Моделирование потерь мощности от вихревых токов в проводниках обмоток магнитных элементов

Введение

В многослойной обмотке, образованной изолированной токопроводящей лентой (ее ширина (breadth) — br_c, толщина (thickness) — th_c, толщина изоляции — th_is), число слоев обмотки равно числу ее витков при условии, что ширина ленты ограничена расстоянием между боковыми щечками катушки, на которой витки размещены.

Возникновение вихревых токов (eddy currents — ec) в проводниках обмоток обусловлено тем, что магнитное поле создается не только в ферромагнитном магнитопроводе. Токи обмоток формируют его в пределах площади, очерченной границами каждого витка, параллельными его осевой, то есть в площади продольного сечения витка. Изменяющийся во времени магнитный поток, существующий в пределах площади поперечного сечения витка, вызывает появление в нем множества кольцевых ЭДС электромагнитной индукции и, соответственно, контуров вихревых токов.

Мощность потерь, вызванная вихревыми токами

Она определяется их значением и длительностью протекания. Вихревые токи двух соседних контуров, протекающие в поперечном направлении по отношению к осевой линии проводника обмотки, направлены встречно и взаимно компенсируют друг друга. Это означает, что вихревой ток фактически направлен вдоль осевой проводника. Он протекает вблизи внешней поверхности проводника (наиболее удаленной от сердечника) в направлении, встречном по отношению к суммарному току, создающему магнитное поле в пространстве, очерченном границами проводника, параллельными его осевой. «Возвратная ветвь» вихревого тока находится вблизи внутренней поверхности проводника. Ток в ней совпадает по направлению с суммарным током, создающим изменяющееся во времени магнитное поле, возбуждающее вихревые токи.

Контур вихревого тока может рассматриваться как короткозамкнутая вторичная обмотка эквивалентного трансформатора с немагнитной средой в качестве магнитопровода. Первичной обмоткой в эквивалентном трансформаторе, которая создает изменяющийся во времени магнитный поток в пределах площади поперечного сечения витка изолированной токоведущей жилы, расположенной в данном слое, служат витки во всех слоях всех обмоток, внешних по отношению к этому слою, то есть находящихся дальше от поверхности сердечника.

Схема замещения эквивалентного трансформатора, отображающего контур вихревого тока, представляется в виде параллельного соединения индуктивности контура L_ec и сопротивления R_ec. При этом L_ec отображает магнитный поток, возникающий в пределах поперечного сечения контура вихревого тока. Поэтому L_ec по выполняемой роли является индуктивностью намагничивания эквивалентного трансформатора.

В моменты начала и окончания импульса рабочего тока в обмотках трансформатора вихревые токи максимальны. Затем они уменьшаются по абсолютной величине экспоненциально, а значение постоянной времени этого процесса равно:

Передача энергии в контур вихревого тока и обусловленное этим дополнительное тепловыделение в обмотке тем незначительнее, чем меньше t_ec в сравнении с длительностью протекания рабочего тока по этой обмотке, а также чем больше значение R_ec.

Индуктивность L_ec определяется выражением , в котором:

(Гн/м) — универсальная магнитная постоянная;

S_c — площадь поперечного сечения ленточного проводника обмотки, равная произведению ширины токоведущей ленты — br_c на ее толщину — th_c;

l_w — длина данного витка обмотки.

Таким образом:

Для упрощения принимается, что каждая из двух ветвей вихревого тока (прямая и возвратная) в каждой из токоведущих жил занимает половину ее поперечного сечения. Тогда сопротивление R_ec определяется выражением:

где R_co (Ом·м) — удельное сопротивление проводящего материала ленточного проводника обмотки. Следовательно, сопротивление в цепи протекания вихревых токов обратно пропорционально толщине th_c ленточного проводника.

Согласно (1), (2) и (3)

то есть значение постоянной времени пропорционально квадрату толщины проводящего материала обмотки. Поэтому уменьшение th_c, вызывая желательное увеличение значения R_ec и сокращение значения t_ec, неизбежно влечет за собой возрастание сопротивления обмотки, оказываемого протекающему по ней рабочему току. Для того чтобы его скомпенсировать, обмотку выполняют совокупностью изолированных токопроводящих жил малой толщины, соединяя их параллельно.

В соответствии с выражениями (1–3) значения основных параметров витков обмотки L_ec, R_ec и t_ec зависят от длины l_w каждого витка. Она возрастает по мере удаления витка от той поверхности сердечника, которую обмотка охватывает.

В дальнейшем принимается, что витки обмоток расположены на катушке, размещенной на стержне сердечника с круглым поперечным сечением. Поверхность катушки (coil), на которую наматываются витки, имеет форму цилиндра. Его диаметр обозначен индексом d_coil, а высота — h_coil (она ограничивает ширину токопроводящей ленты, из которой выполнены проводники обмотки). Диаметр боковых щечек катушки, определяющий максимум диаметра обмотки, обозначен как D_coil.

Поверхность катушки покрывается изолирующим слоем, предназначенным для удаления проводников обмотки, расположенных наиболее близко к поверхности ферромагнитного сердечника вблизи зоны его немагнитного зазора. В этой зоне изменяющийся во времени магнитный поток сердечника выходит за его пределы и создает в таких проводниках повышенные значения вихревых токов. Толщина изолирующего слоя катушки обозначена символом th_is.coil.

Влияние вихревых токов на процессы в моделируемой схеме обычно незначительно. Поэтому принимается, что токи и напряжения в ней могут быть определены в результате моделирования упрощенной схемы, где не учитывается наличие вихревых токов в обмотках магнитных элементов. К этой модели затем добавляются совокупность моделей всех витков, расположенных на каркасе сердечника магнитного элемента. Модель k-го витка, записанная в форме, данной в [1 , с. 248], представляется в виде:

В соотношениях (4), (5), (6):

m_k, 0 — номера узлов, к которым подключены элементы модели контура вихревого тока k-го витка;

L_ec,k и R_ec,k — индуктивность и сопротивление в этом контуре;

l_w,k — длина k-го витка;

G_k — зависимый источник тока в контуре вихревого тока. Его значение равно сумме токов в витках, которые находятся в слоях, лежащих выше того слоя, где размещен k-й виток.

Диаметр k-го ленточного проводника, удаленного от поверхности катушки, поверх которой размещены все обмотки, на сумму толщины изолирующего слоя катушки th_is.coil и толщины th_w тех обмоток, слои витков которых расположены ниже слоя, где размещен k-й проводник, равен

d_k = d_coil+2 × (th_is.coil + th_w + th_c,k + th_is).   (7)

Тогда длина этого k-го витка определяется выражением:

l_w,k = p × d_k.                         (8)

Трансформатор

Это устройство применяется для передачи мощности при условии, как правило, гальванического разделения цепей источника мощности и цепи ее приемника (нагрузки). Таким образом, трансформатор содержит как минимум две обмотки — первичную и вторичную. Первая из них присутствует в цепях источника мощности, а ко второй подключена нагрузка.

В тексте данной статьи моделирование вихревых токов дается на примере трансформатора, в котором, кроме первичной обмотки W1 с числом ее витков w1 (или с числами витков w11, w12 ее секций W11, W12), имеются две двухфазные вторичные обмотки W2 и W3. Числа витков секций первой и второй фазных обмоток обозначены символами w21, w22 и w31, w32. Обмотки выполнены изолированными ленточными проводниками толщиной th_c1 и th_c2, th_c3.

Факторы, влияющие на величину вихревых токов

Такие факторы включают форму токов обмоток трансформатора, порядок размещения обмоток на каркасе, толщину проводников, из которых они выполнены, параллельное соединение проводников.

Форма токов в обмотках трансформатора может быть грубо представлена как резко скачкообразно изменяющейся во времени (рис. 1),  так и плавно нарастающей и спадающей (рис.  2). Оба случая характерны для двух мостовых транзисторных схем.

Рис. 1. Ток первичной обмотки трансформатора первой схемы при среднем значении выпрямленного тока вторичных обмоток, равном 150 А

Рис. 2. Ток первичной обмотки трансформатора второй (резонансной) схемы при среднем значении выпрямленного тока вторичных обмоток, равном 150 А

В первой из них выводы первичной обмотки силового трансформатора непосредственно соединены с выводами мостовой схемы, а вторичная обмотка подключена к нагрузке через выпрямитель и обмотку дросселя [2, рис. 4, 5].

Во второй схеме к выводам мостовой транзисторной схемы подключены последовательно соединенные обмотка первого дросселя, первая секция W11 первичной обмотки силового трансформатора, конденсатор, вторая секция W12 первичной обмотки и обмотка второго дросселя. В этой схеме выводы конденсатора связаны с шинами питания через диоды, причем дроссели имеют одинаковую индуктивность, а секции первичной обмотки — одинаковое число витков [3]. Первый и второй дроссели вместе с конденсатором образуют последовательную резонансную цепь, и колебательным процессом в ней обусловлен плавный характер нарастания и спада во времени тока обмоток трансформатора. Вторичная обмотка во второй (резонансной) схеме через выпрямитель подключена к нагрузке.

Сравнение вихревых токов для двух рассматриваемых случаев осуществляется на основе моделирования первой и второй схем, работающих с частотой переключения транзисторов мостовой цепи, равной 100 кГц. При этом предполагается, что питание схем производится постоянным напряжением 420 В, а их нагрузкой является аккумуляторная батарея напряжением 27 В. Трансформаторы в схемах одинаковы.

Сердечник трансформатора типоразмера PQ 50/50 выполнен из магнитного материала типа N87 (EPCOS). Первичная обмотка с числом витков w1 в первой схеме и с числами витков ее секций w11, w12 во второй схеме, причем w11 + w12 = w1, реализована проводником в виде медной ленты толщиной th_c1, изолированным диэлектрической пленкой (ее толщина th_is). Вторичные обмотки, числа витков которых равны w21, w22, w31, w32, намотаны медной лентой толщиной th_c2, th_c3.

Индуктивность дросселя на вторичной стороне первой схемы — 0,106 мкГн. Во второй схеме индуктивности обмоток первого и второго дросселей резонансной цепи — 21,07 мкГн, емкость конденсатора этой цепи — 59,5 нФ.

Сравнение уровня вихревых токов в моделируемых схемах осуществляется на основе вычисления мощности тепловых потерь в обмотках и в сердечнике [4] трансформаторов, конструктивно отличающихся друг от друга. Данные о мощности потерь, полученные при условии равенства средних значений выпрямленного тока вторичных обмоток (150 А), приведены в таблицах 1 и 2. В таблицах мощность потерь в обмотках трансформатора обозначена двумя цифрами: первая — полная мощность потерь в обмотках, вторая (в скобках) — мощность тепловых потерь, вызванная вихревыми токами.

На основе данных, приведенных в таблицах 1 и 2, могут быть сделаны следующие выводы:

• Схемы, где изменения во времени токов обмоток трансформатора происходят плавно (резонансные), обладают меньшими значениями вихревых токов, чем схемы с резким изменением во времени токов обмоток. Как следствие, в резонансных схемах меньше тепловыделение в трансформаторе.
• Первичную обмотку трансформатора следует выполнять в виде двух секций, электрически соединенных последовательно, а вторичные обмотки размещать между этими секциями. В таком случае вдвое снижается сумма токов в выражении (4) для зависимого источника тока G_k. Соответственно, меньше значения вихревых токов и тепловыделение в обмотках, вызванное ими.
• Уменьшение толщины ленточных провод­ников, при условии параллельного их соединения в обмотках, обеспечивает снижение мощности тепловых потерь, вызванных протеканием вихревых токов. Это, однако, усложняет конструкцию трансформатора.
• Пропорциональное сокращение чисел витков обмоток трансформатора (цель — уменьшение общего числа слоев обмоток) сокращает потери мощности в них, вызванных как рабочими, так и вихревыми токами обмоток. Однако это сопровождается существенным возрастанием мощности тепловых потерь в магнитопроводе трансформатора, из-за чего общие потери мощности в нем могут увеличиваться.

Моделирование потерь от вихревых токов в дросселях, имеющих единственную или несколько обмоток, связанных магнитно, производится аналогично тому, как это сделано применительно к трансформаторам.