Моделирование частотных характеристик силовых полупроводниковых приборов

Cергей Матюхин

Александр Ставцев

Введение

Частотные характеристики относятся к важнейшим характеристикам силовых полупроводниковых приборов (СПП), поскольку от них в значительной мере зависят динамические свойства и нагрузочная способность приборов, КПД и условия охлаждения, необходимые для их нормальной работы.

Под частотными характеристиками обычно понимают установленные действующими стандартами и выражаемые в виде графиков, математических формул, таблиц или числовых показателей зависимости различных параметров приборов от частоты и длительности воздействующих на них импульсов тока и (или) напряжения.

Потерями называется та часть энергии, которая выделяется в полупроводниковых структурах СПП в виде теплоты. В стационарных условиях работы эта теплота должна быть равна энергии, отводимой от прибора при охлаждении. Поэтому средняя за период между импульсами мощность потерь исчисляется по формуле:

P(f, τ) = (T_j-T_c)/R_th, (1)

где f— частота следования импульсов, τ — их длительность, T_j — установившееся значение температуры полупроводниковой структуры, T_c — температура корпуса прибора (температура охладителя), R_th — стационарное значение теплового сопротивления системы «полупроводниковая структура-корпус».

Уравнение теплового баланса (1) лежит в основе математической модели, построение которой описано в настоящей работе.

Потери и их средняя мощность в силовых полупроводниковых тиристорах

Как описано в [1-3], потери энергии при работе тиристоров складываются из коммутационных потерь при их включении и выключении и потерь в период работы этих приборов в открытом состоянии. Таким образом:

P(f, τ) = P_TT(f,τ)+P_AV(f, τ)+P_RQ(f,τ), (2)

где P_TT(f, τ) и P_RQ(f, τ) — соответственно средние мощности коммутационных потерь при включении и выключении, P_AV(f, τ) — средняя мощность потерь при работе тиристора в открытом состоянии.

Коммутационные потери при включении тиристора Под включением тиристора понимают процесс перевода его из закрытого (непроводящего) состояния с низкой проводимостью в открытое (проводящее) состояние с высокой проводимостью при приложении к нему прямого напряжения. Включение р-n-р-п-структуры тиристоров может осуществляться различными способами: повышением напряжения выше некоторого порогового значения, подачей импульса тока управления в базовый слой, освещением структуры, ее нагревом и т. д. Однако физическая сущность всех этих способов заключается в том [1-3], что по крайней мере в один из базовых слоев тиристора вводится некоторое количество основных носителей заряда, которые вызывают инжекцию неосновных носителей эмиттерным переходом. Часть инжектированных носителей рекомбинирует в базе, а часть достигает коллекторного перехода и полем слоя объемного заряда выносится в другую базу, где они являются основными носителями.

Попадая в базу, эти носители вызывают инжек-цию неосновных носителей из второго эмиттерного перехода. В свою очередь, часть носителей эмиттер-ного перехода рекомбинирует, а часть — достигает коллекторного перехода и попадает в первую базу, в результате чего создаются условия для увеличения инжекции через первый эмиттерный переход.

В итоге ток через структуру растет, концентрация избыточных носителей в базах повышается, и при достижении некоторого значения, соответствующего критическому заряду включения, начинает выполняться условие для самопроизвольного регенеративного нарастания тока. С этого момента для поддержания процесса нарастания тока уже не требуется дополнительного введения в базовые слои избыточных носителей заряда: они в достаточном для этого количестве поступают через коллекторный переход вследствие протекания тока через прибор.

С практической точки зрения наиболее распространенным и, следовательно, наиболее интересным является метод включения р-n-р-п-структуры импульсом тока управления. Поэтому в настоящей работе мы ограничимся рассмотрением именно этого метода включения силового тиристора.

Включение тиристора импульсом тока управления первоначально происходит в области с максимальной плотностью тока управления, примыкающей к управляющему электроду [1-3]. Одновременно включенное состояние с конечной скоростью v₀ ≈ 10 см/мс [3] распространяется по всей площади эмит-терного перехода. Такой характер реального процесса включения полупроводниковой структуры позволяет упростить его теоретическое рассмотрение и считать, что он состоит из двух независимых процессов: одномерного процесса включения, охватывающего явления, протекающие вдоль линий тока, и неодномерного процесса распространения включенного состояния по площади катода. При этом средняя мощность коммутационных потерь:

где t_in — полное время включения тиристора; i(t) — протекающий при включении тиристора анодный ток; u(t) — соответствующее этому току анодное напряжение; S_K —максимальная площадь катода тиристора, который работает во включенном состоянии; S(t) — площадь катодной области, которая находится во включенном состоянии в момент времени t.

Трудность расчета средней мощности коммутационных потерь (3) при включении тиристора заключается в том, что в общем случае временная эволюция анодного тока i(t) и напряжения u(t) весьма сложна и зависит как от параметров самого тиристора, так и от режима его включения в открытое состояние (от напряжения источника, характера нагрузки в силовой цепи, амплитуды и скорости нарастания импульса тока управления и т. д.). Типичные зависимости от времени анодного тока и напряжения, которые наблюдаются при включении тиристора на практике, представлены на рис. 1.

Рис. 1. График зависимости: а) от времени тока управления ig; б) анодного тока i(t) и напряжения u(t) при включении тиристора этим током управления

Как показывает этот рисунок, переходный процесс включения тиристора складывается из трех основных этапов [1-4]: задержки, нарастания тока (спада напряжения) и установления стационарного состояния.

Под задержкой понимают начальный этап процесса включения тиристора от момента подачи импульса тока управления (рис. 1а) до момента t₀, соответствующего началу нарастания анодного тока и спада анодного напряжения. На этом этапе напряжение на приборе практически не меняется, а ток утечки тиристора медленно нарастает до тока переключения (рис. 1б). Поэтому при умеренных температурах Tj полупроводниковой структуры потери энергии на этапе задержки оказываются незначительными, и при вычислении средней мощности коммутационных потерь (3) ими можно пренебречь:

Площадь катодной области, находящейся во включенном состоянии, на этапе задержки также практически не меняется и равна площади S₀ начальной области включения тиристора (вблизи управляющего электрода), ширина которой обычно составляет 0,3-0,6 мм [3].

Таким образом,

где t_K — время, необходимое для распространения включенного состояния по всей площади катода S_K:

Время задержки t₀ включает время t_d пролета носителей заряда через базовые слои полупроводниковой структуры тиристора и время t_q накопления в этих слоях критического заряда, необходимого для перехода тиристора в проводящее состояние:

t₀ = t_d+t_q. (7)

Время пролета t_d определяется только конструктивными особенностями прибора и равно [4]:

где W_n и W_p — толщины n-базы и р-базы тиристора соответственно, а Вр и D_n — коэффициенты диффузии неосновных носителей в n-базе и р-базе соответственно.

Используя соотношение Эйнштейна, коэффициенты диффузии Вр и D_n можно выразить через подвижности μ_p и μ_n носителей заряда:

где k — постоянная Больцмана, e — заряд электрона.

В свою очередь подвижности μ_p и μ_n можно рассчитать, воспользовавшись полуэмпирическим соотношением [5, 6]:

μ_n,p ≈ μ_0n,p(300/Tj)^5/2, (10)

где μ_0n ≈ 1350 см²/(В-с), а μ_0p ≈ 480 см²/(В-с) [6].

Учитывая равенства (9) и (10), для времени пролета (8) получаем:

Расчеты, произведенные по формуле (11), показывают, что для серийных тиристоров время пролета t_d лежит в диапазоне 3-10 мкс.

Время накопления критического заряда t_q зависит от амплитуды I_G импульса тока управления, а также от силы емкостного тока I_GC, связанного с нарастанием анодного напряжения в закрытом состоянии. Согласно работе [1], это время можно представить в виде:

где t_gi — постоянная времени нарастания тока на интервале от t₀ до t₁ (рис. 1б), а I_gi(U_TM) — минимальный ток управления, необходимый для включения тиристора при заданном значении Utm анодного напряжения.

Ток I_GC обусловлен наличием на коллекторном переходе тиристора барьерной емкости C, которая, вообще говоря, зависит от приложенного анодного напряжения U(t):

I_GC = d(CU)/dt. (13)

Возникновение этого тока приводит к уменьшению напряжения переключения тиристора в проводящее состояние с ростом скорости нарастания анодного напряжения (эффект dU/dt [1]).

Считая, что синусоидальные импульсы прямого тока через тиристор обусловлены синусоидальным анодным напряжением:

U(t) = U_TMsin(πt/τ), (14)

где U_TM — амплитудное значение напряжения, и пренебрегая зависимостью барьерной емкости C от напряжения, из (13) получаем:

I_GT ≈ (πCU_TM)/τ. (15)

При этом емкость C может быть вычислена из условия равенства минимального тока управления I_GT(U_TM) и емкостного тока (13), соответствующего такой скорости нарастания анодного напряжения (dU/ dt)max, при которой тиристор включается самопроизвольно, без подачи на управляющий электрод импульса тока управления:

Величина (dU/dt)max характеризует dU/dt— стойкость тиристора. Как правило, эта величина определяется экспериментально и относится к числу важнейших параметров, описывающих динамические свойства прибора.

С учетом равенств (15) и (16) время накопления критического заряда (12) может быть представлено в виде:

Таким образом, учитывая (11) и (17), для времени задержки (7) получаем:

При больших амплитудах импульса тока управления и крутом фронте анодного напряжения время накопления t_q стремится к нулю, а время задержки t₀ — к своему минимальному значению, определяемому временем пролета t_d (первое слагаемое в выражении (18)). С ростом напряжения, приложенного к тиристору в прямом направлении, эффективные толщины его базовых слоев уменьшаются вследствие расширения слоя объемного заряда коллекторного перехода, что несколько снижает время пролета t_d и также уменьшает время задержки включения тиристора.

Продолжительность этапа задержки (18) определяет минимально необходимую длительность отпирающего тока управления тиристора.

Зависимость анодного тока тиристора от времени на этапе его нарастания (рис. 1б, интервал t₀-t₁) обычно имеет экспоненциальный характер [1-4]. Пренебрегая изменением силы тока на этапе задержки, эту зависимость можно представить в виде:

где I_s — ток утечки, соответствующий закрытому состоянию тиристора [7].

Одновременно с ростом анодного тока начинает уменьшаться анодное напряжение (рис. 1б). При включении тиристора на активную нагрузку, с учетом (14), зависимость напряжения от времени может быть описана выражением:

Постоянная времени нарастания тока t ·, которая входит в формулы (19), (20) и (12), определяется скоростью генерации неосновных носителей заряда первым эмиттерным переходом. Конкретные значения t_gi, которые для серийных тиристоров лежат в диапазоне 0,3-10 мкс [1], обычно определяются из графиков экспериментальных зависимостей анодного тока от времени, построенных в полулогарифмическом масштабе.

Когда анодное напряжение, уменьшаясь, становится равным падению напряжения на n-базе, этап лавинообразного роста анодного тока завершается. С этого момента начинается этап установления стационарного режима работы тиристора в открытом состоянии (рис. 1б, интервал t₁-t₂).

Этот этап сопровождается повышением уровня модуляции проводимости n-базы, при этом падение напряжения на тиристоре продолжает уменьшаться и в стационарном состоянии приближается к установившемуся значению, лежащему в пределах от нескольких десятых долей до единиц вольта.

В нестационарном состоянии, например в условиях постоянного роста напряжения внешнего источника (14), этап установления стационарного режима оказывается смазанным. Поэтому можно считать, что зависимости анодного тока и напряжения от времени имеют вид (19) и (20) вплоть до того момента t₂, пока растущий анодный ток не сравняется с прямым током синусоидального импульса, который протекал бы через полностью открытый тиристор:

где I_TM — амплитуда импульсов прямого тока; 2. При t₂< t_K (29):

где U₀ — напряжение отсечки линеаризованной ВАХ СПП [7], r — динамическое сопротивление прибора в проводящем состоянии.

В последнем выражении учтен тот факт, что время завершения одномерного процесса включения t₂ может быть как больше, так и меньше времени t_K включения тиристора по всей площади катода. При этом полное время включения тиристора:

Как следует из формулы (21), время t₂ определяется решением уравнения

Корень этого уравнения

Выражения (4-6) совместно с равенствами (18), (21-23) и (25) полностью определяют среднюю мощность коммутационных потерь, соответствующих процессам включения тиристора. Выполняя интегрирование (4), получаем: 1. При t₂ > t_K

где

где I_TM — амплитуда импульсов прямого тока; 2. При t₂< t_K (29):

где Ci(x) — интегральный косинус, Si(x) — интегральный синус.

Множитель, стоящий в выражениях (26) и (29) при частоте импульсов f представляет собой коммутационные потери тиристора при включении.

Средняя мощность потерь и потери при работе тиристора в проводящем состоянии

При работе тиристора в проводящем состоянии (при t>t_in) средняя мощность потерь P_AV(f, τ) определяется выражением

в котором зависимости от времени анодного тока i(t) и напряжения u(t) определяются формулами (21) и (22).

Производя интегрирование (30), получаем:

Выражение при f в формуле (31) определяет средние потери тиристора при работе в проводящем состоянии.

Коммутационные потери при выключении тиристора Под выключением тиристора понимают [1-4] процесс его перевода из открытого состояния в закрытое (непроводящее), при котором он способен выдерживать определенное прямое напряжение, прикладываемое с установленной скоростью нарастания dU/dt.

В настоящей работе мы будем предполагать, что выключение тиристора осуществляется по силовой цепи путем приложения к нему обратного напряжения.

В закрытое состояние тиристор переходит за конечное время, необходимое для удаления (рассасывания) накопленного в его слоях избыточного заряда. При этом через прибор протекает обратный ток, зависимость которого от времени представлена на рис. 2а.

Рис. 2. Эпюры: а) тока; б) напряжения при выключении тиристора

Время t на этом рисунке отсчитывается от того момента, когда прямой ток через тиристор становится равным нулю. Вплоть до этого момента прямой ток уменьшается до нуля со скоростью di/dt, определяемой приложенным напряжением и параметрами внешней электрической цепи. Для синусоидального импульса прямого тока длительностью τ эта скорость равна:

di/dt = (πI_τμ)/τ. (32)

В процессе спада прямого тока за счет взаимной рекомбинации электронов и дырок в полупроводниковой структуре тиристора происходит уменьшение накопленного избыточного заряда. Этот процесс инерционен, а его скорость зависит в основном от времени жизни дырок τ_ρ в n-базе (τ_ρ ≈ 3-6 мкс [1]). Поэтому к моменту времени t = 0 в базовых слоях на границах p-n-переходов еще сохраняется значительный избыточный заряд, и при t>0 через тиристор начинает протекать обратный ток (рис. 2а), нарастающий со скоростью спада прямого тока:

На этом этапе структура тиристора практически не блокирует напряжения, так как в ее слоях имеется еще достаточно большое число избыточных носителей. При этом длительность этапа нарастания обратного тока t_s ≈ 0,6-0,7τ_p [1]. Поэтому при включении тиристора на активную нагрузку потерями энергии на этом интервале времени с хорошей степенью точности можно пренебречь.

Протекание через структуру обратного тока способствует дальнейшему уменьшению концентрации избыточных носителей — во-первых, за счет процессов рекомбинации, во-вторых, за счет выноса их внешним электрическим полем. В момент времени t_s накопленный заряд уменьшается настолько, что начинает ограничивать обратный ток. При этом сопротивление прибора резко возрастает, и он принимает на себя внешнее напряжение (14):

С этого момента (интервал t_s-t_rr на рис. 2а) с уменьшением концентрации избыточных носителей заряда обратный ток через тиристор резко убывает от своего максимального значения I_rr практически до нуля [2]:

где t_f — это время, которое принято рассматривать в качестве длительности конечного этапа восстановления сопротивления тиристора (рис. 3).

Рис. 3. Принятый способ аппроксимации кривой обратного тока

Как следует из формулы (33), максимальное значение обратного тока

Учитывая, что средняя мощность коммутационных потерь при выключении тиристора

и используя выражения (34-36), получаем (38).

Следует заметить, что время нарастания обратного тока t _s и время его спада f существенно зависят от амплитуды прямого тока, который протекает перед выключением тиристора, от скорости di/dt его изменения и от температуры Tj полупроводниковой структуры. Как показывают наши исследования, для широкого класса приборов эта зависимость описывается следующими эмпирическими формулами:

где a_s, α, β_S и β_f — экспериментально определяемые параметры модели, зависящие только от конструктивных особенностей СПП, а t₀ и f — соответственно времена нарастания и спада обратного тока, измеренные при температуре T_j0 полупроводниковой структуры при значении I₀ классификационного тока, который спадает со скоростью (di/dt)₀ при переключении СПП из проводящего в непроводящее состояние.

Выражение (38) совместно с (39) и (40) полностью определяет среднюю мощность коммутационных потерь и потери (множитель при f в (38)) при выключении тиристора.

Средняя мощность полных потерь P(f τ) определяется формулами (2), (26-29), (31) и (38). Она, как показывают эти формулы, пропорциональна частоте следования импульсов тока. При этом сами потери E = P/f не зависят от частоты и при заданной амплитуде тока определяются только длительностью импульсов τ.

Графики зависимости полных потерь от длительности синусоидальных импульсов прямого тока, построенные по полученным формулам для тиристора МТ3-500 при различных значениях тока IM, представлены на рис. 4 (сплошные кривые). На этом же рисунке изображены графики коммутационных потерь при включении (пунктирные кривые) и выключении прибора (штрих-пунктирные кривые), а также графики потерь при работе тиристора в открытом состоянии (штриховые кривые).

Рис. 4. Потери тиристора МТ3-500 в зависимости от длительности τ синусоидальных импульсов прямого тока (U_TM = 1280 В, f = 398 K, T_c = 298 K)

Анализ построенных графиков показывает, что в области достаточно больших τ потери в тиристорах обусловлены в основном потерями при работе в проводящем состоянии. Коммутационными потерями в этой области длительностей импульсов можно пренебречь.

С уменьшением τ потери при работе в проводящем состоянии падают, а коммутационные потери, наоборот, растут и при τ ~ 200300 мкс сравниваются с потерями при работе тиристора в открытом состоянии.

При τ<200-300 мкс доминируют коммутационные потери при выключении прибора. В этом диапазоне τ потери при включении и потери при работе тиристора в проводящем состоянии быстро уменьшаются благодаря тому, что длительность импульсов становится сравнимой со временем включения прибора. Поэтому импульсы прямого тока, строго говоря, перестают быть синусоидальными. Их передний фронт сильно искажается под влиянием переходных процессов включения.

Наконец, когда длительность импульсов становится равна времени включения прибора (τ ~ 5-7 мкс), он перестает включаться полностью. При меньших τ потери тиристора обусловлены в основном протеканием через прибор токов утечки.

Частотная зависимость амплитуды синусоидальных импульсов тока в стационарных условиях работы тиристора

В неявном виде частотная зависимость амплитуды синусоидальных импульсов прямого тока в стационарных условиях работы тиристора задается равенством (1), в котором средняя мощность потерь P(f τ) определяется выражениями (2), (26-29), (31) и (38).

Графики этой зависимости (линии уровня), построенные для различных значений тока IrM, протекающего через тиристор МТ3-500, представлены на рис. 5.

Рис. 5. Частотные характеристики тиристора МТ3-500, построенные для синусоидальных импульсов тока при следующих условиях: U_TM = 1280 В, f = 398 K, T_c = 298 K (прямая линия на этом рисунке соответствует непрерывному режиму работы тиристора, когда f = 1/τ).

К сожалению, получение явных выражений для функции lTM(f, τ) оказывается затруднительным. Это возможно только в одном частном случае — при τ>>t_iη, t_rr, когда коммутационными потерями при работе тиристора можно пренебречь. В этом случае

Потери и их средняя мощность в силовых полупроводниковых диодах

В отличие от тиристоров, включение силовых полупроводниковых диодов осуществляется практически мгновенно, так как процесс модуляции их проводимости заканчивается при временах до нескольких десятков микросекунды [1, 2]. При этом физические процессы, протекающие в диодах при работе в проводящем состоянии и при их переключении из проводящего в непроводящее, практически не отличаются от тех процессов, которые протекают в полупроводниковых тиристорах. Таким образом, потери энергии при работе диодов складываются из потерь в период их работы в открытом состоянии и коммутационных потерь при их выключении:

P{f,τ) = P_AV{f,τ) + P_RQ(f,τ). (42)

Средняя мощность потерь при работе диодов в проводящем состоянии определяется выражением (31), в котором время включения t_in следует положить равным нулю:

Средняя мощность коммутационных потерь при переключении диодов с прямого на обратное направление может быть рассчитана по формуле (38), в которой время нарастания обратного тока t и время его спада t_f задаются выражениями (39) и (40).

Формулы (42), (43) и (38-40) полностью определяют среднюю мощность полных потерь P(f τ) и полные потери E = P/f в силовых полупроводниковых диодах.

Как и в случае тиристоров, средняя мощность полных потерь в диодах оказывается пропорциональной частоте следования импульсов тока. При этом сами потери не зависят от частоты и при заданной амплитуде тока определяются только τ.

Графики зависимости полных потерь от длительности синусоидальных импульсов прямого тока, построенные для диода ДЛ-343-630-34 при различных значениях тока Itm, представлены на рис. 6 (сплошные кривые). На этом же рисунке изображены графики коммутационных потерь при выключении прибора (штрих-пунктирные кривые), а также графики потерь при работе диода в открытом состоянии (штриховые кривые).

Как показывает этот рисунок, при больших τ основной вклад в потери диодов вносят потери энергии (43) при работе в открытом состоянии. С уменьшением τ эти потери практически линейно спадают и при малых τ становятся меньше потерь (38) при переключении диодов с прямого на обратное направление.

Таким образом, при малых длительностях импульсов тока, протекающего через диоды, их потери, как и потери тиристоров, обусловлены в основном коммутационными потерями при выключении.

При τ, равном нескольким десяткам микросекунд (рис. 6), диоды перестают нормально работать, так как длительность импульсов становится сравнимой со временем модуляции проводимости при включении приборов или со временем t_T восстановления обратного сопротивления.

Рис. 6. Потери диода ДЛ-343-630-34 в зависимости от длительности τ синусоидальных импульсов прямого тока (U_TM = 1280 В, f = 398 K, T_c = 298 K)

Частотная зависимость амплитуды синусоидальных импульсов тока в стационарных условиях работы диода

В неявном виде частотная зависимость амплитуды синусоидальных импульсов прямого тока в стационарных условиях работы диода задается равенством (1), в котором средняя мощность потерь P(f, τ) определяется выражениями (42), (43) и (38). При 0>t_TT, когда коммутационными потерями при работе диода можно пренебречь, эта зависимость может быть представлена в явной форме (41).

Графики зависимости ITM(f, τ) (линии уровня), построенные для различных значений тока Itm, протекающего через диод ДЛ-343-630-34, представлены на рис. 7.

Рис. 7. Частотные характеристики диода ДЛ-343-630-34, построенные для синусоидальных импульсов тока при следующих условиях: U_TM = 1280 В, f = 398 K, T_c = 298 K (прямая линия на рисунке соответствует непрерывному режиму работы диода, когда f = 1/τ]

Заключение

Полученные в настоящей работе результаты показывают, что частотные характеристики диодов и тиристоров определяются теми потерями энергии, которые выделяются в полупроводниковых структурах СПП в виде теплоты.

При больших значениях t эти характеристики обусловлены в основном потерями энергии при работе приборов в проводящем состоянии. В этом случае частотная зависимость амплитуды синусоидальных импульсов тока может быть выражена формулой (41). При малых длительностях импульсов частотные характеристики диодов и тиристоров обусловлены в основном потерями энергии при переключении приборов из проводящего в непроводящее состояние.

Сравнение частотных характеристик диодов и тиристоров показывает, что их основные отличия связаны с коммутационными потерями энергии при включении тиристоров. Эти потери оказывают влияние на динамические свойства тиристоров в области длительностей импульсов τ ~ 200-300 мкс и приводят к искажению переднего фронта импульсов прямого тока.

Анализ частотных характеристик диодов и тиристоров позволяет сделать вывод, что для улучшения динамических свойств СПП следует, в первую очередь, минимизировать потери энергии при работе приборов в проводящем состоянии (43) и при их переключении из проводящего в непроводящее состояние (38).

Литература

1. Евсеев Ю. А., Дерменжи П. Г. Силовые полупроводниковые приборы. М.: Энергоиздат. 1981.
2. Абрамович М. И., Бабайлов В. М., Либер В. Е. и др. Диоды и тиристоры в преобразовательных установках. М.: Энергоатомиздат. 1992.
3. Рабинерсон А. А., Ашкинази Г. А. Режимы нагрузки силовых полупроводниковых приборов. М.: Энергия. 1976.
4. Грехов И. В., Линийчук И. А. Тиристоры, выключаемые током управления. Л.: Энергоиздат. 1982.
5. Григоренко В. П., Дерменжи П. Г., Кузьмин В. А., Мнацаканов Т. Т. Моделирование и автоматизация проектирования силовых полупроводниковых приборов. М.: Энергоатомиздат. 1988.
6. Отблеск А. Е., Челноков В. Е. Физические проблемы в силовой полупроводниковой электронике. Л.: Наука. 1984.
7. Матюхин С. И., Ставцев А. В. Описание температурной зависимости вольт-амперной характеристики силовых полупроводниковых приборов // Известия ОрелГТУ. Серия «Естественные науки». 2003. № 3-4.