б показано действие фильтра с постоянной времени, равной 0,01 с, уменьшающего колебания выходного напряжения во время переходного процесса до несущественных.

При включении стабилизатора наблюдается колебательный переходный процесс с начальным направлением изменения напряжения в противоположном направлении. Включение на вход стабилизатора фильтра с постоянной времени, равной 0,01 с, исключает колебания и существенно уменьшает первоначальное изменение выходного напряжения в противоположном направлении, как показано на рис. 10.

Включение стабилизатора при сглаживающем фильтре на входе преобразователя Чука

Рис. 10. Включение стабилизатора при сглаживающем фильтре на входе преобразователя Чука

 

Выводы

  1. Обладая значительными преимуществами по сравнению с другими импульсными преобразователями, преобразователь Чука оказывается непригодным к использованию в замкнутых стабилизаторах напряжения постоянного тока.
  2. Успешное применение преобразователя Чука для стабилизации напряжения постоянного тока возможно в разомкнутых стабилизаторах, построенных по принципу управления по возмущению.
Литература
  1. Коршунов А. И. Импульсный преобразователь напряжения постоянного тока по схеме Чука // Силовая электроника. 2017. №4
  2. Коршунов А. И. Предельная непрерывная модель системы с высоко­частотным, периодическим изменением структуры // Известия вузов. Приборостроение. 2009. № 9.
  3. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Изд-во Наука, 1972.
  4. Коршунов А. И. Повышение качества стабилизации выходного напряжения импульсного преобразователя постоянного тока. // Известия вузов. Приборостроение. 2013. Т 56. № 3.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.