Двухфазный повышающий конвертер как звено системы автоматического управления

Импульсные преобразователи повышающего типа необходимы в тех случаях, когда первичный источник электропитания (аккумулятор, солнечная батарея, генератор постоянного напряжения) не обеспечивает необходимое напряжение на нагрузке.

При малых уровнях потребляемой мощности достаточно использовать однотактный повышающий конвертер (рис. 1), в котором на интервале включенного состояния транзистора γ = t_и/T  энергия запасается в дросселе, а при выключении транзистора она через диод VD передается в конденсатор С и на нагрузку. В результате напряжение на нагрузке становится выше входного напряжения [1, 2].

Рис. 1. Повышающий преобразователь:
а) принципиальная схема;
б) временные диаграммы работы

Если коммутируемые токи превышают допустимый ток одного транзистора, то можно использовать параллельное включение приборов. Однако при этом возникают проблемы не только одновременного включения, но и подбора транзисторов по прямому падению напряжения. Для минимизации этих проблем используется многофазный режим работы преобразователей [1–3].

Двухфазный повышающий конвертер — это два повышающих импульсных преобразователя, питающихся от одного источника и работающих на общую нагрузку с временным сдвигом на полпериода (рис. 2).

Рис. 2. Двухфазный повышающий преобразователь: а) упрощенная расчетная схема;б) временные диаграммы работы

Основной задачей преобразователей (рис. 1, 2) является обеспечение стабильного выходного напряжения при изменении в широких пределах входного напряжения и выходного тока. Стабилизация выходного напряжения реализуется введением обратных компенсационных связей. Для определения параметров цепей обратных связей при заданных статических и динамических характеристиках необходимо составить расчетную схему и определить передаточные функции вход/выход и управление/выход.

Передаточные функции однотактных конвертеров на основе усредненных моделей получены в работах [1, 4 и 5]. В работе [2] были определены динамические параметры двухфазного повышающего импульсного преобразователя, представленного структурной схемой, приведенной на рис. 3.

Рис. 3. Структурная схема замещения повышающего конвертера

На схеме символом D обозначены малые отклонения величин U_вх.ср(t), i_вх.ср(t), u_н.ср(t), i_н.ср(t), γ(t) от их стационарных значений. В соответствии со структурной схемой, приведенной в работе [2], была получена следующая передаточная функция по управляющему воздействию:

где G(p) = 2/(Lp + r); Z(p) = 1/(pC).

При определении передаточной функции W_γ(p)  в каноническом виде в работе [2] не было учтено сопротивление нагрузки R_н и эквивалентное последовательное сопротивление выходного конденсатора r_C. Поскольку повышающий конвертер не должен работать в режиме холостого хода, то необходимо учитывать R_н. С учетом R_н и допущением того, что

соотношения для W_γ(p) будут следующими:

где

Если же учесть еще и сопротивление потерь r_C выходного конденсатора C, то

и можно получить более точную передаточную функцию по входному воздействию:

где

В отличие от формулы (1), передаточная функция (2) имеет ноль в левой комплексной полуплоскости, обусловленный сопротивлением r_C потерь конденсатора C.

Проверим достоверность выражений (1) и (2) и принятых при их выводе допущений, используя альтернативный способ определения динамических параметров. Например, передаточная функция может быть составлена на основании переходной характеристики (кривой разгона) [6].

Рассмотрим применение этого метода для определения динамических параметров двухфазного повышающего преобразователя. Для получения кривой разгона будем использовать компьютерное моделирование в Simulink MATLAB (рис. 4) для следующих исходных данных:

 L = 60 мкГн; С = 410 мкФ; r = 0,01 Ом; r_C = 0,003 Ом; R_н = 1,9 Ом; U = 175 B; γ = 0,253; f = 20 кГц.

Рис. 4. Simulink-модель двухфазного повышающего конвертера

После выхода преобразователя на установившийся режим работы система управления (блок Subsystem на рис. 4) скачком изменяла коэффициент заполнения g, и на осциллографе ScopeURH фиксировался переходный процесс изменения напряжения нагрузки. Нормированная кривая разгона напряжения нагрузки представлена на рис. 5.

Рис. 5. Нормированная кривая разгона напряжения нагрузки

На первом периоде работы преобразователя после действия скачка напряжения управления на увеличение длительности включенного состояния t_и транзистора напряжение нагрузки сначала уменьшается, так как длительность выключенного состояния транзистора, при котором энергия, накопленная в дросселе, передается в нагрузку, становится меньше, чем в предыдущем периоде работы транзисторов. Эта особенность работы повышающего преобразователя хорошо видна на кривой разгона, соответствующей переходной характеристике неминимально-фазового звена.

Неминимально-фазовый четырехполюсник можно заменить двумя последовательно соединенными четырехполюсниками, один из которых является минимально-фазовым, а другой — четырехполюсником чисто фазового сдвига [6]. Длительность интервала, когда напряжение на нагрузке меньше предыдущего значения напряжения, составляет всего один период (рис. 5), поэтому можно аппроксимировать кривую разгона переходной характеристикой колебательного звена, а этот интервал учесть временем запаздывания t_з.

Передаточная функция колебательного звена имеет следующий вид:

Динамическими параметрами колебательного звена являются постоянная времени Т — величина, обратная собственной частоте колебательного звена, и относительный коэффициент затухания ξ. Эти параметры по кривой разгона можно определить несколькими методами (рис. 6).

Рис. 6. Кривая разгона колебательного звена (а) и ее аппроксимация отрезками прямых для определения АФЧХ (б)

В первом методе параметры Т и x определяются по выражениям [7]

Во втором методе [8]

где

В третьем методе параметры колебательного звена определяются по амплитудно-фазовой характеристике (АФХ) по следующим простым соотношениям:

где ω_Т — частота, при которой АФХ пересекает мнимую ось.

Для построения АФХ кривую разгона аппроксимируем отрезками прямых (рис. 6 б) [9]. Затем определяем коэффициенты c_i, i = 1,n, характеризующие углы наклона n прямолинейных отрезков:

c₁ = h₁/t₁; c₂ = (h₂ – h₁) / (t₂ – t₁); …; c_n = (h_n – h_n–1) / (t_n – t_n–1).

Значения вещественной U и мнимой V частей частотной передаточной функции W(jw)  при каждой частоте ω рассчитываем по формулам

где n — число аппроксимирующих отрезков;

τ_1i = (t_i – t_i-1) / 2 и τ_2i = (t_i + t_i-1) / 2

На рис. 7 показана АФХ двухфазного повышающего преобразователя.

На рис. 8 приведены нормированная кривая разгона напряжения нагрузки и аппроксимирующие кривые колебательного звена второго порядка. Все три метода дают близкие результаты.

В первом методе: t₁ = 2,73×10^–4 c, t₃ = 7,397×10^–4 c и T = 1,4329×10^–4 c, ξ = 0,2638.

Второй метод дает A₁ = 0,697 B, A₂ = 0,321 B и по формулам (4) получаем T = 1,4737×10^–4 c, ξ = 0,1225.

В третьем методе по АФХ (рис. 7) определяем ω_т = 6,6596×10³ рад/с и V(ω₀) = –4,2169. По соотношениям (5) вычисляем T = 1,5016×10^–4 c, ξ = 0,1186.

Рис. 7. АФХ двухфазного повышающего преобразователя, построенная кусочно-линейной аппроксимацией кривой разгона напряжения нагрузки

Из рис. 8 следует, что для двухфазного повышающего преобразователя наименьшее отклонение аппроксимирующей функции от экспериментальной кривой разгона дает третий метод, поэтому преобразователь может быть представлен по напряжению нагрузки колебательным звеном с передаточной функцией

и звеном чистого запаздывания e^–pt3.

Рис. 8. Моделирование экспериментальной кривой разгона напряжения нагрузки кривыми колебательного звена второго порядка

В таблице приведены результаты расчета динамических параметров двухфазного повышающего преобразователя, полученные различными методами.

В таблице небольшие расхождения результатов, полученных по формулам (2) и (5), связаны с тем, что в формуле (2) не учитывались параметры ключевых приборов.

На рис. 9 б показаны результаты вычислений откликов (рис. 9 а) при подаче единичного скачка на входы передаточных функций, полученных по формулам (1) и (2), в сравнении с экспериментальной кривой разгона двухфазного повышающего преобразователя. Наилучшее приближение к экспериментальной кривой разгона дает передаточная функция с учетом сопротивления потерь конденсатора. Но это улучшение незначительно, и, следовательно, для принятых исходных данных значением r_C можно пренебречь, поскольку учет его усложняет модель.

Рис. 9.
а) Представление двухфазного повышающего преобразователя передаточными функциями (1) и (2);
б) соответствующие нормированные кривые разгона (красная — экспериментальная кривая UH*на рис. 5)

На рис. 10 приведены логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики двухфазного повышающего преобразователя, построенные по кривой разгона напряжения нагрузки с использованием передаточной функции (2) и передаточной функции колебательного звена с параметрами, определенными по формулам (5).

Рис. 10. Логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики: красная кривая — эксперимент; синяя — по передаточной функции (2); черная — по формулам (5)

Полученные частотные характеристики практически совпали. Это свидетельствует о том, что для приведенных исходных данных динамические параметры и передаточные функции двухфазного повышающего конвертера по напряжению нагрузки могут быть определены как по формуле (2), так по более простому выражению (6).

Рис. 11. Нормированная кривая разгона входного тока id

Динамические параметры могут быть определены и по току дросселей, а поскольку в двухфазном повышающем преобразователе два дросселя, то удобнее определять передаточную функцию по входному току i_d. После выхода преобразователя на установившийся режим работы система управления изменяла коэффициент заполнения g, и на осциллографе ScopeId (рис. 4) фиксировался переходный процесс изменения тока, потребляемого от источника питания. Нормированная кривая разгона входного тока i_d представлена на рис. 11, а АФХ, построенная по кривой разгона, приведена на рис. 12. Логарифмические АЧХ и ФЧХ конвертера показаны на рис. 13.

Рис. 12. АФХ двухфазного повышающего преобразователя, построенная кусочно-линейной аппроксимацией кривой разгона входного тока id

Из приведенных характеристик следует, что передаточная функция по току i_d наряду с колебательным должна содержать еще и форсирующее звено

Рис. 13. Логарифмические частотные характеристики двухфазного повышающего преобразователя, построенные по экспериментальной кривой разгона входного тока id

Этот факт подтверждается и результатами аппроксимации кривой разгона колебательным звеном (рис. 14). Как и в случае с кривой разгона по напряжению нагрузки, параметры колебательного звена определялись тремя методами по формулам (3–5). Следует отметить, что применение первого метода в данном случае неприемлемо, так как коэффициент затухания оказывается меньше нуля.

Рис. 14. Моделирование экспериментальной кривой разгона входного тока id кривыми колебательного звена второго порядка

Параметры T и ξ колебательного звена принимаем равными полученным по второму методу, поскольку длительность периода и отношение A₁/A₂ совпадают с аналогичными параметрами кривой разгона h(t):

T = 1,4752×10^–4 c и ξ = 0,1223.

Для определения постоянной времени форсирующего звена в качестве первого приближения используем значение производной тока dh/dt = 2,1×10⁴ A/c в начале кривой h(t) (рис. 15).

Рис. 15. Определение постоянной времени форсирующего звена

После подстановки в передаточную функцию (7) принятых значений T, ξ и начального значения t = dh/dt × T² = 4,57×10^–4 выполним проверку правильности значения постоянной времени форсирующего звена — подадим единичный скачок на функцию (7) и сравним отклик с экспериментальной кривой разгона. Из рис. 16 следует, что имеет место практически полное совпадение модели (синяя кривая) с экспериментальной кривой h(t) (красный пунктир) и нет необходимости выполнять итерационную процедуру уточнения постоянной времени форсирующего звена.

Рис. 16. Моделирование кривой разгона входного тока id передаточной функцией (7)

Для проверки правильности определения значения постоянной времени τ форсирующего звена можно использовать альтернативный алгоритм.

Передаточная функция системы из K последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев системы:

АЧХ последовательного соединения звеньев равна произведению АЧХ отдельных звеньев, а ФЧХ — сумме ФЧХ соединенных звеньев:

При последовательном соединении звеньев с известными АФХ результирующая АФХ может быть получена путем сложения углов, под которыми направлены радиусы-векторы АФХ отдельных звеньев при заданной частоте, а результирующий радиус-вектор будет равен произведению модулей звеньев на этой же частоте. Поскольку двухфазный повышающий преобразователь по входному току i_d может быть представлен в виде последовательного соединения двух звеньев — колебательного и форсирующего, то его передаточная функция (7) может быть записана в виде произведения

W(p) = W_к(p)W_ф(p),

где W_к(p) и W_ф(p) — передаточные функции колебательного и форсирующего звеньев соответственно. Тогда по известным АФХ системы и колебательного звена можно получить АФХ форсирующего звена. Для заданной частоты ω выполним вычитание из угла результирующего радиуса-вектора угла радиуса-вектора колебательного звена, а модуль форсирующего звена получим делением модуля результирующего радиуса-вектора на модуль радиуса-вектора колебательного звена. На рис. 17 показаны АФХ двухфазного повышающего преобразователя (рис. 12), построенная по экспериментальной кривой разгона входного тока i_d, АФХ колебательного звена с параметрами T = 1,4752×10^–4 c и ξ = 0,1223 и АФХ форсирующего звена с постоянной времени t = 4,57×10^–4.

Рис. 17. АФХ:
— ° — — двухфазного повышающего преобразователя (рис. 12), построенная по экспериментальной кривой разгона входного тока id;
-*- — колебательного звена с параметрами T = 1,4752×10–4 c и x = 0,1223;
-•- — форсирующего звена с постоянной времени t = 4,57×10–4

На рис. 18 представлены частотные характеристики форсирующего звена, полученные в результате вычислений.

Рис. 18. Частотные характеристики форсирующего звена:
а) ФЧХ;
б) АЧХ

АФХ и частотные характеристики форсирующего звена отличаются от идеальных, что свидетельствует о том, что передаточная функция должна содержать звено более высокого порядка. Но поскольку различия наблюдаются только на частотах, близких к частоте управления, то неидеальностью можно пренебречь и определить постоянную времени форсирующего звена по ФЧХ (рис. 18 а). А именно, для угла 45° находим соответствующее значение частоты, по которой получим:

1/τ = ω = 2,21×10³ с^–1,

откуда τ = 4,52×10^–4 с, что достаточно близко к значению постоянной времени, определенному по производной тока в начале кривой разгона.

Выводы

• Определены динамические характеристики и получены передаточные функции двухфазного повышающего конвертера по напряжению нагрузки и по входному току. Достоверность полученных передаточных функций подтверждена моделированием процессов в системе Simulink MATLAB.
• При определении передаточных функций конвертера необходимо учитывать сопротивление нагрузки. Учет сопротивления потерь в конденсаторе фильтра позволяет получить более точную передаточную функцию, но существенно не влияет на динамические параметры преобразователя.
• На основе полученных передаточных функций можно выполнить синтез параметров регуляторов обратной связи двухфазного повышающего конвертера.