Предельная непрерывная модель системы с периодическим высокочастотным изменением структуры

Введение

В силовой электронике существует достаточно широко распространенный класс систем с периодическим высокочастотным изменением структуры. Частота переключений структуры выбирается высокой по отношению к скорости протекающих в системе процессов, как свободных, так и вынужденных. Наиболее типичный пример таких систем — импульсные преобразователи постоянного напряжения (ИППН) [1–4]. Изменение структуры в ИППН осуществляют силовые транзисторные ключи.

Импульсные преобразователи напряжения (ИПН) успешно применяются для регулирования и стабилизации напряжения переменного тока [5–8].

В силовой электронике используются и другие устройства с периодическим высокочастотным изменением структуры, например автономные инверторы, предназначенные для частотного управления двигателями переменного тока.

Принцип периодического высокочастотного изменения структуры применяется в схемотехнике для плавного регулирования емкости конденсаторов, сопротивления резисторов и индуктивности дросселей [9–11].

Основная идея использования систем с высокочастотным периодическим изменением структуры состоит в осреднении и сглаживании выходных переменных за счет высокой частоты изменения структуры. Управление выходными переменными осуществляется изменением соотношения частей периода переключений.

Анализ и синтез ИППН — наиболее распространенной разновидности систем с периодическим высокочастотным изменением структуры — изначально основан на методе осреднения в той или иной форме. Суть метода осреднения состоит в описании процессов в ИППН дифференциальными уравнениями относительно «средних» значений фазовых координат системы [1–4]. Дифференциальные уравнения получались на основе физических соображений, а не строгих математических выводов, поскольку само понятие «средние значения фазовых координат» более интуитивное, чем строго математическое. Достоинство метода осреднения состоит в возможности применения хорошо разработанных методов анализа и синтеза непрерывных систем.

Тенденция повышения частоты переключений сохраняет актуальность метода осреднения. Однако необходимо его строгое математическое обоснование. Поскольку в основе применения метода осреднения лежит пренебрежение пульсациями фазовых координат системы, учитывая их незначительность в реальных системах с высокой частотой переключений и жесткими требованиями к качеству выходного напряжения, целесообразно рассматривать «предельную непрерывную модель» (ПНМ) системы с периодическим высокочастотным изменением структуры [12]. Эта модель соответствует бесконечной частоте переключений и полному отсутствию пульсаций фазовых координат. Получена она строго математически с помощью предельного перехода для общего случая q переключаемых структур [12]. Разумеется, ПНМ отличается от реальной системы, но в практически важных случаях «достаточно высокой частоты переключений» оказывается близкой к ней настолько, что процессы в реальной системе отличаются от процессов в ее ПНМ только незначительными пульсациями фазовых координат, не превосходящими допустимых.

Математическое описание системы

Рассмотрим системы, фазовые траектории которых непрерывны, что характерно для реальных технических устройств. Состояние системы определяется m-мерным вектором фазовых координат Х^Т = [х₁, х₂, …,х_m], Т — знак транспонирования [12].

Для общности рассмотрим системы, изменяющие свою структуру q раз в течение периода Т. На каждом из q отрезков периода Т система описывается своим стационарным линейным дифференциальным уравнением в векторно-матричной форме:

где A_i — m×m — квадратная; B_i — m×k — прямоугольная матрица,

 —

k-мерный вектор внешних непрерывных воздействий, U_i(τ) = U_i(t) при t = nT+ τ₁+ τ₂+… τ_i-1+ τ; Т — период повторения при изменении структуры:

τ₁+τ₂+…+τ_q = T.                                         (2)

Решение i-го векторно-матричного линейного дифференциального уравнения на i-м интервале периода Т: 0< τ< τ_i имеет, как известно, следующий вид:

где H_i(t) = exp(A_it) — матричная экспонента.

Начальное значение вектора фазовых координат на i-м отрезке периода изменения структуры согласно принципу непрерывности фазовых координат при ограниченных воздействиях равно его конечному значению на предыдущем i-м отрезке:

Используя выражения (3) и (4), несложно получить разностное уравнение системы, связывающее значения вектора фазовых координат системы в начале и в конце периода изменения структуры системы, то есть X(n+1)T и X(nT). Ниже для простоты оно записано для частного случая q = 3:

Дифференциальное уравнение предельной непрерывной модели

В реальных системах рассматриваемого класса фазовые координаты и, следовательно, выходные сигналы состоят из плавной составляющей и высокочастотных пульсаций, вызванных периодическим изменением структуры. Плавная составляющая полезна: именно ради нее и строятся эти системы. Пульсации же вредны, но неизбежны. При выборе достаточно высокой частоты (малого периода Т) изменения структуры пульсации имеют небольшую допустимую величину.

Очевидно, что при уменьшении периода повторения Т пульсации уменьшаются, а при Т → 0 остается одна полезная гладкая составляющая фазовых координат системы. Такую систему назовем предельной непрерывной моделью.

Дифференциальные уравнения предельной непрерывной модели можно получить, используя теорию дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, развитую в работах А. Ф. Филиппова [13]. Однако в целях доступности изложения для более широкого круга специалистов в области силовой полупроводниковой техники и учащихся технических вузов использован традиционный математический аппарат.

Для получения дифференциального уравнения предельной непрерывной модели необходимо вычислить производную ее фазовых координат по времени:

при τ_i/T = γ_i = const, i =1, 2, …, q, nT = t = const.

Не теряя общности, можно вычислить предел (6) для q = 3, а полученный результат распространить на общий случай. С этой целью получено выражение:

Для вычисления предела (6) удобно разложить полученное выражение (7) в ряд по степеням Т, воспользовавшись абсолютной сходимостью разложения матричной экспоненты в ряд по степеням ее аргумента. Ограничиваясь линейным членом разложения, получаем:

где 0(T) — векторная величина более высокого порядка малости, чем T.

Подстановка полученного разложения (8) в предел (6) позволяет без труда найти

где

U_i(t) — k-мерный вектор внешних воздействий (1), i= 1, 2, …, q.

Распространение по очевидной аналогии полученного для q = 3 результата на произвольное значение q дает в общем случае:

Анализ полученного дифференциального уравнения (9) показывает, что при γ_i = const, i = 1, 2, …, q оно оказывается линейным, то есть при Т→0 рассматриваемая система приближается к линейной непрерывной стационарной системе.

В реальных технических устройствах для управления системой используют изменение величин γ_i. В этом случае управляющее воздействие оказывается не сигнальным, а параметрическим, поскольку изменяет элементы матрицы А (11). В этом случае предельная непрерывная модель рассматриваемой системы с переменной структурой представляет собой непрерывную нестационарную систему. Анализ таких систем, как известно [14], представляет весьма сложную задачу.

Пример практического применения

В качестве примера рассмотрим упомянутый во введении простейший повышающий ИППТ. На рис. 1 представлена его расчетная схема.

Рис. 1. Расчетная схема повышающего ИППТ

Ключ К в каждом периоде переключений Т в течение времени t находится в положении «1», а оставшуюся часть периода –— в положении «2». Таким образом: q = 2, γ₁ = t/Т, γ₂ = 1 – γ₁. Состояние преобразователя определяется двумя фазовыми координатами (m = 2): током в индуктивности L (дросселе) I = x₁ и напряжением на конденсаторе С u_H = x₂. Очевидно: U(t) = U₁, k = 1.

Записав по законам Кирхгофа системы дифференциальных уравнений для двух положений ключа К:

где r и L — сопротивление и индуктивность дросселя; C — емкость конденсатора, и преобразовав их к форме Коши (1), получаем:

Подстановка выражений (14) в формулы (11) дает:

Используя полученные выражения (15), векторно-матричное уравнение предельной непрерывной модели можно переписать в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши:

Установившийся режим работы преобразователя при U = const, γ = const легко получить, положив в системе (16) dx₁/dt = 0, dx₂/dt = 0 и решив ее относительно x₁ и x₂. В результате получаем:

Согласно последнему выражению повышающий преобразователь в статике представляет собой управляемый источник напряжения, ЭДС и выходное сопротивление которого зависят от γ по формулам:

E = U/(1–γ), R_вых=r/(1–γ)².                            (18)

Статическая характеристика повышающего преобразователя под нагрузкой u_н0 = f(γ) имеет максимум при:

равный:

При γ → 1 согласно выражению (17) u_H → 0. Причина указанных особенностей статической характеристики нагруженного преобразователя — в отличном от нуля активном сопротивлении дросселя (r > 0), ограничивающем ток дросселя согласно неравенству:

I ≤ I_max = U/r.                                                 (21)

При малом времени подпитки конденсатора С, равном (1 – γ)Т и уменьшающемся с ростом γ, амплитуда тока подпитки должна неограниченно расти. Вследствие ограничения (21) это невозможно и вызывает уменьшение выходного напряжения преобразователя при увеличении γ сверх м_max. При работе повышающего преобразователя в замкнутой системе стабилизации или регулировании выходного напряжения необходимо ограничивать величину γ, чтобы не превышать γ_max, так как в противном случае увеличение γ сверх γ_max приведет в замкнутой системе к уменьшению выходного напряжения до нуля.

Оценка точности предельной непрерывной модели

Предельная непрерывная модель системы с периодическим изменением структуры тем точнее описывает ее свойства, чем меньше период. Аналитическое исследование точности модели представляет собой сложную математическую задачу, возможно не столь важную для практики, поскольку в каждом конкретном случае точность можно оценить путем математического моделирования.

В качестве примера приведем результат исследования повышающего импульсного преобразователя 100/200 В при следующих его параметрах: L = 6,914 × 10^-3 Гн, r = 0,2 Ом, R_H = 40 Ом, С = 14 × 10^-6 Ф, Т = 2 × 10^-5 с (50 кГц).

Значение γ = γ₀, обеспечивающее требуемую величину выходного напряжения u_H = 200 B при U = 100 В на возрастающей ветви статической характеристики, определяется решением уравнения (17):

В качестве «пробного» воздействия на повышающий преобразователь выберем изменение γ по закону:

γ(t) = γ₀+ Δγ sin (2pft), где Δγ = 0,025<< γ₀ = 0,5112; f = 100 Гц,

которое позволит наблюдать процесс установления выходного напряжения U₂ = 200 B и его установившиеся колебания, вызванные гармоническими колебаниями отклонения γ от γ₀, равными ∆γ sin(2πft).

На рис. 2 представлена осциллограмма выходных напряжений преобразователя u_H(t) и его предельной непрерывной модели, u_H(t)_непр, полученная с помощью Matlab6.5, Simulink, SimPowerSystems.

Рис. 2. Осциллограмма выходных напряжений преобразователя uH(t) и его предельной непрерывной модели uH(t)непр

Из рис. 2 очевидно, что выходной сигнал предельной непрерывной модели практически является «средней линией» выходного сигнала модели реального преобразователя, содержащего пульсации выходного напряжения.

Следовательно, предельная непрерывная модель преобразователя при достаточно высокой частоте переключений его структуры с достаточной точностью описывает поведение полезной составляющей выходного напряжения реального преобразователя.

Динамические свойства преобразователя, весьма важные при его работе в замкнутой системе, можно оценить по отработке им гармонической составляющей входного сигнала, показанного на рис. 2 в масштабе увеличения. Очевидно отставание реакции от воздействия.

Вывод

При достаточно малом периоде систему с периодическим изменением структуры можно рассматривать как непрерывную, дифференциальные уравнения которой получены по ее предельной непрерывной модели.

Использование ИПН в замкнутых системах регулирования и стабилизации напряжения требует учета не только нелинейности его предельной непрерывной модели, но и дискретного характера управления. Рассмотрению этих вопросов посвящена монография [15]. Данная статья представляет собой выдержку из нее.