Плавное регулирование емкости конденсаторов

Введение

Регулирование емкости конденсаторов требуется как в электротехнических, так и в радиотехнических устройствах. В радиотехнических устройствах, например в параметрических усилителях, регулирование емкости конденсатора, представляющего собой полупроводниковый переход, смещенный в обратном направлении, осуществляется регулированием напряжения смещения [1]. Небольшая емкость перехода на радиочастотах оказывается вполне достаточной.

В электротехнике регулирование емкости возбуждающих конденсаторов асинхронного генератора используется, например, для регулирования его выходного напряжения [2]. Поскольку частоты генерируемых напряжений на много порядков ниже, чем в радиотехнике, емкость полупроводникового перехода оказывается ничтожно малой по сравнению с необходимой емкостью. Поэтому используются нелинейные конденсаторы (вариконды) [2]. Их емкость изменяется в зависимости от приложенного напряжения благодаря особым свойствам диэлектрика.

В электротехнике широко применяются импульсные методы регулирования не только величин токов и напряжения, но даже их частоты. Последнее время благодаря успехам в силовой электронике и микропроцессорной технике импульсные методы регулирования применяются уже в устройствах, мощность которых достигает десятков мегаватт. Это наводит на мысль об импульсном регулировании параметров элементов электротехнических устройств, например емкости конденсаторов.

Идея импульсного регулирования емкости конденсатора

Рассмотрим конденсатор постоянной емкости, к которому с помощью ключа К параллельно можно подключать другой конденсатор, как показано на рис. 1а.

При разомкнутом ключе К емкость на зажимах a и b равна С₁, а при замкнутом ключе К эта емкость равна сумме С₁+С₂. Можно предположить, что переключение К из положения «1» в положение «2» с высокой частотой позволит регулировать емкость между зажимами a и b. Чем больше часть периода, в течение которой ключ К находится в положении «1», тем больше величина эквивалентной емкости С_экв. Очевидно, что при изменении времени от 0 до Т, а g = t/T от 0 до 1, С_экв будет изменяться в пределах от С₁ до С₁+С₂.

Рассмотрим вначале идеальный случай, когда ключ К обладает нулевым сопротивлением (r = 0) в замкнутом состоянии и бесконечным сопротивлением (R = ∞) в разомкнутом состоянии. Кроме того, положим, что существует устройство, не показанное на рис. 1а, поддерживающее при разомкнутом ключе К напряжение на конденсаторе С₂ равным напряжению на С₁. Благодаря этому в момент замыкания ключа К никаких токов между конденсаторами С₁ и С₂, выравнивающих их напряжения, не возникает.

На временном интервале t_n< t< t_n+t ветвь ab описывается уравнением

откуда следует:

Аналогично на интервале t_n+t< t< t_n+1 = t_n+Т получаем:

Средняя скорость изменения напряжения и_ab(t) на интервале t_n< t< t_n+1 равна

Если i(t) = I = const, то напряжение и_ab(t) будет изменяться по закону ломаной линии с чередующимися прямолинейными отрезками (рис. 1б). С уменьшением периода T ломаная линия все меньше будет отличаться от прямой (рис. 1б), имеющей наклон, равный средней скорости изменения напряжения и_ab(t):

Очевидно, что прямолинейный закон изменения, к которому реальный закон изменения напряжения и_ab(t) неограниченно приближается при T→0, имеет место при одном эквивалентном конденсаторе емкостью:

Таким образом, в идеальном случае при достаточно высокой частоте коммутации ключа К можно плавно изменять эквивалентную емкость на зажимах ab, изменяя относительную продолжительность подключения конденсатора С₂–g = t/Т. Эквивалентная емкость изменяется при этом в пределах от С₁ при g = 0 до С₁+С₂ при g = 1.

В реальных условиях ключ К, реализованный на MOSFET или IGBT, имеет конечные сопротивления r ≠ 0 в открытом состоянии и R ≠ ∞ в закрытом состоянии. Использование устройства, поддерживающего при разомкнутом ключе К напряжение на конденсаторе С₂ равным напряжению на конденсаторе С₁, несколько уменьшает привлекательность рассматриваемого метода. Кроме того, при достаточно высокой частоте коммутации различие напряжений на конденсаторах С₁ и С₂ в момент замыкания ключа К может оказаться вполне допустимым с точки зрения ограничения уравнительного тока.

Анализ упрощенной схемы импульсного регулирования емкости конденсаторов

На временном интервале t_n< t< t_n+t эквивалентная схема, представленная на рис. 2а, описывается системой уравнений:

Приведение системы уравнений (5) к нормальной форме дает:

В векторно-матричной форме уравнения (6) записываются в виде:

• U = A₁U + h₁i, (6а)

где

Аналогично на временном интервале t_n+t< t< t_n+1 = t_n+Т эквивалентная схема, представленная на рис. 2б, описывается системой дифференциальных уравнений (ДУ) в нормальной форме:

или в векторно-матричной форме:

• U = A₂U + h₂i, (7а)

где

Согласно основам теории систем с периодическим высокочастотным изменением структуры [3] предельная непрерывная модель системы описывается векторно-матричным уравнением:

• U = AU + hi, (8)

где

Полученное описание предельной непрерывной модели системы (8) позволяет изобразить ее электрическую схему (рис. 2в). Таким образом, очевидно, что без поддержания при разомкнутом ключе К напряжения на конденсаторе С₂ равным напряжению на конденсаторе С₁, за счет изменения g изменяется только величина эквивалентного сопротивления r_экв = r/g. Поэтому при реально малой величине сопротивления r замкнутого ключа К и величине g, заметно превышающей нулевое значение, ветвь ав в цепи с сопротивлением, многократно превышающим сопротивление замкнутого ключа К, что всегда имеет место на практике, ведет себя практически как конденсатор емкостью С₁+С₂. Экспериментально этот вывод подтверждается исследованием процесса подключения ветви ав через сопротивление R, всего на два порядка превышающее сопротивление замкнутого ключа r, к источнику постоянного напряжения. Ток в цепи уменьшался практически по экспоненте с постоянной времени, равной R(С₁+С₂). Физически это объясняется тем, что увеличение напряжения на конденсаторе С₁, при разомкнутом ключе К происходящее с большей скоростью, компенсируется уменьшением его за счет выравнивания напряжений при подключении конденсатора С₂ в момент замыкания ключа К.

Таким образом, без поддержания напряжения на конденсаторе С₂ равным при разомкнутом ключе К напряжению на конденсаторе С₁эффективное импульсное управление величиной емкости осуществить невозможно. Следовательно, введение устройства, поддерживающего при разомкнутом ключе К напряжение на отключенном конденсаторе С₂ равным напряжению на включенном конденсаторе С₁, необходимо. Не останавливаясь на технической его реализации, имеющей очевидно множество вариантов, рассмотрим схему с управляемым генератором тока (ГТ), представленную на рис. 3а.

Предельная непрерывная модель схемы импульсного регулирования емкости конденсаторов

На первой части периода переключений К и К₁ t_n< t< t_n+t схема описывается уравнением (6а). Во второй части периода t_n+t< t< t_n+1 = = t_n+Т справедлива система ДУ:

где k_i — коэффициент преобразования ГТ [k_i] =А/В = Ом^-1.

В векторно-матричной форме эта система уравнений имеет вид:

• U = A₂U + h₂i, (9)

где

Предельная непрерывная модель схемы рис. 3а описывается уравнением:

• U = AU + hi, (10)

где

Система ДУ предельной непрерывной модели системы имеет вид:

Подставляя (u_C1–u_C2), выраженное из второго уравнения, в первое и учтя, что u_C1 ~ u_C2, с хорошей точностью получаем:

где

При k_ir = 1 получаем

С_экв = С₁+ gС₂. (12а)

Переходя к изображениям по Лапласу в векторно-матричном уравнении (10) при нулевых начальных условиях, получаем:

U_ab(p) = U_C1(p) = c^T[pE – A]^-1hI(p),

где U_ab(p) = U_C1(p) = L{u_C1(t)}, I(p) = L{i(t)}— преобразование Лапласа u_C1(t) и i(t) соответственно, Е — единичная 2×2 матрица, c^T = [1,0] — вектор-строка.

Из последнего уравнения получаем передаточную функцию предельной непрерывной модели цепи рис. 3а:

Разложение W(p) на сумму двух простейших дробей дает:

где

Согласно (14) можно построить эквивалентную электрическую схему предельной непрерывной модели, представленную на рис. 3б:

Переходя к изображениям по Лапласу, получаем:

Сравнение выражений (14) и (15) дает:

Экспериментальная проверка полученных теоретических результатов

С целью экспериментальной проверки полученных теоретически результатов моделировалось подключение RC-цепи к генератору синусоидального напряжения частотой f = 50 Гц, амплитудой U_m = 100 В и нулевой начальной фазой j = 0. Принято R = 10 Ом, а величина Сустанавливалась равной 1,2×10^-4 и 1,8×10^-4 Ф путем импульсного регулирования по схеме рис. 3а. При этом С₁ = С₂ =1×10^-4 Ф, T = 10^-5 с, r = 0,1 Ом, k_ir = 1. В соответствии с формулой (12а) величина g принималась равной 0,2 и 0,8 соответственно при С_экв = 1,2×10^-4 и 1,8×10^-4Ф.

Одновременно моделировалось подключение к тому же напряжению RC-цепи, в которой импульсно регулируемый конденсатор представлялся его предельной моделью рис. 3б. Схема, построенная в системе моделирования MATLAB 6.5 Simulink 5 Sim Power System, изображена на рис. 4.

Рис. 4. Схема моделирования в системе MATLAB 6.5 Simulink 5 Sim Power System

Результаты моделирования представлены на рис. 5а, б. На временных диаграммах i — ток RC-цепи с регулированием емкости конденсатора, i_М — ток RC-цепи, в которой регулируемый конденсатор представлен его предельной непрерывной моделью, Di = i_М – i.

Рис. 5. Временные диаграммы токов в реальной схеме и в ее предельной непрерывной модели (i и iM) и их разности, увеличенной в 100 раз: а) Сэкв = 1,2×10-4 Ф; б) Сэкв = 1,8×10-4 Ф

Моделирование проводилось методом ode15s при ограничении максимального шага интегрирования величиной 10^-6.

Анализ результатов моделирования показывает очень хорошее приближение предельно непрерывной модели к реальному импульсно регулируемому конденсатору. Увеличение T снижает точность приближения. Следует подчеркнуть, что рассмотренный способ регулирования емкости конденсаторов представляет собой схемное решение. Емкости конденсаторов в действительности не изменяются. В момент уменьшения емкости ветви ab (в момент отключения С₂) напряжение на ветви не изменяется, хотя при мгновенном уменьшении емкости конденсатора напряжение на нем (u_C = q/C) возрастает.

Выводы

• Изменение относительной продолжительности периодического подключения дополнительного конденсатора параллельно основному при поддержании на отключенном конденсаторе напряжения, равного напряжению на основном конденсаторе, позволяет плавно регулировать эквивалентную емкость.
• При достаточно высокой частоте переключений схему регулирования емкости можно с необходимой точностью заменить ее эквивалентной предельной непрерывной моделью.