Нелинейные дискретные структурные динамические модели силовых частей импульсных ППН

Большое значение для теории и практики имеют структурные модели силовой части полупроводниковых преобразователей, позволяющие представить ее как совокупность стандартных структурных динамических звеньев, легко и органично связываемых с другими динамическими звеньями систем управления.

Подобные модели позволяют использовать для анализа и синтеза импульсных преобразователей постоянного напряжения (ППН) современные методы анализа и синтеза импульсных систем автоматического регулирования.

Структурные модели импульсных ППН можно разделить на дискретные и непрерывные, нелинейные и линеаризованные, точные и приближенные. Существует такое множество разновидностей конкретных структурных моделей, что зачастую затруднительно установить их взаимосвязи друг с другом и достоверность получаемых по ним результатов. Автор предлагает обоснование единой системы структурных динамических моделей силовых частей импульсных преобразователей, объединяющей указанные их разновидности.

Поскольку импульсные преобразователи с замкнутыми системами управления представляют собой нелинейные дискретные системы, наибольшей достоверностью обладают результаты, полученные по их дискретным моделям, которые сложны и трудно воспринимаются практическими специалистами. Первые структурные модели импульсных преобразователей, появившиеся в 70-х годах прошлого столетия, нередко оказывались ошибочными, поскольку основывались на нестрогих рассуждениях о свойствах систем с широтно-импульсной модуляцией II рода (ШИМ-II). На научных конференциях высказывались утверждения о том, что линеаризованные импульсные модели для повышающего и инвертирующего ППН составить невозможно. Ошибочность этого утверждения была показана в работе [2], где были обоснованы дискретные структурные модели инвертирующего ППН. Затем в докторской диссертации автора и в книге [3] было дано систематическое изложение динамических моделей импульсных ППН понижающего, повышающего и инвертирующего типов с различными системами управления, приведены примеры использования этих моделей для анализа и синтеза импульсных ППН. Показано, что подходы, предлагаемые автором для обоснования структурных динамических моделей импульсных преобразователей указанных типов, пригодны для комбинированных импульсных ППН [4] и для ППН с последовательным резонансным инвертором [5]. Вместе с тем полное обоснование предложенных автором динамических моделей до сих пор не опубликовано.

Быстрое развитие силовой электроники нередко требует уточнения предложенных ранее динамических моделей, в частности, в преобразователях с малым выходным напряжением порядка нескольких вольт необходимо учитывать прямое падение напряжения на силовом диоде. В связи с ростом частоты переключений стало необходимым учитывать эквивалентное последовательное сопротивление (ЭПС) выходного конденсатора. Необходимость повышения КПД источников электропитания мобильной аппаратуры при малых токах нагрузки (в режиме ожидания) потребовала более тщательного изучения режима прерывистого тока (РПТ) импульсных ППН, что привело к необходимости обоснования и изучения динамических моделей, существенно отличающихся от моделей для режима непрерывного тока (РНТ).

В предлагаемой статье дано обоснование нелинейных дискретных моделей импульсных ППН. В следующих статьях будет дано обоснование линеаризованных дискретных моделей, а затем — усредненных нелинейных и линеаризованных моделей. Также будет дано сравнение предложенных автором моделей с известными из зарубежных публикаций.

На рис. 1а–в представлены схемы силовых частей однотактных импульсных ППН понижающего, повышающего и инвертирующего типов, где для общности нагрузка представлена в виде параллельного соединения активного сопротивления R и источника дополнительного тока нагрузки i_н.д(t).

Рис. 1. Схемы силовых частей импульсных ППН:
а) понижающего;
б) повышающего;
в) инвертирующего

Нелинейные дискретные модели импульсных ППН являются графическим представлением дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, которые могут быть составлены для их схем (рис. 1).

Для цепи силового дросселя понижающего ППН (рис. 1а) справедливо уравнение в операторной форме:

где: G(p) — операторная проводимость цепи силового дросселя, определяемая выражением

G(p) = 1/(Lp+r);       (2)

p = d/dt — оператор дифференцирования; u_д.пр — прямое падение напряжения на открытом силовом диоде; t₁ — время открытого состояния силового транзистора; t_c — время спада тока силового дросселя, в течение которого силовой транзистор заперт, но открыт силовой диод; T — период переключений; L — индуктивность силового дросселя; r — активное сопротивление цепи силового дросселя, которое принимается одинаковым на интервалах t₁ и t_c.

Уравнению (1) соответствует структурная схема, показанная на рис. 2а, где К1–К3 — ключи, периодически замыкаемые на время, указанное под изображением ключа, и передающие в замкнутом состоянии сигнал только в одном направлении (от входа ключа к его выходу). Выходная величина ключа обозначается так же, как и входная, но со звездочкой.

Рис. 2. Нелинейные дискретные структурные динамические модели силовых частей импульсных ППН в РПТ:
а–в) понижающего;
г) повышающего;
д) инвертирующего

На интервале t₁ включенного состояния силового транзистора замкнуты ключи К1 и К2, на суммирующий узел в схеме на рис. 2а поступают только сигналы u_вх и –u_вых и ток дросселя определяется выражением, соответствующим первой строке (1). На интервале t_c спада тока дросселя, согласно рис. 2а, замкнуты ключи К2 и К3, на суммирующий узел поступают сигналы –u_вых^* = –u_вых, –u_д.пр^* = –u_д.пр, ток дросселя определяется по второй строке выражения (1).

К началу бестоковой паузы, согласно условию, по которому определяется этот момент, все ключи в схеме на рис. 2а разомкнуты, сигнал на входе звена G(p) равен 0. Справедливо дифференциальное уравнение i_L/G(p) = 0, или, в развернутой форме:

L(di_L/dt) + ri_L = 0.

Следовательно, ток дросселя меняется согласно выражению:

i_L = i_L(t₁+t_c)e^{–(t–t1–tc)/TL},

где T_L = L/r, время t отсчитывается от момента отпирания силового транзистора. Поскольку, согласно условию начала бестоковой паузы, i_L(t₁+t_с) = 0, то i_L ≡ 0.

Таким образом, структурная модель на рис. 2а полностью эквивалентна дифференциальному уравнению (1) для тока i_L.

Уравнения для цепи выходного конденсатора в операторной форме имеют вид:

Cpu_C = i_L–u_вых/R–i_н.д,        (3)

u_вых = u_C+t_Cpu_C,

где t_C = r_C × C — постоянная времени цепи конденсатора. Эти уравнения описывают и процесс во время бестоковой паузы, когда i_L ≡ 0.

Выражая u_C из второго уравнения (3) и подставляя в первое, получим:

u_вых = Z(p) × (i_L–i_н.д),        (4)

где Z(p) — операторное сопротивление параллельно соединенных выходного конденсатора и сопротивления нагрузки R, определяемое выражением:

где T_C = (R+r_C)C — постоянная времени цепи выходного конденсатора с учетом сопротивления нагрузки R.

Уравнение (4) соответствует показанной на рис. 2б структурной схеме.

Объединяя показанные на рис. 2а, б структурные схемы, получаем структурную модель силовой части понижающего импульсного ППН (рис. 2в). Ключи К1–К3 с точки зрения теории импульсных систем при постоянной частоте переключений представляют собой амплитудно-широтно-импульсные модуляторы. Эта модель (рис. 2в) справедлива и в РНТ, если принять t₁ + t_с = T и считать ключ К2 постоянно замкнутым. Схема на рис. 2в справедлива и при переменной частоте переключений f= 1/T.

Дифференциальные уравнения силовой части повышающего ППН представляются в операторной форме следующим образом:

где передаточные функции G(p) и Z(p) определяются выражениями (2) и (5). Уравнениям (6), (7) соответствует структурная схема, показанная на рис. 2г. Действительно, на интервале открытого состояния силового транзистора t₁ на рис. 2г замкнут только ключ К1, на вход звена G(p) поступает только сигнал u_вх^* = u_вх, а на вход звена Z(p) — сигнал i_н.д, что соответствует первым строкам равенств (6) и (7). На интервале спада тока силового дросселя t_с в схеме на рис. 2г замкнуты все ключи К1–К4, на вход звена G(p) поступает сигнал u_вх–u_вых–u_д.пр, что соответствует второй строке равенств (6), а на вход звена Z(p) поступает сигнал i_L–i_н.д, что соответствует второй строке равенств (7).

Аналогично понижающей и повышающей схемам представляются в операторной форме дифференциальные уравнения силовой части инвертирующего ППН и обосновывается структурная модель, представленная на рис. 2д:

Как видно, равенства (8) и (6) отличаются только тем, что, согласно (8), сигнал u_вх действует на входе звена G(p) только на интервале t₁, а согласно (6) — на интервалах t₁ и t_с. Уравнения (9) совпадают с уравнениями (7).

Структурные схемы на рис. 2в–д при принятых допущениях точно и наглядно отражают процессы в силовых частях ППН, удобны для расчета процессов методом припасовывания и моделирования ППН в среде MATLAB+Simulink. Из этих структурных схем легко получаются модели для РНТ (рис. 3), для этого достаточно принять t_с = T–t₁. Тогда структурные схемы упрощаются за счет того, что ключ К2 в схеме на рис. 2в и ключ К1 в схеме на рис. 2г будут непрерывно замкнуты, следовательно, их можно исключить.

Рис. 3. Нелинейные структурные динамические модели силовых частей импульсных ППН в РНТ для преобразователей: а) понижающего; б) повышающего; в) инвертирующего

О пользе динамических моделей

Обоснованные в данной статье нелинейные дискретные структурные модели будут служить в последующих статьях основой для получения линеаризованных дискретных моделей силовых частей импульсных ППН, которые, в свою очередь, позволят читателю, подготовленному в теории импульсных систем, применять эту теорию для анализа и синтеза ППН с разнообразными замкнутыми системами управления. А систем управления импульсными ППН, реализованных на микросхемах разных фирм, появилось великое множество!

У некоторых читателей могут появиться крамольные мысли: я не собираюсь заниматься динамикой ППН, мне достаточно и статики, зачем мне все это нужно? Чтобы развеять подобные мысли, сошлемся на известную аксиому, утверждающую, что статика — это частный случай динамики, и в заключение приведем простой пример для тех, кто скептически относится к динамическим моделям и предпочитает заниматься только статикой ППН.

В настоящее время в источниках питания цифровой аппаратуры стали применяться импульсные ППН с выходным напряжением, составляющим всего несколько вольт. Конечно, в таких случаях можно применять синхронные переключатели, состоящие из основного силового МДП-транзистора и вспомогательного МДП-транзистора, используемого вместо силового диода. Но это удорожает и усложняет силовую часть. Поэтому в некоторых низковольтных источниках питания сохраняются диоды, которые при снижении выходного напряжения начинают все более существенно снижать КПД и искажать статические характеристики. Оказывается, что приведенные модели полезны и тем, кто хочет заниматься только статикой ППН или, может быть, еще хочет иметь формулы для расчета индуктивности силового дросселя.

Возьмем нелинейную дискретную модель для понижающего ППН в РНТ (рис. 3а). Заменяя ключи K1, K3 пропорциональными звеньями с коэффициентами передачи, равными относительным длительностям их замкнутых состояний, получаем усредненную (непрерывную) динамическую модель (рис. 4а). Затем, полагая в передаточных функциях, входящих в эту модель, p = 0, получаем структурную модель для установившегося режима (рис. 4б).

Рис. 4.
а) Усредненная нелинейная структурная модель понижающего ППН;
б) структурная модель для установившегося режима

Из схемы на рис. 4б следуют уравнения:

Выражая дополнительный ток нагрузки i_н.д.ср через суммарное среднее значение тока нагрузки i_н.ср из равенства

и подставляя во второе уравнение (10), получим очевидное для понижающего ППН равенство:

i_Lcp = i_н.ср.

С учетом этого равенства из первого уравнения (10) найдем выражение для внешней характеристики понижающего ППН:

u_вых.ср = u_вх.срg–u_д.пр(1–g)–i_н.срr, (12)

которое отличается от широко известного [3] учетом прямого падения напряжения на диоде u_д.пр.

С учетом уравнения (1) найдем выражения для размаха пульсаций тока дросселя в РНТ в предположении u_вх = const, u_вых= u_вых.ср:

Поскольку, согласно (12), имеем

u_вых.ср + u_д.пр + i_н.срr = (u_вх + u_д.пр)g,

то из (13) следует:

Найдем также КПД преобразователя без учета составляющих потерь мощности, не зависящих от тока нагрузки, таких как часть потерь на переключение полупроводниковых приборов, потери на перемагничивание магнитопровода дросселя и др.:

Поскольку i_вх.ср = gi_н.ср, с учетом (12) получим:

Таким образом, падение напряжения на силовом диоде, согласно (12) и (15), уменьшает выходное напряжение и КПД ППН и увеличивает, согласно (14), амплитуду пульсаций тока дросселя.

Аналогично могут быть получены выражения для статических характеристик повышающего и инвертирующего ППН, уточненные с учетом падения напряжения на силовом диоде.

Актуальность учета влияния падения напряжения на силовом диоде на статические характеристики ППН подтверждается рядом публикаций, например, материалами фирмы Texas Instruments, касающимися повышающего ППН с микросхемой TPS40210/11 [6].

Таким образом, нелинейные структурные динамические модели полезны и для анализа статики ППН, но это, конечно, не главное.