Непрерывная модель трехфазного контура регулирования тока синхронного электродвигателя с постоянными магнитами на роторе

Введение

В работе [1] контур регулирования синхронного двигателя (СД), силовая часть которого представлена на рис. 1, рассмотрен как замкнутая широтно-импульсная система, каковой он и является. Пульсации тока двигателя в силу их высокой частоты и относительной малости, а также значительно большей инерционности электромеханических процессов по сравнению с электромагнитными вызывают пренебрежимо малые пульсации скорости и угла поворота ротора СД. Поэтому при анализе процессов в синхронном электроприводе удобнее пользоваться непрерывной моделью, учитывающей только более медленную «гладкую» составляющую переменных. Построение такой модели и является целью данной статьи.

1. Предельная непрерывная модель контура регулирования тока

Как известно, при периоде коммутации Т, стремящемся к нулю, пульсации переменных также неограниченно убывают, и дискретное устройство неограниченно приближается к своей предельной непрерывной модели. Методика ее получения описана в [2]. Очевидно, что при достаточно малых Т, пренебрегая незначительными пульсациями переменных, можно пользоваться предельной непрерывной моделью для анализа и синтеза реальной импульсной системы. Является ли период коммутации достаточно малым для того, всегда можно проверить методом математического моделирования.

2. Построение предельной непрерывной модели контура

При получении предельной непрерывной модели примем следующие допущения:

• • в силу симметрии трехфазной обмотки статора

• транзисторы инвертора являются идеальными ключами;
• ЭДС вращения е_a, e_b, e_c, наводимые в обмотке статора вращающимся ротором, образуют трехфазную симметричную систему;
• в любой момент времени включены три ключа по одному из каждого плеча инвертора (рис. 1).

Принятые допущения позволяют записать следующую систему линейных дифференциальных уравнений для силовой части контура регулирования тока: (1)

Выполненные в [1] упрощения приводят систему (1) к виду:

Из трех уравнений системы (2) каждое с учетом первого уравнения системы (1) является следствием двух других.

В качестве регуляторов фазных токов используем, как и в [1], пропорциональные (П) регуляторы и широтно-импульсные модуляторы (ШИМ), описываемые уравнениями

где I_зj, i_j— заданное и действительное значение тока в фазе j, δ_jn = δ_j (t)|_{t = nT}, τ_1jn — время подключения фазы j СД к «+» зажиму источника питания инвертора Е в n-м периоде коммутации nT < t < (n + 1) T (τ_2jn = T – τ_1jn — время ее подключения к «–» зажиму), kр — коэффициент усиления пропорционального регулятора, δ_m — граница линейной зоны ШИМ.

Значения заданных токов I_зj (t) образуют трехфазную симметричную систему, следовательно

Вычитая из тождества (6) первое из уравнений системы (1), получаем

Временные диаграммы импульсных линейных напряжений СД: u_ab, u_bc, u_ca в n-м периоде коммутации для случая

представлены на рис. 2. Там же показаны импульсные напряжения, входящие в правые части дифференциальных уравнений фазовых токов (2).

Интегрирование уравнений (2) с учетом рис. 2 дает (9)

где T_c = (L + M)/r.

Переход к пределу в выражениях:

согласно системе разностных уравнений (9) дает (10),

где γ_jn = τ_1jn/T, j = a, b, c.

При выполнении условий (8) ШИМ работают в линейной зоне и, следовательно, согласно (4) имеем

Подстановка формул (11) в правые части дифференциальных уравнений (10) дает, с учетом (7) и (3):

Несложно убедиться, что и при других соотношениях между ошибками управления δ_a, δ_b, δ_c, лежащими в области линейности ШИМ, система дифференциальных уравнений (10) распадается на 3 независимых дифференциальных уравнения I порядка.

Вне линейной зоны ШИМ условия декомпозиции системы дифференциальных уравнений (10) не выполняются, и система имеет вид (13)

3. Экспериментальная проверка полученных результатов

Поскольку полученная непрерывная модель контура регулирования тока при конечном периоде коммутации Т оказывается приближенной, необходимо оценить степень близости ее переменных к переменным дискретной модели, непосредственно учитывающей свойства трехфазного автономного широтно-управляемого инвертора, при одинаковых входных воздействиях и начальных условиях. С этой целью удобно использовать две модели контура: дискретную, рассмотренную в [1], и непрерывную, построенную по системе дифференциальных уравнений (13). Обе модели представлены в системе MATLAB 6.5, Simulink 5, Sim Power Systems (рис. 3, слева — дискретная модель, справа — непрерывная). Каждая из них учитывает только задающие воздействия I_{зj (t)}, j = a, b, c, представляющие собой трехфазную симметричную систему токов, а возмущающие воздействия, то есть ЭДС-вращения, положены нулевыми. Для сравнения моделей это несущественно. Источник задающего воздействия, построенный на программируемом трехфазном генераторе напряжений (3-Phase Programable Voltage Source 1), трехфазной активной нагрузке (3-Phase Series Branch) и трехфазном измерителе (3-Phase V1 Measurement 1), является общим для непрерывной и дискретной моделей.

Трехфазный измеритель рассогласования непрерывной модели состоит из демультиплексора Demux 3 и трех сумматоров, вычисляющих разность между заданным током фазы I_зj и действительным его значением i_j, то есть δ_j = I_зj – i_j, j = а, b, c. Сигналы рассогласования усиливаются усилителями (Gain, 1, 2) с коэффициентом k = k_р/δ_m.

В соответствии с системой уравнений (13) коэффициент передачи усилителей (Gain 8, 9, 10) в обратной связи каждого их трех интеграторов (integrator, 1, 2) равен r/(L + M), а выходные сигналы сумматоров, суммирующих выходные сигналы блоков насыщения (saturation, 1, 2), проходят через усилители (Gain 5, 6, 11) с коэффициентом k = E/[6(L + M)].

Результаты моделирования в виде заданных значений фазовых токов I_зj, и действительных токов i_jд и i_jн, j = a, b, c, полученных по дискретной и непрерывной моделям соответственно, наблюдаются с помощью мультиплексора Mux 3 на осциллографе Scope 1.

Моделирование проводилось при следующих гипотетических значениях параметров системы: E = 50 В, L + M = 0,01 Гн, r = 6 Ом, δ_m = 1А, К_р = 1,6, Т = 2,5 × 10^–4 с, I_зm = 1,6 A, и частоте заданных токов ƒ_з = 20 Гц. Выбран метод интегрирования ode15S при шаге не выше 1e-7.

На рис. 4 представлена отработка первого полупериода заданных токов обеими моделями при нулевых начальных условиях. Из рис. 4 очевидно, что токи непрерывной модели являются практически «средними линиями» пульсирующих токов дискретной модели. Наибольшее различие токов непрерывной модели и «гладкой» составляющей токов дискретной модели можно видеть на рис. 5, где представлен переходный процесс, соответствующий началу отработки.

Заметим, что рассмотренный процесс в контуре происходит первые два периода коммутации в зоне насыщения ШИМ (рис. 5), а затем — в линейной зоне.

В линейной зоне ШИМ дискретной модели можно подобрать k_р, соответствующий отработке постоянного задающего воздействия за один период коммутации. В рассматриваемой модели такой режим получается при выборе очень низкой частоты задающего воздействия, то есть при выполнении неравенства ƒ_зТ <<< 1.

Оптимальное по быстродействию значение k_р в силу нелинейности системы разностных уравнений (9) меняется при изменениях I_m. При Т_с >> T это изменение не очень существенно, поскольку система разностных уравнений в линейной зоне ШИМ приближается к линейной. Причина этого в приближении экспоненциальной зависимости к линейной при малых значениях ее аргумента.

На рис. 6 представлен переходный процесс оптимальной по быстродействию отработки трехфазного задающего воздействия: I_m = 0,624 A, ƒ = 0,0002 Гц, получающийся при значении К_р = 1,47.

В этом случае особенно заметно отличие токов предельной непрерывной модели от токов дискретной. Эта разница естественна, поскольку непрерывная модель линейна в линейной зоне ШИМ, а дискретная нелинейна даже в этой зоне. Однако через 3–4 периода коммутации разница между токами непрерывной модели и «гладкой» составляющей токов дискретной модели становится практически незаметной.

При больших k_р различие между моделями увеличивается. В дискретной модели может наблюдаться колебательный свободный процесс, которого не может быть в непрерывной модели. Увеличение k_р сверх критического [1] (k_р > k_{р кр}) приводит к потере устойчивости, что не наблюдается в непрерывной модели.

Однако обеспечение 3–5-кратного запаса устойчивости контура регулирования тока по амплитуде (К_ркр/К_р > 3…5), необходимого для его нормальной работы, исключает выбор значений k_р, при которых разница токов дискретной и непрерывной моделей становится существенной.

Выводы

1. Расчеты синхронного частотно управляемого привода можно производить, используя более простую непрерывную модель контура регулирования тока.
2. Выбор параметров контура регулирования тока необходимо производить с учетом дискретного характера трехфазного автономного инвертора, чтобы исключить нежелательные его проявления.