Методы анализа резонансных преобразователей постоянного напряжения типа LLC

Применение резонансных ППН типа LLC позволило уменьшить массу и габариты трансформатора, повысить рабочую частоту и тем самым уменьшить требуемую емкость выходного конденсатора и обеспечить при этом высокий КПД ППН [1, 2]. В некоторых режимах ППН типа LLC есть возможность обеспечения мягкого переключения транзисторов и диодов выходного выпрямителя без дополнительных схемозатрат. Однако методы анализа ППН типа LLC разработаны недостаточно. На начальном этапе широко применяется анализ и расчет требуемых параметров приближения методом основной гармоники, погрешность которого значительно возрастает при работе ППН в режиме прерывистого тока (РПТ) [3]. В связи с этим повсеместно повысился интерес к точным методам временного анализа ППН типа LLC [4–11].

На рис. 1 показана мостовая схема резонансного LLC-преобразователя и эквивалентные схемы на разных интервалах работы (P, O и N). Интервалом типа P называется та часть полупериода Т_п = Т/2, на которой открыты транзисторы VT1, VT4 инвертора и диоды VD5, VD8 выходного выпрямителя и справедлива эквивалентная схема, показанная на рис. 1б. Интервалом типа O называется та часть полупериода, на которой открыты транзисторы VT1, VT4, но все диоды выходного выпрямителя закрыты; для этих целей справедлива эквивалентная схема, представленная на рис. 1в. Интервалом типа N называется та часть полупериода, на которой открыты транзисторы VT1, VT4 инвертора и диоды VD6, VD7; для этого предназначена эквивалентная схема, изображенная на рис. 1г. Данные интервалы аналогично определяются для второго полупериода. Нетрудно также определить интервалы типов P, O, N в полумостовой схеме ППН [3].

Рис. 1.
а) Схема силовой части резонансного ППН и эквивалентные схемы для интервалов (состояний):
б) когда пара диодов выходного выпрямителя открыта (интервал типа P);
в) когда диоды выпрямителя закрыты (интервал типа O);
г) когда открыты диоды VD6, VD7 выпрямителя (интервал типа N)

В зависимости от того, какие из перечисленных интервалов времени наблюдаются на полупериоде и в какой последовательности, реализуются те или иные режимы работы ППН, например режимы типа PO, PON, PN, NP, NOP, OPO, P, N [5].

На рис. 2 представлен примерный вид временных диаграмм для ППН типа LLC в режиме типа P при непрерывном токе во вторичной обмотке трансформатора i₂ (РНТ). Тогда ток в LC-контуре i_k = i’₂ + i_m, где i’₂ = n_трi’₂ — ток вторичной обмотки i₂, приведенной к первичной обмотке, n_тр = w₂/w₁ — коэффициент трансформации трансформатора; i_m — ток намагничивания трансформатора.

Рис. 2. Временные диаграммы для резонансного ППН типа LLC в РНТ

В установившемся РНТ интервал типа O (рис. 1в) не реализуется, значит, при принятых на рис. 1б–г эквивалентных схемах происходит чередование режимов типа PN и NP. Временные диаграммы на рис. 2 соответствуют случаю, когда частота переключений f = 1/T больше резонансной частоты эквивалентной схемы для основной гармоники и сопротивление LC-контура имеет индуктивный характер. Согласно эквивалентным схемам на рис. 1в и г справедливо равенство i’₂ = i_k – i_m, где:

i_m0 и i_m1 — значения тока намагничивания в течение интервалов типа P и N, а время t отсчитывается от начала интервала.

В моменты перехода тока i’₂ через нулевые значения происходит переключение диодов выходного выпрямителя: при переходе тока i’₂ с отрицательного на положительное значение отпираются диоды VD5, VD8 (рис. 1а), к вторичной обмотке трансформатора прикладывается напряжение, равное –U_вых.

Метод основной гармоники (FHA-метод) применительно к ППН рассматриваемого типа основан на предположении, что ток последовательного LC-контура i_к(t) изменяется по синусоидальному закону с частотой переключений инвертора f = 1/T. Входное и выходное напряжения ППН принимаются постоянными, то есть U_вх = const, U_вых = const. Тогда справедлива эквивалентная схема LC-контура для первой гармоники, представленная на схеме рис. 3а, где — первые гармоники напряжений на выходных зажимах инверторного моста и приведенного к первичной обмотке напряжения на зажимах вторичной обмотки трансформатора. При этом индуктивность рассеяния трансформатора L_s объединена с индуктивностью внешнего дросселя L_к (при его наличии) L = L_к+L_s, а индуктивность намагничивания L_m вынесена на зажимы вторичной обмотки.

Рис. 3. Эквивалентные схемы LC-контура ППН типа LLC для первой гармоники:
а) исходная;
б) преобразованная; штрихами обозначены ток, напряжение и сопротивление, приведенные к первичной обмотке

Действующие значения первых гармоник при показанной на рис. 2 прямоугольной форме напряжения определяются выражением:

Обозначение через I_н.ср усредненный за полупериод T_П = T/2 ток нагрузки:

через R_н — усредненное сопротивление нагрузки, получаемое из равенства:

а через R_в — входное сопротивление для первой гармоники относительно входных зажимов выпрямительного моста:

где I₂ — действующее значение тока во вторичной обмотке, который получается синусоидальным, как и ток i_к. С учетом принятых допущений:

где wT_П = p; w — круговая частота переключений. Значит:

а с учетом равенства (2) имеем:

Подставив это выражение в формулу (3), с учетом выражения (1) для u₂₍₁₎ получим:

Теперь с учетом выражений (3) и (5) придем к эквивалентной схеме, показанной на рис. 3б и используемой для анализа ППН типа LLC, методом основной гармоники. По схеме на рис. 3б определяется частотная передаточная функция:

Передаточная функция цепи на рис. 3б:

где операторные сопротивления Z₁(p) и Z₂(p) определяются выражениями:

После подстановки выражений для Z₁(p) и Z₂(p) в K(p) получим:

откуда следует:

При подстановке p = jw из (6) получим частотную передаточную характеристику:

где введено обозначение:

При исследованиях и расчете методом основной гармоники частоту w = 1/√LC_K принято называть резонансной частотой контура, поскольку при r = 0 на такой частоте коэффициент передачи , называемый в литературе коэффициентом усиления напряжения |K(jw₀)| = 1. Отношение Q₀ = √(L/C_K )/R’_B называется добротностью LC-контура, хотя обычно добротностью называется отношение Q₀ = √(L/C_K )/r.

Установлено, что КПД и коэффициент усиления напряжения |K(jw₀)| максимальны на резонансной частоте. При этом формула (7) представляется в виде [2]:

где активное сопротивление LC-контура r = 0, –w = √LC_K w — относительная частота переключений (в англоязычной литературе она называется нормализованной).

Расчет параметров резонансного преобразователя типа LLC в основном включает анализ и выбор коэффициента индуктивности K_L и коэффициента трансформации трансформатора n_mp = w₂/w₁. Рекомендуется выбирать K_L ≤ 10 и добротность Q₀< 1.

В связи с тем, что метод основной гармоники является приближенным, в ряде работ проводится сравнение этого метода с другими методами анализа и расчета резонансных ППН типа LLC [5]. Предпринимаются попытки улучшения данного метода. Например, в усовершенствованном методе основной гармоники предлагается корректировать значение входного сопротивления выпрямителя R_в при работе в режиме прерывистого тока (РПТ): метод обеспечивает погрешность не более 10% при Q₀< 0,2 [10]. Дальнейшее увеличение точности обеспечивает так называемый метод полной коррекции [10].Однако эти усовершенствования не устраняют все недостатки метода основной гармоники, который к тому же позволяет исследовать переходные процессы в ППН типа LLC.

В связи с этим в ряде публикаций предлагаются методики временного анализа резонансных ППН типа LLC [4–10]. Необходимость временного анализа резонансных ППН объясняется также тем, что он обеспечивает получение соотношений, более точно описывающих изменение токов через силовые транзисторы в моменты их переключений, и позволяет повысить точность расчета ключевых потерь мощности в транзисторах [6]. Экспериментальными исследованиями установлено, что ошибка в вычислении потерь мощности методом основной гармоники может достигать 35% [6].

Сравнение анализа ППН типа LLC методом основной гармоники и с использованием его модификаций с точным временным анализом приведено в статье [10].

В известных зарубежных публикациях временной анализ резонансных ППН в РПТ проводят без учета активного сопротивления LC-контура
(r = 0), что объясняется высоким КПД современных ППН, применяемых на практике. Допущение r = 0 существенно упрощает анализ и, как правило, позволяет получать приближенные, но качественно правильные основные характеристики, однако их отличие от точных характеристик в известных публикациях не анализируется. Об этих отличиях иногда можно судить, сравнивая теоретические результаты при r = 0 с экспериментальными, приводимыми во многих зарубежных публикациях. После выяснения основных особенностей процессов и характеристик установившегося режима ППН при r = 0 целесообразно выполнять точный временной анализ ППН с учетом сопротивления r.

Математические соотношения, получаемые при временном анализе, полезны и для проверки результатов компьютерного моделирования, и, как отмечено в [4], для снижения зависимости от разработок программ компьютерного моделирования, которые, как утверждают авторы, иногда являются нерациональной тратой времени из-за вынужденного использования метода проб и ошибок (hit trial). Со сказанным можно согласиться, поскольку компьютерное моделирование полезно, когда авторы уже достаточно много знают об исследуемом объекте, в сочетании с аналитическими исследованиями и экспериментальными исследованиями на реальных образцах.

С наибольшими сложностями сопряжено исследование ППН типа LLC при прерывистом токе во вторичной обмотке трансформатора, поскольку при изменении частоты переключений и параметров схемы нарушаются условия существования рассматриваемого режима (в большинстве публикаций рассматривается режим типа PO) и происходит переход ППН в другой режим. Например, в статье [8] приведены результаты экспериментов, проведенных при U_ВХ = 200 В; P_ВЫХ = 1200 Вт; U_{ВЫХ.НОМ.} = 100 В; L = 16 мкГн; n_ТР =w₁/w₂ = 0,5; L_m = 45 мкГн, K_L = 45/16= 2,8125, C_K = 0,04 мкФ; C_ф = 10 мкФ; f₀ = 199 кГц (табл.). Наблюдавшиеся искажения формы тока i_к были минимальны при f = f₀ = 200 кГц, максимальны — при f = 140 кГц. Интересно, что в ходе частотного регулирования время t₁ почти не менялось.

В статье [10] приведены результаты экспериментов при U_ВХ = 30 В; C_K = 0,047 мкФ, L = 17 мкГн; L_m = 34 мкГн; n_ТР =1/1,6, R_Н = 45 Ом, резонансной частоте f₀ = 178 кГц. На частоте переключений f = 105 кГц ППН типа LLC работал в режиме PON (рис. 4), на f = 120 кГц — в режиме PO (рис. 5), на f = 160 кГц — в режиме OPO (рис. 6).

Рис. 4. Частота переключений заметно меньше резонансной (режим PON)

Как можно заметить из временных диаграмм (рис. 4), в режиме PON ток резонансного контура i_к имеет несинусоидальную форму, поэтому первые три метода анализа дают большую погрешность, поскольку частота переключений f значительно отличается от резонансной частоты контура f₀.

На рис. 5 изображены временные диаграммы преобразователя на частоте переключений f = 120 кГц. Как можно заметить, в этом случае преобразователь работает в режиме PO. Ток резонансного контура i_к становится более синусоидальным, что приводит к уменьшению ошибок первых трех методов анализа.

Рис. 5. Частота переключений меньше резонансной, но больше, чем на рис. 4 (режим PO)

На рис. 6 показаны временные диаграммы в случае, когда частота переключений составляет 160 кГц, тогда ППН работает в режиме OPO. Ток резонансного контура i_к почти синусоидальный, что приводит уменьшению погрешности коэффициента усиления напряжения при анализе первыми тремя методами.

Рис. 6. Частота переключения меньше резонансной, но близка к ней (режим OPO)

В статье [11] дается вывод исходных точных теоретических соотношений для временного анализа резонансного ППН типа LLC в режиме прерывистого тока (РПТ). Из этих соотношений получаются формулы, описывающие процессы в ППН на основных рабочих интервалах, наблюдаемых на половине периода переключений T_П = f/2 (здесь f — частота переключений ППН), и векторно-матричное уравнение для определения значений вектора состояния LC-контура в начале полу­периода и на границе интервалов в установившемся режиме. Дальнейший анализ проводится при допущении r = 0, что позволяет сравнивать получаемые теоретические соотношения с известными из публикаций. Выведены и преобразованы к удобному для расчетов виду уравнения для определения длительности первого рабочего интервала, формула для расчета внешних (нагрузочных) характеристик ППН и формулы для расчета границ рассматриваемого режима типа PO.

Полученные в [11] расчетные соотношения справедливы при выполнении нескольких ограничений. Одно из ограничений состоит в том, что режим типа PO (рис. 5) существует при условии, когда скорость нарастания тока LC-контура в момент t = 0 превышает скорость нарастания тока намагничивания:

Дифференцируя приведенные в [12] выражения для токов i_к и i_m, при t = 0, получаем неравенство:

которое с учетом тождеств w₀/r =1/L, L_m = K_LL преобразуется к виду:

или:

справедливому в переходном и установившемся режимах. При выполнении условия (9) и подавно выполняется условие U_ВХ – u_Cк(0) > U’_ВЫХ, необходимое для отпирания диодов VD5, VD8 и транзисторов VT1, VT4 в момент t = 0.

В установившемся режиме получим:

где

введены обозначения: s₁ = sinw₀t₁, c₁ = cosw₀t, s₂ = sinw₁t₂, c₂ = sinw₁t₂; w₀ = 1/√LC_k, w₁ = 1/√(L + L_m)C_k, t₂ = T_П – t₁.

Вторая и третья границы режима типа PO связаны с тем, что на интервале типа P диоды выходного выпрямителя не должны открываться. Для этого напряжение на индуктивности L_m должно быть по модулю меньше U’_ВЫХ:

где i_m = i_k.

Поскольку, как видно из схемы на рис. 1в,

при r = 0

Следовательно, для существования интервала типа O необходимо выполнение условия:

где правое неравенство, соответствующее положительной производной di_k/dt, необходимо проверять в начале интервала типа O, и оно принимает вид:

Тогда в установившемся режиме требуется выполнение условия:

В частности, при w₀t₁ = p, s₁ = 0, c₁ = –1 из (13) получим , а при w₀t₁ = 0, s₁ = 0, c₁ = 1: . При малых условие (13) может нарушаться.

Левое неравенство (12), соответствующее отрицательной производной di_k/dt, необходимо проверять в конце интервала типа O, поэтому оно принимает вид:

В частности, в установившемся режиме типа PO u_Ck(t₁ + t₂) = –u_Ck(0) и получаем условие:

Например, при w₀t₁ = p, s₁ = 0, c₁ = –1 , тогда условие (14) выполняется. При w₀t₁ = 0, s₁ = 0, c₁ = 1, D = 1+c₂ получим  и условие (14) также выполняется.

При промежуточных значениях 0< w₀t₁< p условия (10), (13), (14) могут нарушаться.

Уравнение для вычисления длительности t₁ интервала типа P в [12] приведено к виду:

где — волновое сопротивление LC-контура на интервалах типа P и O.

На рис. 7 представлены расчетные границы режима типа PO при K_L = 6, , построенные по формулам, а также график зависимости от w₀t₁ для установившегося режима, построенный по формуле (15). Допустимые для режима PO значения располагаются со стороны штриховок, для сохранения режима PO одновременно должны выполняться все три ограничения. Как видно, на интервале 2,8< w₀t₁< 3,55 преобладает первое ограничение, остальные ограничения автоматически соблюдаются; при w₀t₁< 2,8 режим типа PO невозможен, поскольку не выполняется третье ограничение. При w₀t₁ ≈ 2,8 знаменатель в (40) обращается в нуль и все граничные значения . Становится понятным, почему, например, в статье [8] рассматривается только случай w₀t₁ ≈ p.

Рис. 7. Графики для граничных значений выходного напряжения при KL = 6, (разрешенная область режима типа PO располагается со стороны штриховки)

Уточнение результатов временного анализа ППН типа LLC, изложенных в [4–11], с учетом активного сопротивления LC-контура и использованием Т-образной эквивалентной схемы выходного трансформатора возможно при использовании метода, примененного в [13, 14] для расчета переходных процессов и характеристик установившегося режима непрерывных токов. При расчете переходных процессов в статье [13] учитывается возможное последовательное появление различных интервалов (типов P, O, N) в разнообразных сочетаниях.