Силовая электроника №4'2011

Выбор фазного напряжения синхронного двигателя с постоянными магнитами

Коршунов Анатолий


Рассмотрена зависимость параметров стационарного режима синхронного двигателя с постоянными магнитами от величины фазного напряжения и момента нагрузки. Определены оптимальные по линейной нагрузке, коэффициенту полезного действия и коэффициенту мощности величины фазных напряжений и их зависимость от момента нагрузки.

Введение

Частота вращения синхронного двигателя (СД) с постоянными магнитами на роторе, как и любого СД, зависит от частоты напряжения питания статорной обмотки и от числа пар полюсов. Величина напряжения питания непосредственно на частоту вращения не влияет. При питании СД с постоянными магнитами от источника регулируемого напряжения имеется возможность изменять величину фазных напряжений статора и устанавливать оптимальное, т. е. наилучшее по выбранному критерию, напряжение. В качестве критерия оптимальности можно выбрать, например, коэффициент полезного действия СД (КПД). В стационарном режиме при постоянном моменте нагрузки МН максимум КПД соответствует минимуму потребляемой мощности и, следовательно, минимуму потерь в СД. Представляет интерес для практики и зависимость коэффициента мощности СД — cosφ, потребляемого тока и габаритной мощности от величины фазного напряжения.

Описание стационарного режима

Стационарный режим СД при постоянном моменте нагрузки описывается (при известных допущениях) системой нелинейных уравнений [12]:

где r и L — активное сопротивление и суммарная индуктивность фазы статора; Im, Um и Еm — амплитуды фазных тока, напряжения и ЭДС вращения, Em = Ceω, Се, СМ — машинные постоянные, ω — частота сети, δ — угол сдвига между осями N-полюса вращающегося поля статора и S-полюса поля ротора СД, отсчитываемого в направлении вращения поля, φ — сдвиг по фазе между фазными токами и напряжениями.

Анализ стационарных режимов показывает, что каждому значению момента нагрузки, меньшему максимального, то есть при

соответствуют два стационарных режима [14] при двух разных значениях угла отставания поля ротора от поля статора: δ1 и δ212); разные фазные токи Im1 и Im2; сдвиг фаз φ1 и φ2. При изменении фазного напряжения и сохранении условия (2) стационарные режимы изменяются.

Практическое значение из двух возможных стационарных режимов имеет только режим, соответствующий меньшему значению δ (δ1), поскольку второй, соответствующий δ = δ2, всегда статически неустойчив [12].

Следует заметить, что статически неустойчивым при большом суммарном моменте инерции и индуктивном сопротивлении статора, большем его активного сопротивления, может оказаться и стационарный режим, соответствующий сдвигу фаз δ1 [24].

При перевозбуждении СД, то есть при Um<Еm, и малых МH возможна принципиальная статическая неустойчивость стационарного режима как при δ1, так и при δ2 [24]. Несложно проверить, что при перевозбуждении СД неустойчивы все стационарные режимы при

Для построения зависимостей, характеризующих свойства СД, КПД (η), cosφ, Im и др. от Um и определения оптимального значения Um необходима аналитическая зависимость угла δ от Um.

Аналитическое описание зависимости угла δ от амплитуды фазного напряжения Um

Возводя в квадрат и складывая первые два уравнения системы (1), удается исключить неизвестное φ. Затем подстановка выраженного из последнего уравнения системы (1) Im в полученное уравнение дает зависимость угла δ от напряжения Um в неявном виде, параметром которой служит МH:

Величина Um ограничена снизу значением (Um)min, соответствующим равенству максимального электромагнитного момента СД и момента нагрузки МH. Согласно [13], можно записать выражение для максимального электромагнитного момента СД:

Этому значению Um соответствует

Уравнение (4) имеет на множестве –π<δ<π четыре корня, два из которых:

где

Оставшиеся два корня соответствуют диаметрально противоположным точкам единичной окружности δ1 и δ2. Следовательно, при отсутствии нулевого корня два корня из четырех положительны, а оставшиеся два — отрицательны. Для двигательного режима допустимы только положительные значения корней, причем интерес представляет только меньший из них, так как больший соответствует всегда статически неустойчивому стационарному режиму [24].

При фазном напряжении Um = (Um)min, как нетрудно проверить, sign(2δ+β) = –1, и уравнение (4) имеет всего два корня:

δ1 = –(π+β)/2 и δ2 = π+δ1 = 0,5π–0,5β = (π–β)/2,

Анализ изменения α и β при увеличении Um показывает, что наименьший положительный корень уравнения (4) определяется выражением:

Основные характеристики СД в функции угла δ

Из третьего уравнения системы (1) непосредственно следует зависимость амплитуды фазного тока Im от угла δ:

которая с учетом выражения (13) определяет зависимость Im от Um при

Полученное выражение (14) не только подтверждает известный факт, что наименьшая линейная нагрузка СД имеет место при сдвиге полей статора и ротора на угол π/2, но и позволяет определить амплитуду фазного напряжения Um, обеспечивающую при заданном моменте нагрузки МН такой стационарный режим работы. Из выражения (13) непосредственно следует, что в этом режиме β+α = 0, то есть sinβ = –sinα.

С учетом выражений (5, 6, 7, 11) получаем формулу, определяющую искомую оптимальную по линейной нагрузке амплитуду фазного напряжения:

Из первого уравнения системы (1) с учетом выражения (14) легко получить формулу для коэффициента мощности

определяющую с учетом (13) его зависимость от Um.

Из выражений (14) и (16) непосредственно получается выражение для мощности, потребляемой СД, определяющее также с учетом (13) ее зависимость от Um:

где Pr = 3/2 × (Н2)/(СМ2sin2δ) — мощность потерь в активном сопротивлении обмоток статора, зависящая от фазного напряжения Um; Pm = 3/2 × (EmМН)/СМ — отдаваемая двигателем механическая мощность, не зависящая от фазного напряжения Um.

Таким образом, КПД СД, при известных допущениях [1], имеет выражение

Из последней формулы очевидно, что наибольшее значение КПД СД имеет при sinδ = 1, то есть при минимуме фазного тока

Полученный вывод при учете только потерь в активном сопротивлении статора с очевидностью следует и из элементарных физических соображений.

Таким образом, оптимальным с точки зрения КПД СД является фазное напряжение, определяемое выражением (15). Согласно (15), наибольший КПД и минимальный ток имеет СД при Um>Em, то есть недовозбужденный двигатель.

Зависимость коэффициента мощности cosφ от амплитуды фазного напряжения Um можно представить в явном виде:

где α = arcsin[Q(Um)/V(Um)], β = arcsin[G(Um)/V(Um)].

Если cosφ принимает максимальное значение внутри интервала допустимых значений Um: (Um>(Um)min), то оптимальное по cosφ значение Um можно найти известным образом, исследуя (20) на экстремум. Однако получить удобное для анализа аналитическое выражение для оптимального значения Um вряд ли возможно. Учитывая это, а также возможность нахождения оптимального по cosφ значения Um на границе области допустимых значений и простоту построения графика зависимости, например, в системе MATLAB [5], проще определять искомое значение Um из графика зависимости cosφ = f(Um) или находить известными численными методами.

Построение зависимостей в относительных величинах

За базовое значение Um удобно выбрать Em, а за базовые значения момента нагрузки МH и амплитуды фазного тока Im принять максимальный момент СД при Um  = Em

и соответствующую ему амплитуду фазного тока

При обозначении х = Um/Em, m = MH/(M1)m интересующие зависимости в относительных величинах имеют вид:

Относительная величина минимальной амплитуды фазного напряжения (8) определяется выражением

а значение угла δ, соответствующее при данном Um максимальному моменту СД, — выражением

Нижняя граница возрастающего участка кривой Мэм(δ) перевозбужденного СД (Um<Em) соответствует при относительном значении фазного напряжения x (x<1) относительному значению момента:

Несложно установить, что при x = xmin и x = 1 mmin принимает нулевое значение, а при Формула достигает максимума, равного 0,5, независимо от величины cosφa.

Верхняя граница этого участка соответствует

Относительная величина возрастающего участка зависимости Мэм от δ перевозбужденного СД (Um<Em) определяется отношением

Относительная величина оптимального по КПД и фазному току фазного напряжения

Характеристики синхронных двигателей при одинаковых значениях cosφa, как видно из полученных формул, совпадают.

Для СД с одинаковыми значениями cosφa можно построить зависимости основных характеристик от относительной амплитуды фазного напряжения х при постоянной величине относительного момента m.

На рис. 1–5 представлены зависимости тока i, КПД (η), углов δ/π, δmax/π, коэффициента мощности cosφ, произведения xi от x при m = 0,1; 0,3; 0,6; 0,9; 1,2 для СД с φa = 85,2°.

 Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при m = 0,1

Рис. 1. Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при постоянной величине относительного момента m = 0,1

Произведение xi оценивает габаритную мощность СД при выбранном Um = хEm. Значение xmin на графиках определяется минимальным напряжением.

На рис. 1–3 дополнительно построена зависимость mmin от х (29). По этой кривой можно определить пределы изменения х, соответствующие неустойчивым стационарным режимам перевозбужденного СД, на которых m<mmin. Так, при m = 0,3 на рис. 2 определен интервал изменения x(Um): x1<x<x2 (x1Em<Um<x2Em), при нахождении в котором Um соответствующий стационарный режим наверняка статически неустойчив. При m>0,5 (рис. 3) указанный интервал не существует, поскольку наибольшее значение mmin равно 0,5.

 Зависимости основных характеристик синхронного двигателя при  m = 0,3

Рис. 2. Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при постоянной величине относительного момента m = 0,3
 Зависимости основных характеристик синхронного двигателя при  m = 0,6

Рис. 3. Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при постоянной величине относительного момента m = 0,6

Рассмотрение графиков на рис. 1–5 показывает, что максимумы КПД и коэффициента мощности не совпадают. Максимум КПД имеет место при большем напряжении, чем максимум коэффициента мощности.

 Зависимости основных характеристик синхронного двигателя при  m = 0,9

Рис. 4. Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при постоянной величине относительного момента m = 0,9


 Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при постоянной величине относительного момента m = 1,2

Рис. 5. Зависимости основных характеристик синхронного двигателя от относительной амплитуды фазного напряжения при постоянной величине относительного момента m = 1,2

Максимум коэффициента мощности практически совпадает с минимумом произведения фазного напряжения и фазного тока. Последнее утверждение тем точнее, чем меньше активное сопротивление статорной обмотки r и ее ток. Легко показать, что при r = 0 максимум cosφ точно совпадает с минимумом произведения фазного напряжения и фазного тока. Действительно, из уравнения баланса мощностей для этого идеализированного случая

с учетом постоянства механической мощности, развиваемой СД, следует совпадение максимума cosφ с минимумом произведения амплитуд фазного напряжения и фазного тока UmIm. Из уравнения баланса мощностей, записанного с учетом конечного значения r,

следует, что максимум cosφ и минимум UmIm тем ближе друг к другу на оси Um, чем меньше r и Im.

Изложенное выше позволяет сделать следующие выводы, справедливые в рамках принятых в статье допущений [1]:

  1. При одинаковом соотношении активного и индуктивного сопротивлений фазы статора (то есть при одинаковых значениях cosφa) характеристики стационарных режимов синхронных двигателей, построенные для относительных величин, совпадают.
  2. С увеличением момента нагрузки снижается максимальное значение КПД и коэффициента мощности.
  3. Максимум КПД СД совпадает с минимумом величины фазного тока, имеющим место при перпендикулярности полей статора и ротора, и сдвинут относительно максимума коэффициента мощности в сторону больших напряжений тем сильнее, чем больше момент нагрузки.
  4. Максимум коэффициента мощности СД практически совпадает с минимумом произведения фазного тока и фазного напряжения в реальных условиях малого активного сопротивления статорной обмотки.
  5. При моментах нагрузки, меньших половины максимального момента СД, при равенстве ЭДС и фазного напряжения существует интервал, при попадании в который амплитуды фазного напряжения оба возможных стационарных режима оказываются наверняка статически неустойчивыми в силу соответствия их падающему участку зависимости электромагнитного момента от сдвига полей статора и ротора.

Литература

  1. Коршунов А. И. Построение математической модели синхронного двигателя с постоянными магнитами на роторе // Электротехника. 2009. № 1.
  2. Коршунов А. И. Анализ статической устойчивости и синхронного двигателя с постоянными магнитами классическим методом // Электротехника. 2009. № 2.
  3. Коршунов А. И. Упрощенная математическая модель синхронного двигателя с возбуждением постоянными магнитами // Силовая электроника. 2008. № 2.
  4. Коршунов А. И. Стационарные режимы синхронного двигателя с постоянными магнитами // Силовая электроника. 2008. № 3.
  5. Дьяконов В. П. Simulink 4. Специальный справочник. СПб.: Питер. 2002.

Скачать статью в формате PDF

Скачать статью в формате PDF 2011_04_38.pdf  

 
ПОДПИСКА НА НОВОСТИ

Оцените, пожалуйста, удобство и практичность (usability) сайта:
Хорошо
Нормально
Плохо

Из сайта узнал, что такое картридж для турбины и как можно повысить ее производственные мощности.