Моделирование измерительного трансформатора тока в пакете VisSim

Схема модели

Рис. 1. Схема трансформатора тока

Схема измерительного трансформатора тока (ТТ) приведена на рис. 1. В данном случае трансформатор нагружен на активное сопротивление R_Н. Уравнения, описывающие процессы в измерительном трансформаторе тока для мгновенных значений токов и напряжений, выглядят следующим образом:

e₂ = L₂(di₂/dt) + R₂i₂ + R_Hi₂,      (1)

e₂ = –w₂ × dФ/dt,                         (2)

Ф = B(H)S_M,                                   (3)

H = (i₁ – i₂w₂) / l_M,                      (4)

где Ф — основной магнитный поток; e₂ — ЭДС вторичной обмотки; R₂ и R_Н — сопротивления соответственно вторичной обмотки и нагрузки; L₂ — индуктивность рассеяния вторичной обмотки; В и Н — соответственно индукция и напряженность магнитного поля в магнитопроводе; l_M — длина средней линии магнитопровода; S_M — площадь поперечного сечения магнитопровода; f — частота тока; w₂ — число витков вторичной обмотки трансформатора; число витков первичной обмотки полагаем равным единице.

Рис. 2. Схема моделирования ТТ в VisSim

Схема моделирования в VisSim, соответствующая системе уравнений (1–4), представлена на рис. 2. Здесь блок Diff — блок вычисления производной. Реализация этого блока показана на рис. 3. Величина, обозначенная i’₁₀,— ток намагничивания, приведенный ко вторичной обмотке, равный

i’₁₀ = i₁/w₂ – i₂. (5)

Рис. 3. Схема моделирования блока дифференцирования

Этот ток определяет погрешность трансформатора тока. Для ускорения установления колебаний индукции в модели обеспечивается плавное нарастание амплитуды первичного тока до заданного значения за 10 мс.

Блок, обозначенный B(H), реализует кривую намагничивания материала магнитопровода. Математическая аппроксимация кривой намагничивания представляет собой сложную задачу в силу ее неоднозначного характера. Одно из наиболее удобных представлений — аппроксимация кривой намагничивания на основе арктангенсов [1]:

B = aarctg(bH) + gH.                   (6)

Поскольку первое слагаемое в выражении (6) с ростом H асимптотически приближается к прямым, параллельным оси абсцисс и расположенным от нее на расстоянии ±a, то изменение магнитной индукции в области больших H характеризует второе слагаемое.

Данная аппроксимация является нечетной и может быть использована для расчета магнитных цепей как с постоянным, так и с переменным полем. Ее недостаток заключается в том, что она не учитывает первоначального возрастания магнитной проницаемости с ростом H. Для учета этого фактора можно добавить в аргумент арктангенса степенной член:

B = aarctg(bH + eH^s) + gH.        (7)

Для того чтобы аппроксимация (7) сохраняла нечетность при любом значении s, выражение (7) перепишем в виде

B = a × arctg[bH + e×sign(H)×|H|^σ]+ gH,           (8)

причем

Модель в VisSim выражения (8) приведена на рис. 4.

Рис. 4. Схема моделирования кривой намагничивания

Левый из блоков pow на рис. 4 моделирует возведение аргумента в степень s, а правый — в квадрат. Функция arctg воспроизведена через arcsin, поскольку в VisSim отсутствует соответствующий блок.

Для напряженности магнитного поля H, изменяемой по закону, близкому к синусоидальному, неоднозначность кривой намагничивания (петля гистерезиса) может моделироваться фазовым запаздыванием [2] на угол, близкий к углу магнитных потерь y. На схеме моделирования ТТ (рис. 2) это запаздывание моделируется блоком Psi. В VisSim запаздывание может быть реализовано блоком запаздывания timeDelay, но это приведет к не­устойчивости схемы моделирования. А потому для моделирования фазового запаздывания используется блок transferFunction с передаточной функцией

При выполнении условия

(2pf)²T₁T₂ = 1                (10)

блок Psi обеспечивает фазовый сдвиг

Модуль блока Psi на частоте f равен единице.

Пример моделирования ТТ

В качестве примера проведено моделирование по схеме на рис. 2 для ТТ, рассчитанного на номинальный ток 3000 А, с параметрами: магнитопровод ОЛ 75/120-20 из сплава ГМ414, l_M = 306,3 мм, S_M = 320 мм², w₂ = 4000 витков провода диаметром 0,5 мм. Тогда R₂ = 44 Ом, а индуктивность рассеяния вычислена по формуле [4]:

L₂ = 0,03 Гн.

Здесь обозначено: h — высота, D_н — наружный, D_вн — внутренний диаметры магнитопровода в метрах, m₀ = 4p×10^–7 — магнитная проницаемость вакуума. Трансформатор нагружен на резистор сопротивлением 0,96 Ом.

Рис. 5. Кривая намагничивания сплава ГМ414 по данным изготовителя

Для сплава ГМ414 (2-й класс) определены параметры модели (7): a = 0,79, b = 0,093; g = 6×10^–5, e = 1, s = 2. На рис. 5 приведены в логарифмическом масштабе динамические кривые намагничивания сплава ГМ414 по данным изготовителя [3], а на рис. 6 — результаты моделирования по схеме, представленной на рис. 4.

Рис. 6. Кривая намагничивания сплава ГМ414 по модели, показанной на рис. 4

Сравнение кривых на рис. 5 и 6 обнаруживает приемлемое совпадение.

На рис. 7 представлен график расчетной зависимости относительной магнитной проницаемости m от напряженности магнитного поля для этого сплава.

Рис. 7. График зависимости m(Н)

Моделирование проведено для минимального (30 А) и максимального (3600 А) значений первичного тока, для которых нормируются пределы погрешности для класса точности 0,2S по [5]. Определены графики мгновенных значений индукции в магнитопроводе B(t) и относительной ошибки

а также действующее значение относительной ошибки I₁₀/I₁.

Рис. 8. График B(t) (I1 = 30 A)

На рис. 8 представлен график изменения во времени индукции в магнитопроводе ТТ при I₁ = 30 А. На рис. 9 — мгновенного значения относительной ошибки d_i(t) для этого же тока без учета угла магнитных потерь y. Здесь же приведен график изменения первичного тока ~i₁(t) не в масштабе для определения угловой погрешности.

Рис. 9. График di(t) (I1 = 30 A)

На рис. 10, 11 представлены аналогичные графики для первичного тока 3600 А, также без учета угла магнитных потерь.

Рис. 10. График B(t) (I1 = 3600 A)

Действующее значение относительной ошибки при I₁ = 30 А составило 0,011%, а при I₁ = 3600 А — 0,0025 %.

Рис. 11. График di(t) (I1 = 3600 A)

Для нахождения токовой и угловой погрешностей ТТ рассмотрим векторную диаграмму трансформатора (рис. 12), которая построена на основании следующей системы уравнений в комплексной форме:

• I₁ + ·I₂w₂ = ·I₁₀,             (13)

или

• I’₁ + ·I₂ = ·I’₁₀ — уравнение намагничивающих сил;
• E₂ = ·I₂(R₂ + jX₂) + ·I₂(R_H + jX_H) —уравнение вторичной обмотки;         (14)

• E₂ = –j2pfw₂ ·Ф —уравнение ЭДС вторичной обмотки.                  (15)

Здесь  ·I’₁ =  ·I₁/w₂ — ток первичной обмотки, приведенный к току вторичной обмотки, X₂ = 2pfL₂ — реактивное сопротивление вторичной обмотки, X_Н — реактивное сопротивление нагрузки.

Как следует из векторной диаграммы, угловая погрешность q (рад) определяется по формуле

или q (дуговых минут)

а токовая

Формула (18) на основании теоремы синусов, с учетом малости угла q может быть приближенно записана в виде

f_i ≈ q×ctgj×100%.            (19)

Угол j для формул (17) и (19) может быть найден из графиков на рис. 9 и 11 по формуле

j = 2pft₁.                            (20)

Графики на рис. 8–11 позволяют оценить угол магнитных потерь и уточнить параметры модели.

Удельные магнитные потери сплава ГМ414 составляют 5,5×10^-6×f^1,7 B_m² Вт/кг [3], что при массе магнитопровода 0,714 кг и частоте тока 50 Гц дает

P_M = 3,036×10^-3B_m².    (21)

Реактивная мощность тока намагничивания

Q_M = I₁₀‘×E₂,                  (22)

причем

E₂ = 4,44fw₂B_mS_M.       (23)

Угол магнитных потерь находится по формуле

y = arctg(P_M/Q_M).         (24)

Используя полученные в результате моделирования значения амплитуды индукции и действующего значения приведенного тока намагничивания, по формулам (21–24) найдем значения угла y. Для тока I₁ = 30 А этот угол составит y(30) = 1°, то есть несущественную величину, а для I₁ = 3600 А — y(3600) = 35°.

В первом случае расчет угловой и токовой погрешности можно выполнить по формулам (17) и (19), определив угол j по графику на рис. 9, который согласно (20) равен 72°. Тогда из (17) и (19) для I₁ = 30 А найдем

q = 10,5×10^–5 рад = 0,360, f_i = 0,0034%.             (25)

Для расчета погрешностей при I₁ = 3600 А проведем повторное моделирование с учетом вычисленного значения угла y. Параметры передаточной функции блока Psi (9) определим, решив систему уравнений (10), (11). Результаты моделирования представлены на рис. 13.

Повторно определим угол j, который в данном случае равен 38,5°. Остальные параметры практически не изменились. Из (17) и (19) для I₁ = 3600 А найдем

q = 15,6×10^–6 рад = 0,0540, f_i = 0,002%.

Сравним эти результаты с расчетами погрешностей по формулам, приведенным в [4]:

Здесь z₂ — полное сопротивление цепи вторичной обмотки трансформатора

При расчетах для тока 30 А относительная магнитная проницаемость в формулах (25), (26) принята равной начальному значению m = 60 000, поскольку при этом токе амплитуда H мала (около 0,016 А/м). При токе 3600 А H_m = 0,5 А/м, поэтому взято среднее значение m = 360 000 из графика на рис. 7.

Результаты моделирования и расчетов по формулам (26), (27) приведены в таблице.

Заключение

Моделирование измерительных трансформаторов тока на этапе проектирования позволяет наиболее точно прогнозировать их основные параметры. Особенно это важно, когда ТТ встроен в сложный измерительный преобразователь, а также при анализе работы ТТ в переходных процессах.