Плавное регулирование емкости конденсаторов

№ 4’2014
PDF версия
Рассмотрена схема высокочастотной коммутации конденсаторов, позволяющая плавно регулировать их эквивалентную емкость. Получена предельная непрерывная модель схемы. Показана ее эквивалентность реальной схеме при достаточно высокой частоте коммутации.

Введение

Регулирование емкости конденсаторов требуется как в электротехнических, так и в радиотехнических устройствах. В радиотехнических устройствах, например в параметрических усилителях, регулирование емкости конденсатора, представляющего собой полупроводниковый переход, смещенный в обратном направлении, осуществляется регулированием напряжения смещения [1]. Небольшая емкость перехода на радиочастотах оказывается вполне достаточной.

В электротехнике регулирование емкости возбуждающих конденсаторов асинхронного генератора используется, например, для регулирования его выходного напряжения [2]. Поскольку частоты генерируемых напряжений на много порядков ниже, чем в радиотехнике, емкость полупроводникового перехода оказывается ничтожно малой по сравнению с необходимой емкостью. Поэтому используются нелинейные конденсаторы (вариконды) [2]. Их емкость изменяется в зависимости от приложенного напряжения благодаря особым свойствам диэлектрика.

В электротехнике широко применяются импульсные методы регулирования не только величин токов и напряжения, но даже их частоты. Последнее время благодаря успехам в силовой электронике и микропроцессорной технике импульсные методы регулирования применяются уже в устройствах, мощность которых достигает десятков мегаватт. Это наводит на мысль об импульсном регулировании параметров элементов электротехнических устройств, например емкости конденсаторов.

 

Идея импульсного регулирования емкости конденсатора

Рассмотрим конденсатор постоянной емкости, к которому с помощью ключа К параллельно можно подключать другой конденсатор, как показано на рис. 1а.

При разомкнутом ключе К емкость на зажимах a и b равна С1, а при замкнутом ключе К эта емкость равна сумме С1+С2. Можно предположить, что переключение К из положения «1» в положение «2» с высокой частотой позволит регулировать емкость между зажимами a и b. Чем больше часть периода, в течение которой ключ К находится в положении «1», тем больше величина эквивалентной емкости Сэкв. Очевидно, что при изменении времени от 0 до Т, а g = t/T от 0 до 1, Сэкв будет изменяться в пределах от С1 до С1+С2.

Рассмотрим вначале идеальный случай, когда ключ К обладает нулевым сопротивлением (r = 0) в замкнутом состоянии и бесконечным сопротивлением (R = ∞) в разомкнутом состоянии. Кроме того, положим, что существует устройство, не показанное на рис. 1а, поддерживающее при разомкнутом ключе К напряжение на конденсаторе С2 равным напряжению на С1. Благодаря этому в момент замыкания ключа К никаких токов между конденсаторами С1 и С2, выравнивающих их напряжения, не возникает.

На временном интервале tn< t< tn+t ветвь ab описывается уравнением

откуда следует:

Аналогично на интервале tn+t< t< tn+1 = tn+Т получаем:

Средняя скорость изменения напряжения иab(t) на интервале tn< t< tn+1 равна

Если i(t) = I = const, то напряжение иab(t) будет изменяться по закону ломаной линии с чередующимися прямолинейными отрезками (рис. 1б). С уменьшением периода T ломаная линия все меньше будет отличаться от прямой (рис. 1б), имеющей наклон, равный средней скорости изменения напряжения иab(t):

Очевидно, что прямолинейный закон изменения, к которому реальный закон изменения напряжения иab(t) неограниченно приближается при T→0, имеет место при одном эквивалентном конденсаторе емкостью:

Таким образом, в идеальном случае при достаточно высокой частоте коммутации ключа К можно плавно изменять эквивалентную емкость на зажимах ab, изменяя относительную продолжительность подключения конденсатора С2g = t/Т. Эквивалентная емкость изменяется при этом в пределах от С1 при g = 0 до С1+С2 при g = 1.

В реальных условиях ключ К, реализованный на MOSFET или IGBT, имеет конечные сопротивления r 0 в открытом состоянии и R в закрытом состоянии. Использование устройства, поддерживающего при разомкнутом ключе К напряжение на конденсаторе С2 равным напряжению на конденсаторе С1, несколько уменьшает привлекательность рассматриваемого метода. Кроме того, при достаточно высокой частоте коммутации различие напряжений на конденсаторах С1 и С2 в момент замыкания ключа К может оказаться вполне допустимым с точки зрения ограничения уравнительного тока.

 

Анализ упрощенной схемы импульсного регулирования емкости конденсаторов

На временном интервале tn< t< tn+t эквивалентная схема, представленная на рис. 2а, описывается системой уравнений:

Приведение системы уравнений (5) к нормальной форме дает:

В векторно-матричной форме уравнения (6) записываются в виде:

  • U = A1U + h1i, (6а)

где

Аналогично на временном интервале tn+t< t< tn+1 = tn+Т эквивалентная схема, представленная на рис. 2б, описывается системой дифференциальных уравнений (ДУ) в нормальной форме:

или в векторно-матричной форме:

  • U = A2U + h2i, (7а)

где

Согласно основам теории систем с периодическим высокочастотным изменением структуры [3] предельная непрерывная модель системы описывается векторно-матричным уравнением:

  • U = AU + hi, (8)

где

Полученное описание предельной непрерывной модели системы (8) позволяет изобразить ее электрическую схему (рис. 2в). Таким образом, очевидно, что без поддержания при разомкнутом ключе К напряжения на конденсаторе С2 равным напряжению на конденсаторе С1, за счет изменения g изменяется только величина эквивалентного сопротивления rэкв = r/g. Поэтому при реально малой величине сопротивления r замкнутого ключа К и величине g, заметно превышающей нулевое значение, ветвь ав в цепи с сопротивлением, многократно превышающим сопротивление замкнутого ключа К, что всегда имеет место на практике, ведет себя практически как конденсатор емкостью С1+С2. Экспериментально этот вывод подтверждается исследованием процесса подключения ветви ав через сопротивление R, всего на два порядка превышающее сопротивление замкнутого ключа r, к источнику постоянного напряжения. Ток в цепи уменьшался практически по экспоненте с постоянной времени, равной R(С1+С2). Физически это объясняется тем, что увеличение напряжения на конденсаторе С1, при разомкнутом ключе К происходящее с большей скоростью, компенсируется уменьшением его за счет выравнивания напряжений при подключении конденсатора С2 в момент замыкания ключа К.

Таким образом, без поддержания напряжения на конденсаторе С2 равным при разомкнутом ключе К напряжению на конденсаторе С1эффективное импульсное управление величиной емкости осуществить невозможно. Следовательно, введение устройства, поддерживающего при разомкнутом ключе К напряжение на отключенном конденсаторе С2 равным напряжению на включенном конденсаторе С1, необходимо. Не останавливаясь на технической его реализации, имеющей очевидно множество вариантов, рассмотрим схему с управляемым генератором тока (ГТ), представленную на рис. 3а.

 

Предельная непрерывная модель схемы импульсного регулирования емкости конденсаторов

На первой части периода переключений К и К1 tn< t< tn+t схема описывается уравнением (6а). Во второй части периода tn+t< t< tn+1 = = tn+Т справедлива система ДУ:

где ki коэффициент преобразования ГТ [ki] =А/В = Ом-1.

В векторно-матричной форме эта система уравнений имеет вид:

  • U = A2U + h2i, (9)

где

Предельная непрерывная модель схемы рис. 3а описывается уравнением:

  • U = AU + hi, (10)

где

Система ДУ предельной непрерывной модели системы имеет вид:

Подставляя (uC1uC2), выраженное из второго уравнения, в первое и учтя, что uC1 ~ uC2, с хорошей точностью получаем:

 

где

 

При kir = 1 получаем

Сэкв = С1+ 2. (12а)

Переходя к изображениям по Лапласу в векторно-матричном уравнении (10) при нулевых начальных условиях, получаем:

Uab(p) = UC1(p) = cT[pEA]-1hI(p),

где Uab(p) = UC1(p) = L{uC1(t)}, I(p) = L{i(t)}— преобразование Лапласа uC1(t) и i(t) соответственно, Е — единичная 2×2 матрица, cT = [1,0] — вектор-строка.

Из последнего уравнения получаем передаточную функцию предельной непрерывной модели цепи рис. 3а:

Разложение W(p) на сумму двух простейших дробей дает:

где

Согласно (14) можно построить эквивалентную электрическую схему предельной непрерывной модели, представленную на рис. 3б:

Переходя к изображениям по Лапласу, получаем:

Сравнение выражений (14) и (15) дает:

 

Экспериментальная проверка полученных теоретических результатов

С целью экспериментальной проверки полученных теоретически результатов моделировалось подключение RC-цепи к генератору синусоидального напряжения частотой f = 50 Гц, амплитудой Um = 100 В и нулевой начальной фазой j = 0. Принято R = 10 Ом, а величина Сустанавливалась равной 1,2×10-4 и 1,8×10-4 Ф путем импульсного регулирования по схеме рис. 3а. При этом С1 = С2 =1×10-4 Ф, T = 10-5 с, r = 0,1 Ом, kir = 1. В соответствии с формулой (12а) величина g принималась равной 0,2 и 0,8 соответственно при Сэкв = 1,2×10-4 и 1,8×10-4Ф.

Одновременно моделировалось подключение к тому же напряжению RC-цепи, в которой импульсно регулируемый конденсатор представлялся его предельной моделью рис. 3б. Схема, построенная в системе моделирования MATLAB 6.5 Simulink 5 Sim Power System, изображена на рис. 4.

Схема моделирования в системе MATLAB 6.5 Simulink 5 Sim Power System

Рис. 4. Схема моделирования в системе MATLAB 6.5 Simulink 5 Sim Power System

Результаты моделирования представлены на рис. 5а, б. На временных диаграммах i — ток RC-цепи с регулированием емкости конденсатора, iМ ток RC-цепи, в которой регулируемый конденсатор представлен его предельной непрерывной моделью, Di = iМ – i.

Временные диаграммы токов в реальной схеме и в ее предельной непрерывной модели (i и iM) и их разности, увеличенной в 100 раз: а) Сэкв = 1,2×10-4 Ф; б) Сэкв = 1,8×10-4 Ф

Рис. 5. Временные диаграммы токов в реальной схеме и в ее предельной непрерывной модели (i и iM) и их разности, увеличенной в 100 раз: а) Сэкв = 1,2×10-4 Ф; б) Сэкв = 1,8×10-4 Ф

Моделирование проводилось методом ode15s при ограничении максимального шага интегрирования величиной 10-6.

Анализ результатов моделирования показывает очень хорошее приближение предельно непрерывной модели к реальному импульсно регулируемому конденсатору. Увеличение T снижает точность приближения. Следует подчеркнуть, что рассмотренный способ регулирования емкости конденсаторов представляет собой схемное решение. Емкости конденсаторов в действительности не изменяются. В момент уменьшения емкости ветви ab (в момент отключения С2) напряжение на ветви не изменяется, хотя при мгновенном уменьшении емкости конденсатора напряжение на нем (uC = q/C) возрастает.

 

Выводы

  • Изменение относительной продолжительности периодического подключения дополнительного конденсатора параллельно основному при поддержании на отключенном конденсаторе напряжения, равного напряжению на основном конденсаторе, позволяет плавно регулировать эквивалентную емкость.
  • При достаточно высокой частоте переключений схему регулирования емкости можно с необходимой точностью заменить ее эквивалентной предельной непрерывной моделью.
Литература
  1. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М: Высшая школа. 2003.
  2. Торопцев Н. Д. Авиационные асинхронные генераторы. М: Транспорт. 1970.
  3. Коршунов А. И. Предельная непрерывная модель системы с высокочастотным периодическим изменением структуры // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 9.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *