Выбор фазного напряжения синхронного двигателя с постоянными магнитами

Введение

Частота вращения синхронного двигателя (СД) с постоянными магнитами на роторе, как и любого СД, зависит от частоты напряжения питания статорной обмотки и от числа пар полюсов. Величина напряжения питания непосредственно на частоту вращения не влияет. При питании СД с постоянными магнитами от источника регулируемого напряжения имеется возможность изменять величину фазных напряжений статора и устанавливать оптимальное, т. е. наилучшее по выбранному критерию, напряжение. В качестве критерия оптимальности можно выбрать, например, коэффициент полезного действия СД (КПД). В стационарном режиме при постоянном моменте нагрузки М_Н максимум КПД соответствует минимуму потребляемой мощности и, следовательно, минимуму потерь в СД. Представляет интерес для практики и зависимость коэффициента мощности СД — cosφ, потребляемого тока и габаритной мощности от величины фазного напряжения.

Описание стационарного режима

Стационарный режим СД при постоянном моменте нагрузки описывается (при известных допущениях) системой нелинейных уравнений [1, 2]:

где r и L_∑ — активное сопротивление и суммарная индуктивность фазы статора; I_m, U_m и Е_m — амплитуды фазных тока, напряжения и ЭДС вращения, E_m = C_eω, С_е, С_М — машинные постоянные, ω — частота сети, δ — угол сдвига между осями N-полюса вращающегося поля статора и S-полюса поля ротора СД, отсчитываемого в направлении вращения поля, φ — сдвиг по фазе между фазными токами и напряжениями.

Анализ стационарных режимов показывает, что каждому значению момента нагрузки, меньшему максимального, то есть при

соответствуют два стационарных режима [1–4] при двух разных значениях угла отставания поля ротора от поля статора: δ₁ и δ₂ (δ₁<δ₂); разные фазные токи I_m1 и I_m2; сдвиг фаз φ₁ и φ₂. При изменении фазного напряжения и сохранении условия (2) стационарные режимы изменяются.

Практическое значение из двух возможных стационарных режимов имеет только режим, соответствующий меньшему значению δ (δ₁), поскольку второй, соответствующий δ = δ₂, всегда статически неустойчив [1–2].

Следует заметить, что статически неустойчивым при большом суммарном моменте инерции и индуктивном сопротивлении статора, большем его активного сопротивления, может оказаться и стационарный режим, соответствующий сдвигу фаз δ₁ [2, 4].

При перевозбуждении СД, то есть при U_m<Е_m, и малых М_H возможна принципиальная статическая неустойчивость стационарного режима как при δ₁, так и при δ₂ [2, 4]. Несложно проверить, что при перевозбуждении СД неустойчивы все стационарные режимы при

Для построения зависимостей, характеризующих свойства СД, КПД (η), cosφ, I_m и др. от U_m и определения оптимального значения U_m необходима аналитическая зависимость угла δ от U_m.

Аналитическое описание зависимости угла δ от амплитуды фазного напряжения U_m

Возводя в квадрат и складывая первые два уравнения системы (1), удается исключить неизвестное φ. Затем подстановка выраженного из последнего уравнения системы (1) I_m в полученное уравнение дает зависимость угла δ от напряжения U_m в неявном виде, параметром которой служит М_H:

Величина U_m ограничена снизу значением (U_m)_min, соответствующим равенству максимального электромагнитного момента СД и момента нагрузки М_H. Согласно [1, 3], можно записать выражение для максимального электромагнитного момента СД:

Этому значению U_m соответствует

Уравнение (4) имеет на множестве –π<δ<π четыре корня, два из которых:

где

Оставшиеся два корня соответствуют диаметрально противоположным точкам единичной окружности δ₁ и δ₂. Следовательно, при отсутствии нулевого корня два корня из четырех положительны, а оставшиеся два — отрицательны. Для двигательного режима допустимы только положительные значения корней, причем интерес представляет только меньший из них, так как больший соответствует всегда статически неустойчивому стационарному режиму [2, 4].

При фазном напряжении U_m = (U_m)_min, как нетрудно проверить, sign(2δ+β) = –1, и уравнение (4) имеет всего два корня:

δ₁ = –(π+β)/2 и δ₂ = π+δ₁ = 0,5π–0,5β = (π–β)/2,

Анализ изменения α и β при увеличении U_m показывает, что наименьший положительный корень уравнения (4) определяется выражением:

Основные характеристики СД в функции угла δ

Из третьего уравнения системы (1) непосредственно следует зависимость амплитуды фазного тока I_m от угла δ:

которая с учетом выражения (13) определяет зависимость I_m от U_m при

Полученное выражение (14) не только подтверждает известный факт, что наименьшая линейная нагрузка СД имеет место при сдвиге полей статора и ротора на угол π/2, но и позволяет определить амплитуду фазного напряжения U_m, обеспечивающую при заданном моменте нагрузки М_Н такой стационарный режим работы. Из выражения (13) непосредственно следует, что в этом режиме β+α = 0, то есть sinβ = –sinα.

С учетом выражений (5, 6, 7, 11) получаем формулу, определяющую искомую оптимальную по линейной нагрузке амплитуду фазного напряжения:

Из первого уравнения системы (1) с учетом выражения (14) легко получить формулу для коэффициента мощности

определяющую с учетом (13) его зависимость от U_m.

Из выражений (14) и (16) непосредственно получается выражение для мощности, потребляемой СД, определяющее также с учетом (13) ее зависимость от U_m:

где P_r = 3/2 × (rМ_Н²)/(С_М²sin²δ) — мощность потерь в активном сопротивлении обмоток статора, зависящая от фазного напряжения U_m; P_m = 3/2 × (E_mМ_Н)/С_М — отдаваемая двигателем механическая мощность, не зависящая от фазного напряжения U_m.

Таким образом, КПД СД, при известных допущениях [1], имеет выражение

Из последней формулы очевидно, что наибольшее значение КПД СД имеет при sinδ = 1, то есть при минимуме фазного тока

Полученный вывод при учете только потерь в активном сопротивлении статора с очевидностью следует и из элементарных физических соображений.

Таким образом, оптимальным с точки зрения КПД СД является фазное напряжение, определяемое выражением (15). Согласно (15), наибольший КПД и минимальный ток имеет СД при U_m>E_m, то есть недовозбужденный двигатель.

Зависимость коэффициента мощности cosφ от амплитуды фазного напряжения U_m можно представить в явном виде:

где α = arcsin[Q(U_m)/V(U_m)], β = arcsin[G(U_m)/V(U_m)].

Если cosφ принимает максимальное значение внутри интервала допустимых значений U_m: (U_m>(U_m)_min), то оптимальное по cosφ значение U_m можно найти известным образом, исследуя (20) на экстремум. Однако получить удобное для анализа аналитическое выражение для оптимального значения U_m вряд ли возможно. Учитывая это, а также возможность нахождения оптимального по cosφ значения U_m на границе области допустимых значений и простоту построения графика зависимости, например, в системе MATLAB [5], проще определять искомое значение U_m из графика зависимости cosφ = f(U_m) или находить известными численными методами.

Построение зависимостей в относительных величинах

За базовое значение U_m удобно выбрать E_m, а за базовые значения момента нагрузки М_H и амплитуды фазного тока I_m принять максимальный момент СД при U_m  = E_m

и соответствующую ему амплитуду фазного тока

При обозначении х = U_m/E_m, m = M_H/(M₁)_m интересующие зависимости в относительных величинах имеют вид:

Относительная величина минимальной амплитуды фазного напряжения (8) определяется выражением

а значение угла δ, соответствующее при данном U_m максимальному моменту СД, — выражением

Нижняя граница возрастающего участка кривой М_эм(δ) перевозбужденного СД (U_m<E_m) соответствует при относительном значении фазного напряжения x (x<1) относительному значению момента:

Несложно установить, что при x = x_min и x = 1 m_min принимает нулевое значение, а при

достигает максимума, равного 0,5, независимо от величины cosφ_a.

Верхняя граница этого участка соответствует

Относительная величина возрастающего участка зависимости М_эм от δ перевозбужденного СД (U_m<E_m) определяется отношением

Относительная величина оптимального по КПД и фазному току фазного напряжения

Характеристики синхронных двигателей при одинаковых значениях cosφ_a, как видно из полученных формул, совпадают.

Для СД с одинаковыми значениями cosφ_a можно построить зависимости основных характеристик от относительной амплитуды фазного напряжения х при постоянной величине относительного момента m.

На рис. 1–5 представлены зависимости тока i, КПД (η), углов δ/π, δ_max/π, коэффициента мощности cosφ, произведения xi от x при m = 0,1; 0,3; 0,6; 0,9; 1,2 для СД с φ_a = 85,2°.

Рис. 1. Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при постоянной величине относительного момента m = 0,1

Произведение xi оценивает габаритную мощность СД при выбранном U_m = хE_m. Значение x_min на графиках определяется минимальным напряжением.

На рис. 1–3 дополнительно построена зависимость m_min от х (29). По этой кривой можно определить пределы изменения х, соответствующие неустойчивым стационарным режимам перевозбужденного СД, на которых m<m_min. Так, при m = 0,3 на рис. 2 определен интервал изменения x(U_m): x₁<x<x₂ (x₁E_m<U_m<x₂E_m), при нахождении в котором U_m соответствующий стационарный режим наверняка статически неустойчив. При m>0,5 (рис. 3) указанный интервал не существует, поскольку наибольшее значение m_min равно 0,5.

Рис. 2. Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при постоянной величине относительного момента m = 0,3

Рис. 3. Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при постоянной величине относительного момента m = 0,6

Рассмотрение графиков на рис. 1–5 показывает, что максимумы КПД и коэффициента мощности не совпадают. Максимум КПД имеет место при большем напряжении, чем максимум коэффициента мощности.

Рис. 4. Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при постоянной величине относительного момента m = 0,9

Рис. 5. Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при постоянной величине относительного момента m = 1,2

Максимум коэффициента мощности практически совпадает с минимумом произведения фазного напряжения и фазного тока. Последнее утверждение тем точнее, чем меньше активное сопротивление статорной обмотки r и ее ток. Легко показать, что при r = 0 максимум cosφ точно совпадает с минимумом произведения фазного напряжения и фазного тока. Действительно, из уравнения баланса мощностей для этого идеализированного случая

с учетом постоянства механической мощности, развиваемой СД, следует совпадение максимума cosφ с минимумом произведения амплитуд фазного напряжения и фазного тока U_mI_m. Из уравнения баланса мощностей, записанного с учетом конечного значения r,

следует, что максимум cosφ и минимум U_mI_m тем ближе друг к другу на оси U_m, чем меньше r и I_m.

Изложенное выше позволяет сделать следующие выводы, справедливые в рамках принятых в статье допущений [1]:

1. При одинаковом соотношении активного и индуктивного сопротивлений фазы статора (то есть при одинаковых значениях cosφ_a) характеристики стационарных режимов синхронных двигателей, построенные для относительных величин, совпадают.
2. С увеличением момента нагрузки снижается максимальное значение КПД и коэффициента мощности.
3. Максимум КПД СД совпадает с минимумом величины фазного тока, имеющим место при перпендикулярности полей статора и ротора, и сдвинут относительно максимума коэффициента мощности в сторону больших напряжений тем сильнее, чем больше момент нагрузки.
4. Максимум коэффициента мощности СД практически совпадает с минимумом произведения фазного тока и фазного напряжения в реальных условиях малого активного сопротивления статорной обмотки.
5. При моментах нагрузки, меньших половины максимального момента СД, при равенстве ЭДС и фазного напряжения существует интервал, при попадании в который амплитуды фазного напряжения оба возможных стационарных режима оказываются наверняка статически неустойчивыми в силу соответствия их падающему участку зависимости электромагнитного момента от сдвига полей статора и ротора.

Литература

1. Коршунов А. И. Построение математической модели синхронного двигателя с постоянными магнитами на роторе // Электротехника. 2009. № 1.
2. Коршунов А. И. Анализ статической устойчивости и синхронного двигателя с постоянными магнитами классическим методом // Электротехника. 2009. № 2.
3. Коршунов А. И. Упрощенная математическая модель синхронного двигателя с возбуждением постоянными магнитами // Силовая электроника. 2008. № 2.
4. Коршунов А. И. Стационарные режимы синхронного двигателя с постоянными магнитами // Силовая электроника. 2008. № 3.
5. Дьяконов В. П. Simulink 4. Специальный справочник. СПб.: Питер. 2002.