Школа MATLAB. Урок 5. Анализ свойств устройств силовой электроники в частотной области

Все статьи цикла

Построение амплитудных спектров тока и напряжения на выходе транзисторного инвертора

Начнем рассмотрение частотных свойств устройств силовой электроники с построения виртуальной модели инвертора, предназначенного для преобразования постоянного напряжения в напряжение синусоидальной формы. Это преобразование осуществляется за счет широтно-импульсной модуляции (ШИМ) в цепи переменного тока. Устройство выполнено на ключевых элементах, работающих с высокой частотой коммутации [1].

Пример 1. Построить модель транзисторного инвертора с активно-индуктивной нагрузкой.

Исходные данные для модели: входное постоянное напряжение величиной 310 В, частота преобразования 1 кГц, модулирующая частота 50 Гц и коэффициент модуляции 0,95. Сопротивление нагрузки 10 Ом, а индуктивность — 5 мГн. В качестве ключевых элементов используются MOSFET-транзисторы, соединяемые по мостовой схеме и управляемые от генератора импульсного сигнала с ШИМ.

На рис. 1а представлена схема модели, а блоки, входящие в модель, и их основные параметры приведены в таблице 1.

Рис. 1.
а) Функциональная модель транзисторного инвертора;
б) окно настройки параметров генератора Discrete PWM Generator;
в) универсального моста Universal Bridge

В рассматриваемой модели используется новый блок генератора дискретных сигналов с ШИМ — Discrete PWM Generator (табл. 1). Дадим краткие сведения по его настройкам в окне параметров (рис. 1б), которое вызывается двойным щелчком левой кнопкой мыши (далее: ЛКМ) по пиктограмме генератора.

• Parametrs — параметры.
• Generator Mode— генератор моды (модулированного сигнала). Выбирается из списка:

• • 1-arm bridge (2 pulses) — мост с одним плечом (2 импульса);
  • 2-arm bridge (4 pulses) — мост с двумя плечами (4 импульса);
  • 3-arm bridge (6 pulses) — мост с тремя плечами (6 импульсов);
  • Double 3-arm bridge (12 pulses) — двойной мост с тремя плечами (12 импульсов);
• Carrier frequency (Hz) — несущая частота (Гц);
• Sample time— шаг дискретизации;
• Internal generation jf modulating signal(s) — внутренний (встроенный) генератор модулирующего сиг-нала(ов). Включен при установленном флажке.
• Modulation index — коэффициент (индекс) модуляции (от 0 до 1).
• Frequency of output voltage (Hz)— частота напряжения на выходе (Гц);
• Phase of output voltage (degrees) — фаза напряжения на выходе (градусов).

Значения установленных параметров в генераторе приведены в окне на рис. 1б, причем коэффициент модуляции задан равным 0,95 для того, чтобы были видны процессы переключения транзисторных ключей на каждом периоде импульсного напряжения.

Рис. 2. Окно настройки графического интерфейса пользователя Powergui

Выбранная схема универсального моста Universal Bridge содержит два плеча, то есть четыре транзистора, а его настраиваемые параметры отражаются в окне (рис. 1в). Настройка осциллографа не должна вызывать трудностей, так как производилась в наших уроках неоднократно. Время моделирования, выбор которого осуществляется в окне модели, названной Invert, в меню Simulation/ Simulation parameters, конечное время Stop time задано равным 0,1, а максимальный шаг дискретизации Max step size выставлен auto. Решатель дифференциальных уравнений целесообразно установить ode15s.

Настройка графического интерфейса пользователя Powergui состоит в установке шага дискретизации Sample time (рис. 2).

После запуска модели получены временные диаграммы для напряжения на RL-нагрузке и тока нагрузки (рис. 3). Видно, что ток нагрузки изменяется по синусоидальному закону с периодом 0,02 с (рис. 3а) и определяется модулирующей функцией. Однако он также содержит высокочастотную составляющую, обусловленную импульсным режимом работы транзисторов с несущей частотой, равной 1 кГц, и относительно малой величиной индуктивности нагрузки L. Данная составляющая в увеличенном масштабе изображена на рис. 3б. Напряжение на нагрузке представляет собой последовательность высокочастотных прямоугольных импульсов. У огибающей этих импульсов частота следования равна 50 Гц (рис. 3в). Сами высокочастотные импульсы имеют переменную ширину, изменяющуюся по закону модулирующей функции, что позволило получить ШИМ (рис. 3г).

Рис. 3. Временные диаграммы тока (а, б) и напряжения (в, г) на нагрузке

Для построения амплитудного спектра тока и напряжения на нагрузке необходимо произвести дополнительные настройки осциллографов. Кнопкой осциллограммы Parametrs, упоминавшейся в предыдущих уроках, вызывается известное читателю окно Scope Parametrs. С помощью закладки Data history окно переключается. В нем снимается флажок ограничения числа запоминаемых точек Limit data points to last, а в строке Variable name (имя переменной) набирается название переменной, например In. В строке Format (формат) из выпадающего меню выбирается Structure with time (структура и время). Аналогично настраивается другой осциллограф, только наименование переменной устанавливается другое, например Um. У графического интерфейса пользователя Powergui устанавливается шаг дискретизации Sample time, составляющий 0,1…0,01 от наименьшего периода сложного сигнала. В рассматриваемом случае наименьшим является период коммутации транзисторных ключей Т = 0,001, и шаг выбран 0,00001. Пиктограмма Powergui в окне модели автоматически обновляется, и в ней отражается величина шага дискретизации (рис. 1а на схеме внизу).

Вновь запускается выполнение модели. Затем после окончания моделирования двойным нажатием ЛКМ на пиктограмму Powergui открывается окно этого интерфейса (рис. 2), в котором одним нажатием на клавишу FFT Analysis вызывается другое окно для настройки и наблюдений с названием Powergui: FFT Tools (рис. 4). Основные органы управления указанным окном (справа и сверху вниз):

Рис. 4. Окно настройки Powergui: FFT Tools для тока In (а) напряжения на нагрузке Um (в) и перечень значений рассчитанных параметров (б и г) относительно основной частоты

• Structure [структура] — позволяет выбрать один из параметров, установленных при настройке осциллографа In или Um, используемый в дальнейшем для построения амплитудного спектра;
• Input— вход;
• Signal number — номер сигнала;
• Start time (s) [стартовое время] — начало интервала, в пределах которого будет расположен исследуемый сигнал;
• Number of cicles [число циклов — периодов] — длительность исследуемого сигнала, заданная в периодах;
• Меню:
  • Display FFT window — изображение сигнала с окном для спектрального анализа;
  • Display entire signal — изображение полного сигнала.
• Последующие строки:
  • Fundamental frequency (Hz) — основная частота (Гц);
  • Max Frequency (Hz) — максимальная частота спектра сигнала, используемая при анализе;
• Frequency axis — ось частот. Выбирается из списка Hertz (герцы) или Harmonic order (номер гармоники);
• Display style — вид изображения. Выбирается из списка:
  • Bar (relative Fund. or DC) — диаграмма (относительно основной частоты или постоянной составляющей);
  • List (relative Fund. or DC) — перечень (относительно основной частоты или постоянной составляющей);
  • Bar (relative to specified base) — диаграмма (относительно специальной базовой величины);
  • List (relative to specified base) — перечень (относительно специальной базовой величины).
  • Base value— базовая величина.

В рассматриваемом примере выполнены следующие настройки (рис. 4а): выбраны анализируемая величина In и входной сигнал 1; стартовое время — 0,01 (первый полупериод соответствует режиму пуска и исключен из рассмотрения); число циклов — 4 (всего их 5, из которых половина первого периода исключена); изображение FFT окна; основная частота 50 Гц; максимальная частота 2500 Гц; по оси частот откладываются Гц; выводится изображение диаграммы относительно основной частоты. После нажатия клавиши Display появляются изображения анализируемой части сигнала длительностью 4 периода и спектрограмма тока In (рис. 4а). Видно, что амплитуда основной гармоники с частотой 50 Гц составляет около 29,17 В. В то же время амплитуды высших гармоник не превышают 1% (0,3 В) от амплитуды основной гармоники. Наиболее интенсивные высшие гармоники находятся в области 2 кГц. Величина коэффициента гармоник, называемого THD — Total Harmonic Distronsion, в рассматриваемой области частот достигает 7%. На рис. 4б представлены численные значения шага дискретизации, числа шагов в периоде, амплитуда основной гармоники, THD и амплитуды гармоник — основной и высшей (из-за ограниченности размеров окна показано всего 5 гармоник).

В спектре напряжения Um (рис. 4в) амплитуда основной гармоники равняется 295 В, высшие гармоники с частотами около 2 кГц имеют амплитуды до 65 В (рис. 4г). У остальных гармоник амплитуды составляют менее 1%. Коэффициент гармоник этого сигнала достигает 43,7%.

Расчетный метод построения амплитудного спектра сигнала

Для расчета амплитудного спектра сигнала используем данные из приведенной выше модели. Чтобы получить численные значения анализируемых сигналов, необходимо в функциональную модель ввести дополнения, предоставляющие возможность записи в рабочее пространство сигналов в виде векторов. Эти дополнения представлены в функциональной схеме на рис. 5 и выражаются во введении дополнительных блоков для записи векторов с новыми идентификаторами, исключающими совпадение с имеющимися названиями. Для получения векторов тока нагрузки I, напряжения на нагрузке U и времени t введены три блока To Workspace (библиотека Simulink, раздел Sinks) и блок Clock (библиотека Simulink, раздел Sources) (рис. 5а). Источник времени Clock имеет одну настройку — прореживание Decimation. Оставим ее равной 1. У блоков записи в рабочее пространство To Workspace введем свои названия сигналов в строке Variable name — I, U и t соответственно (в пиктограммах появятся эти названия), затем произведем прореживание Decimation (равно 10), шаг дискретизации был ранее задан 0,00001 и в меню Save format (сохраняемый формат) выбираем строчку Array.

Рис. 5. Функциональная модель инвертора (а) с записью сигналов и перечень переменных в рабочем пространстве (б)

Скорректированная модель с новым названием Invert_W, данным при сохранении, запускается на выполнение. Для проверки наличия указанных сигналов следует открыть рабочее пространство, что осуществляется в командном окне MATLAB в меню View/ Workspace. Открывается окно, в котором приводится перечень переменных различного формата (рис. 5б). В частности, имеются три нужных вектора-столбца одинакового размера 1001 х 1 с именами I, U, t

Для проверки записи сигналов набирается в текущей строке окна MATLAB команда

plot (t, I)

plot (t, U).

Рис.6. Временная диаграмма тока нагрузки I инвертора, построенная по данным в рабочем пространстве

Для расчета Фурье-изображения сигнала (в качестве примера взят только ток I) вызывается отладчик программ. Для этого из командного окна через меню File/New/M—file открывается окно (его имя при открывании Untitled), предназначенное для набора и отладки команд. В этом окне (рис. 7а) набираются команды программы. В рассматриваемом примере они приведены с комментариями. Все комментарии записываются после знака % и не оказывают никакого влияния на выполнение программы. При выборе масштаба по оси частот необходимо учесть, что была произведена децимация в 10 раз. По этой причине число точек отсчетов надо задать в количестве 10001, то есть учесть десятикратное прореживание. По оси ординат число точек отсчетов взято с учетом децимации, то есть Nd. Следует заметить, что построение спектра в MATLAB выполняется с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) и для его реализации число точек отсчета должно быть пропорционально 2n. Лишние точки будут считаться нулевыми, как это происходит в рассматриваемом случае.

Рис. 7. Программа расчета (а) и полученный спектр (б) тока нагрузки инвертора

В программе (рис. 7а) имеются стандартные команды fft (получение Фурье-изображения сигнала I в комплексном виде) и abs — нахождение модуля от полученных в комплексном виде результатов преобразования. Проконсультироваться по применению этих команд можно, набрав в окне MATLAB, например, команду help fft. При получении спектрограммы используется только часть полученных результатов, что задается подмножеством отсчетов в виде t(1:250), s(1:250) и необходимо для увеличения масштаба по оси частот, но только при построении графика. После сохранения программы через меню File/Save As… под каким-либо именем, к примеру Furie, можно выполнить расчет.

Для запуска программы используется в окне отладчика меню Debug/Save and Run или Debug/Run (второй вариант реализуется, если нет необходимости сохранять внесенные в программу изменения). На рис. 7б приводится амплитудный спектр, полученный по результатам расчета. Видно, что амплитуда основной гармоники около 15 В, то есть в два раза меньше истинной амплитуды тока. Это соответствует методике расчета при БПФ. А вот сколько-нибудь значимые высшие гармоники имеются в районе частоты 2 кГц, как и на рис. 4а.

Получение передаточной функции и частотных характеристик

При проектировании устройств силовой электроники довольно часто возникает задача автоматизированного построения модели динамической системы с известной структурой. Чаще всего в качестве исходной информации задается принципиальная схема цепи, а модель представляет собой передаточную функцию. В MATLAB при построении передаточной функции используется модель системы в пространстве состояний, записываемая в виде уравнений переменных состояния, и есть возможность построения ее сразу же из схемы цепи. Правда в таком случае все коэффициенты получаются в численном виде, то есть представляют собой числа, а не символы.

Уравнения переменных состояния записываются с использованием матриц, что обеспечивает их компактность и удобство использования в программе MATLAB, которая построена на матричном исчислении. Для системы n-го порядка уравнения переменных состояния имеют вид

В (1) первое уравнение — это дифференциальное уравнение состояния, а второе — уравнение выходной переменной; x(t) — вектор-столбец переменных состояния; u(t) — входной сигнал; y ( t) — выходной сигнал (реакция) системы; A, B, C, D — матрицы: A — матрица коэффициентов системы, в общем случае имеющая размерность nxn при n, равном числу переменных состояния; B — матрица входа, в которой число строк равно n, число столбцов соответствует числу входов системы; C — матрица выхода (число строк равно числу выходов, число столбцов равно n); D — матрица обхода (число строк равно числу выходов, число столбцов равно числу входов).

Рассмотрим функцию power2sys, позволяющую строить математическую модель в пространстве состояний электрической схемы, созданной в SimPowerSystem с использованием блоков библиотеки Simulink.

Назначение:

Функция power2sys рассчитывает элементы матриц A, B, C, D уравнений пространства состояния, описывающих модель (1). Она вызывается автоматически из Simulink при начале расчета модели или запускается на выполнение непосредственно из командного окна MATLAB.

Синтаксис:

power2sys('sys', 'structure')

power2sys('sys', 'ss')

дает информацию о численных значениях элементов матриц A, B, C, D.

Рис. 8. Двухзвенный сглаживающий LC-фильтр

Подробности о способах использования функции power2sys можно найти в руководстве пользователя для SimPowerSystem. Отметим лишь, что аббревиатура ss означает state space (пространство состояний). Для демонстрации возможности этой функции рассмотрим сглаживающий LC-фильтр преобразователя, состоящий из двух ячеек, соединенных последовательно друг с другом. На выходе фильтра подключена нагрузка R (рис. 8).

Получение передаточной функции подобного фильтра в аналитическом виде традиционным методом — довольно сложная задача. Покажем возможность относительно простого способа определения передаточной функции с помощью рассматриваемой функции power2sys для LC-фильтра.

Пример 2. Для двух фильтров — однозвенного LC-фильтра с параметрами L1 = 15 мГн, C1 = 2 мкФ и R = 8 Ом и затем для двухзвенного LC-фильтра с параметрами L1 = 15 мГн, C1 = 2 мкФ, L2 = 3 мГн, C2 = 15 мкФ, R = 8 Ом получить передаточные функции.

Функциональные модели этих фильтров представлены на рис. 9а (модель LC_1_Filter) и рис. 9б (модель LC_2_Filter), а информация о блоках приведена в таблице 2.

Рис. 9. Функциональная схема для испытаний одно- а) и двухзвенного б) LC-фильтров

После настройки модель LC_1_Filter запускается на выполнение. Итог работы — временная диаграмма входного и выходного сигналов (рис. 10а). Затем в командном окне MATLAB набирается следующая команда:

>> H1=power2sys('LC_1_Filter', 'ss')

Рис. 10. Временные диаграммы входного и выходного сигналов одно- (а) и двухзвенного (б) LC-фильтров

Все четыре необходимые матрицы, обозначенные строчными буквами, распечатываются с указанием параметров, к которым относится каждый элемент матрицы (над строками и слева от столбцов), в виде

a =
                     Uc_C1=2e-6        Il_L1=0.015
  Uc_C1=2e-6         -6.25e+004             5e+005
  Il_L1=0.015             -1000                  0
b =
                   U_Controlled
  Uc_C1=2e-6                  0
  Il_L1=0.015              1000
c =
                     Uc_C1=2e-6        Il_L1=0.015
  U_Voltage Me                1                  0
d =
                   U_Controlled
  U_Voltage Me                0
Continuous-time model.

Итак, переменные состояния анализируемой схемы — ток Il индуктивности L1 и напряжение Uc на конденсаторе C1, а выходное напряжение U_Voltage Measurement равно Uc_C1 при входном напряжении U_Controlled. В самом низу указано, что эта модель выполнена для непрерывного сигнала Continuous—time model. Передаточная функция находится с помощью команды tf, которая преобразует модель Н1 (ss-модель) в привычное по записи отношение двух полиномов от переменной s, представляющей собой комплексную частоту в преобразовании Лапласа. Набирается команда с указанием в круглых скобках идентификатора передаточной функции ss-мо-дели, а именно:

>> W1=tf(H1)

Transfer function from input «U_Controlled Voltage Source» to output «U_Voltage Measurement»:

5e008

s^2 + 6.25e004 s + 5e008

>> H2=power2sys('LC_2_Filter', 'ss')

a =
                Uc_C1=2e-6    Uc_C2=15e-6    Il_L1=0.015    Il_L2=3e-3
  Uc_C1=2e-6             0              0         5e+005       -5e+005
  Uc_C2=15e-6            0          -6667             0     6.667e+004
  Il_L1=0.015        -1000              0             0              0
  Il_L2=3e-3         333.3         -333.3             0              0 

b =
              U_Controlled
  Uc_C1=2e-6             0
  Uc_C2=15e-6            0
  Il_L1=0.015         1000
  Il_L2=3e-3             0

c =
               Uc_C1=2e-6     Uc_C2=15e-6    Il_L1=0.015    Il_L2=3e-3
   U_Voltage Me         0               1              0             0

d =
             U_Controlled
  U_Voltage Me          0

Continuous-time model.

>> W2=tf(H2)

Transfer function from input «U_Controlled Voltage Source» to output «U_Voltage Measurement»:

1.111e016

s^4 + 6667 s^3 + 6.889e008 s^2 + 4.444e012 s + 1.111e016

>> bode(W1)

После выполнения команды получаем ЛАХ и ЛФХ (рис. 11а). Видно, что коэффициент передачи фильтра на низкой частоте равен 0 дБ и падает практически до -100 дБ в области частот, превышающих 1 мГц. Фазовый сдвиг при этом достигает -180°.

Рис. 11. Диаграммы Боде (а, в) и амплитудно-частотные характеристики (б, г) LC-фильтров второго (а, б) и четвертого (в, г) порядка

Для получения амплитудно- и фазочастотной характеристик системы, имеющей известную передаточную функцию, используется другая команда freqs с другим аргументом, указанным в круглых скобках и задаваемым двумя векторами в квадратных скобках через запятую. Первый вектор представляет собой коэффициенты числителя, начиная с коэффициента у переменной s в старшей степени, а второй — коэффициенты знаменателя в той же последовательности. В случае фильтра второго порядка эта команда имеет следующее написание:

>> freqs([5e008],[1 6.25e004 5e008])

Для фильтра четвертого порядка после исполнения обеих указанных команд

>> bode(W2)

>> freqs([1.111e016],[1 6667 6.889e008 4.444e012 1.111e016])

Таким образом, получена непрерывная модель объекта, от которой перейдем к дискретно-непрерывной модели. Для реализации перехода проще всего использовать функцию MATLAB вида c2d. Форма записи

WZ=c2d(sys,Ts,'met')

help c2d

>> WZ2=c2d(W2,2e-5,'tustin')

Transfer function from input «U_Controlled Voltage Source» to output «U_Voltage Measurement»:

9.746e-005 z^4 + 0.0003898 z^3 + 0.0005847 z^2 + 0.0003898 z + 9.746e-005

z^4 — 3.617 z^3 + 5.142 z^2 — 3.399 z + 0.8753

Sampling time: 2e-005

>> freqz([9.746e-005 0.0003898 0.0005847 0.0003898 9.746e-005],[1 -3.617 5.142 -3.399 0.8753])

Рис. 12. Амплитудно- и фазочастотные характеристики LC-фильтра четвертого порядка с дискретной передаточной функцией

Получение частотных характеристик с помощью графического интерфейса ltiview

Графический интерфейс пользователя ltiview (интерактивный обозреватель) предназначен для просмотра временных и частотных характеристик модели. Перед запуском этого интерфейса необходимо подготовить исходные данные. Подготовка состоит в получении выражения для передаточной функции в одном из трех видов — ss (пространство состояний), tf (передаточная функция в виде полиномов числителя и знаменателя) или zpk (передаточная функция с указанием нулей, полюсов и коэффициента передачи, записанная в виде сомножителей в числителе и в знаменателе). Хотя бы одно из этих выражений под своим именем (идентификатором) должно находиться в рабочем пространстве MATLAB. Для запуска интерфейса в командном окне MATLAB набирается функция ltiview. После исполнения появляется графическое окно или интерактивный обозреватель (рис. 13а), в котором могут быть вызваны основные команды для анализа во временной или частотной областях объектов, представленных передаточной функцией.

Рис. 13. Окна LTI View (а, в, д, е) Import System Data (б) Plot Configurations (г) в графическом интерфейсе пользователя

Предположим, после тех же действий, что были изложены выше, получена передаточная функция двухзвенного фильтра H2 в пространстве состояний ss, и она загружена в рабочее пространство. Далее необходимо в окне LTI View последовательно вызвать меню File/Import. В появившемся новом окне Import System Data имеется перечень передаточных функций System in Workspace. В рассматриваемом перечне в нашем случае имеется только одна передаточная функция H2 (рис. 13б). Активизируем строку с этой передаточной функцией ЛКМ и затем нажмем кнопку OK. В окне LTI View появится переходный процесс в анализируемой цепи при подаче единичного ступенчатого воздействия (рис. 13в). Поскольку надо получить характеристику рассматриваемой цепи в частотной области, то в окне LTI View с помощью меню Edit/Plot Configurations вызывается окно Plot Configurations (рис. 13г). В последнем окне включается конфигурация 1 (один рисунок на все окно) и затем в меню Response type выбирается диаграмма Боде. После того как нажата кнопка OK, в окне LTI View появится эта диаграмма (рис. 13д).

Также можно получить различные конфигурации построения рисунков и следующие основные характеристики анализируемой цепи:

• Step — реакция на единичный скачок; Impulse — импульсная характеристика;
• Bode — диаграмма Боде;
• Bode Magnitude — амплитудная диаграмма Боде;
• Niquist— диаграмма Найквиста (годограф);
• Nicols — годограф Николса;
• Singular Value — зависимость сингулярных чисел комплексного коэффициента передачи системы от частоты;
• Pole/Zero — карта нулей и полюсов.

На рис. 13е в качестве примера приведен годограф Найквиста для анализируемой цепи. Он строится в системе координат, соответствующей комплексной частоты s, а именно: по оси абсцисс откладывается действительная часть передаточной функции при s = jco, а по оси ординат — мнимая часть. Для получения годографа осуществляется изменение частоты со от 0 до оо.

Подведем итоги урока 5.

1. Для анализа спектрального состава токов и напряжений в устройствах силовой электроники можно воспользоваться графическим интерфейсом пользователя Powergui. Для этого следует произвести дополнительную подстройку осциллографа, загрузить анализируемые сигналы в рабочее пространство и выполнить гармонический анализ этих сигналов в окне Powergui: FFT Tools с получением амплитудного спектра и оценки коэффициента гармоник.
2. Расчетный метод частотного анализа состоит в создании программы расчета, набираемой в окне отладчика программ, и использовании стандартных функций для вычисления модуля спектра исследуемого сигнала с помощью быстрого преобразования Фурье.
3. Важной положительной особенностью MATLAB является возможность с помощью функции power2sys получить передаточную функцию объекта непосредственно по его функциональной схеме.
4. По передаточной функции системы строятся логарифмические частотные (диаграммы Боде), а также амплитудно-и фазочастотные характеристики АЧХ и ФЧХ.
5. С помощью функции c2d осуществляется переход от передаточных функций непрерывных систем к передаточным функциям дискретных систем. 6. За счет применения графического интерфейса пользователя ltiview наиболее просто по передаточным функциям системы строятся ее различные частотные характеристики.