Силовая электроника №2'2009

Расчет силовых трансформаторов при произвольных законах изменения напряжения и тока

Юрий Черкашин

Предложен принцип расчета силовых трансформаторов при произвольных законах изменения напряжения и тока. Расчет предполагает удовлетворение двух условий: это обеспечение теплового режима элементов силового трансформатора и получение заданной индуктивности рассеивания. Проведено сравнение шести часто встречающихся конфигураций силовых трансформаторов.

Расчету трансформаторов посвящено много работ, например [1–5]. В данной статье представлен подход к их расчету, основанный на обеспечении:

  • заданного нагрева магнитопровода (МП) при намагничивании его переменным напряжением произвольной формы и нагрева обмоток рабочим током произвольной формы;

  • получения заданной индуктивности рассеивания, то есть получения заданного значения напряжения короткого замыкания или заданной длительности фронта импульса.

Первый подход хорошо зарекомендовал себя при расчете дросселей с магнитопроводом при произвольной форме тока [6]. Созданная теория подтверждалась результатами статистической обработки значений удельной энергии промышленных дросселей, которая выявила зависимость удельной энергии дросселя как степень 1/7 от значения самой энергии в широких пределах изменения энергий от долей до тысяч джоулей.

Далее не рассматривается расчет «строчных» трансформаторов, которые по виду выполняемых функций являются двухобмоточными дросселями.

В трансформаторе закон изменения индукции задается напряжением, в дросселе — током. Другими словами, сердечник трансформатора намагничивается напряжением, а дросселя — током. Можно выделить несколько типичных несинусоидальных режимов работы трансформатора.

  1. Минимальное и максимальное значения напряжения близки по абсолютному значению, но имеют противоположные знаки (рис. 1а). Имеет место режим переменного тока.

  2. Минимальное и максимальное значения напряжения намного отличаются друг от друга, например, одно равно 5–10% другого (рис. 1б). Время действия положительного и отрицательного напряжения сильно отличаются. Режим принято называть импульсным. Разность между максимальным и минимальным значением индукции называют перепадом ΔB (иногда размахом), а половину этого значения — амплитудой переменной составляющей Bm.

В обоих режимах постоянная составляющая индуктированного напряжения равна нулю. В противном случае индукция в магнитопроводе стала бы непрерывно нарастать.

Дроссель и трансформатор состоят из одинаковых частей: магнитопровода и обмоток. Задачей конструктивного расчета трансформатора и дросселя является определение основных геометрических размеров магнитопровода, числа витков обмоток, сечения проводов обмоток, а для дросселя — еще и определение размеров воздушного зазора.

Исходными данными для расчета трансформатора являются:

  1. Закон изменения напряжения u(t) и тока i(t) с заданными параметрами: средним значением напряжения Uср, эффективным значением тока I или амплитудой Im и коэффициентом амплитуды импульса ka = Im/I, а также скважностью импульсов ν = τи/T (рис. 1б).

  2. Ls — индуктивность рассеивания, или напряжение короткого замыкания uк, или τs = Ls/Rн — постоянная времени, где Rн — сопротивление нагрузки трансформатора.

Если трансформатор работает совместно с формирующей линией, то при вычислении постоянной времени сопротивление нагрузки должно быть удвоено, так как сопротивление нагрузки и, как правило, равное ему волновое сопротивление линии включены последовательно с индуктивностью рассеивания трансформатора.

Далее будут рассмотрены броневые и стержневые типы трансформаторов. Самые плохие условия охлаждения, ввиду закрытости магни-топровода катушками, имеет стержневой тип с катушками на обоих стержнях. Стержневой тип трансформатора с двумя катушками эквивалентен тороидальному трансформатору. Удельные потери для этих магнитопроводов, как правило, должны составлять 3–5 Вт/кг, а для остальных — 7–10 Вт/кг.

Предварительно по принятому значению удельных потерь в магнитопроводе при известном законе изменения индукции определяют допустимую амплитуду переменной составляющей индукции Вmc или перепад индукции ΔBи.

Рассмотрим выбор и расчет режима работы магнитопроводов.

Самым простым является выбор рабочей индукции для работы на очень низких частотах — 10–20 Гц. В этом случае могут быть применены шихтованные или витые магнитопро-воды из обычных трансформаторных сталей с толщиной листа или ленты 0,3–0,5 мм. Для импульсных трансформаторов перепад индукций может быть близким к значению 2Вs. Для обеспечения такого режима должно быть применено смещение рабочей точки на кривой намагничивания путем подмагничивания МП постоянным током.

На частотах в десятки и сотни герц должен быть проведен традиционный выбор материалов и режимов работы.

На частотах несколько десятков килогерц потери в МП являются определяющими в выборе марки и толщины магнитного материала. На этих частотах вихревые потери можно регулировать выбором толщины материала. Особо тонкими выпускаются ленты из пермаллоев (толщиной 10–20 мк) и аморфные или нанокристаллические материалы (25 мк). Гистерезисные потери не зависят от толщины материала, а на высоких частотах становятся определяющими. Необходимо выбирать материалы с узкой петлей гистерезиса или с высокой начальной магнитной проницаемостью. Здесь МП из аморфных сплавов практически не имеют преимуществ по сравнению с МП из высоколегированных сплавов (пермаллоев).

Радикальный способ снижения потерь — это уменьшение рабочего значения индукции вплоть до десятых долей тесла. Повышенное значение индукции насыщения материала часто оказывается невостребованным. При малом значении индукции размеры магнитопровода и трансформатора сильно возрастают.

Для повышения индукции и уменьшения размеров трансформатора может быть применен интенсивный обдув или масляное охлаждение, повышающие теплосъем с поверхностей в 1,5-2 раза. Ферритовые сердечники при естественном охлаждении позволяют работать с индукцией 0,3-0,4 Тл.

Выше 10-15 кГц — область работы ферри-товых сердечников или обычных сплавов с очень низкими значениями рабочей индукции или принудительным охлаждением. К сожалению, изготовление ферритовых сердечников больших размеров связано с технологическими трудностями. Выбор рабочей индукции производится расчетным путем или по графикам справочных материалов [7, 8].

Объективным способом контроля качества расчета является экспериментальная проверка теплового режима магнитопровода при выбранной рабочей индукции на опытном сердечнике или его модели. На сердечник наматывается контрольная обмотка из тонкого провода с числом витков, обеспечивающим выбранное значение индукции при известной амплитуде импульса контрольного генератора w=Uг × τи/(s × ΔВи).

Такой генератор имеет небольшую мощность, так как обеспечивает намагничивание сердечника только на холостом ходу. Те участки сердечника, на которых будет располагаться обмотка, могут быть закрыты теплоизоляционным материалом.

Пример результатов проверки приведен на графиках (рис. 2). Выбором магнитного материала и величины рабочей индукции заканчивается первый этап расчета трансформатора.

В последующих выводах принято допущение, что тепловой режим магнитопровода не влияет на тепловой режим катушки. При тепловом расчете магнитопровода и катушек не должны учитываться поверхности их соприкосновения.

Второй этап — расчет обмоток. За основную переменную величину принимаем сечение магнитопровода (первая строка таблицы). Сечение — единственный геометрический параметр, входящий в формулу закона электромагнитной индукции. Закон инвариантен по отношению к форме сечения. Через сечение при выбранной конфигурации трансформатора могут быть определены все остальные размеры трансформатора, например, короткая сторона сечения a=0,5×s1/2 (вторая строка таблицы), длинная сторона в=2а, высота окна h=4,6а, длина средней силовой линии lc=(4,6+4,6+2+2+3,14)×а=k2×s1/2 (третья строка таблицы), длина витка lм=k4×s1/2 , сечение окна sок=k6×s. При вычислении площади охлаждения катушек участки поверхности, соприкасающиеся с маг-нитопроводом, исключены из общей площади охлаждения.

В таблице приведены данные об отношении открытой для охлаждения поверхности магнитопровода к его объему (k12), определяющие допустимые удельные потери в сердечнике Вт·м/кг.

Выбор в качестве аргумента сечения s удобен тем, что после определения основных геометрических размеров трансформатора стержень с прямоугольным сечением может быть заменен стержнем любой формы (например, круглым, ступенчатым) с равновеликим сечением при сохранении основных электрических параметров трансформатора. В таблице представлен ряд типовых конструкций трансформаторов броневого и стержневого типов. Два первых — броневые с квадратным и прямоугольным сечением магнитопровода, два следующих — стержневые с квадратным и прямоугольным сечением магнитопровода с катушками на каждом стержне, и два последних — тоже стержневые с катушкой на одном стержне.

Проблема рассматривается без учета нелинейности вебер-амперных характеристик и при предположении, что в обмотках отсутствуют дополнительные каналы охлаждения.

Напряжение, индукция, сечение магнитопровода и число витков связаны законом электромагнитной индукции:

  • при переменном напряжении:

    отсюда может быть найдено число витков:
  • при синусоидальном напряжении:


  • при импульсном напряжении:

    где ΔBи=2Bmc — перепад индукций, Bmc — максимальное значение индукции в материале сердечника.

Видно, что при произвольном законе изменения напряжения роль импульса намагничивания играет среднее значение напряжения за ту часть периода, в которой напряжение выше (или ниже) нуля; эффективное значение тока вычисляется за целый период. Импульсный режим отличается от периодического, в первую очередь, наличием скважности, отличием амплитуд и длительностей положительной и отрицательной частей кривой напряжения.

Умножая левую и правую части первых уравнений при переменном режиме на I, а при импульсном режиме на Iи, с учетом того, что I=Im/ka√v и T=1/f, получим:

  • при переменном напряжении:

  • при синусоидальном напряжении:

  • при импульсном напряжении:

Покажем, что МДС (Iw)1 катушек каждого магнитопровода имеет некоторое предельное значение, ограниченное нагревом катушек. Пусть в окне сердечника площадью sок размещается w витков обмотки, коэффициент заполнения окна проводниковым материалом kм=0,35, тогда активное сопротивление обмотки:

где lм1 — средняя длина одного витка обмотки, ρ=1,85 × 10–8 Ом·м — удельное сопротивление медного провода.

Для того чтобы сопротивление обмотки и выделяющаяся мощность не увеличивались с ростом рабочей частоты (кГц) трансформатора, его обмотки должны быть намотаны проводом типа литцендрат. Жила провода литцендрат состоит из многих изолированных проводников. Диаметр одного проводника (мм) не должен превышать значения [9]:

Мощность, выделяемая в катушке и рассеиваемая ее поверхностью:

где sохл — поверхность охлаждения обмотки, то есть поверхность обмотки за исключением частей, обращенных к стержню; q=650 Вт/м2 — допустимая плотность теплового потока при превышении температуры поверхности обмотки над окружающим воздухом на 55 °С.

Для уменьшения индуктивности рассеивания (см. далее) бывает целесообразно при заданной площади окна снизить толщину намотки, то есть занять обмоткой лишь часть ширины окна. Эта же задача возникает при необходимости разместить в окне высоковольтную изоляцию первичной или вторичной обмотки.

Введем параметр ß < 1 — коэффициент использования ширины окна. Тогда предельная МДС будет равна:

Предельная МДС зависит от геометрических размеров катушки, коэффициента теплоотдачи с ее поверхности, удельного сопротивления провода и коэффициента использования ширины окна.

Поверхность охлаждения, площадь окна, площадь сечения сердечника, средняя длина витка для выбранной формы сердечника могут быть выражены через сечение зазора s, и поэтому

для распространенных геометрических форм магнитопроводов приведены в таблице (при расчетах предполагается использование системы СИ).

В каждой катушке стержня трансформатора имеется минимум две обмотки, их магнитодвижущие силы равны: (Iw)1=(Iw)2=(Iw)пред/2. С учетом этого уравнения (3) и (4) примут вид:

  • при переменном напряжении:
  • при синусоидальном напряжении:
  • при импульсном напряжении:

Это первая группа формул для определения сечения магнитопровода проектируемого трансформатора. Затем могут быть определены остальные размеры, например, короткая сторона сечения магнитопровода a=√s при квадратной или a=√(s/2) при прямоугольной форме сечения, высота окна h=4a и т. д.

Обратим внимание, что исходными данными для расчета трансформатора на переменном токе являются среднее напряжение за полпериода и эффективный ток обмоток без учета фазы их взаимного расположения во времени. Другими словами, размеры трансформатора зависят не от передаваемой активной мощности, а от полной или кажущейся мощности S.

Однако если производить расчет трансформатора исходя только из условий охлаждения, то может оказаться, что индуктивность рассеивания Ls обмоток будет очень большой, что приведет к недопустимо большому падению напряжения uк при синусоидальном режиме работы трансформатора, искажению формы кривой при другом законе изменения напряжения или к недопустимо большой длительности фронта τsи в импульсном режиме.

Значение индуктивности рассеивания Ls пропорционально площади сечения катушек трансформатора в плоскости, перпендикулярной оси катушек, и обратно пропорционально их длине. Если одна обмотка короче другой, то индуктивность рассеивания резко возрастает, поэтому длины обмоток должны совпадать. При малом числе витков для выполнения этого условия секции с малым числом витков должны быть повторены необходимое число раз, а затем соединены параллельно. Эффективная площадь рассеивания ss представляет сумму третьей части от площади сечения обмоток и полной площади сечения зазора между обмотками. Если обмотки занимают не всю ширину окна, то:

Значения коэффициента kLs приведены в таблице.

У стержневого трансформатора с двумя катушками длина катушек вдвое больше, чем у трансформаторов остальных видов, а их толщина вдвое меньше. Индуктивность рассеивания получается примерно в 4 раза меньше, чем у других видов. Она сопоставима с индуктивностью рассеивания трансформатора, выполненного на тороидальном сердечнике с обмоткой, расположенной не по всей длине средней силовой линии МП (из-за необходимости выполнить выводы от нижней обмотки). Однако, если на высоких частотах из-за плохого охлаждения сердечника придется вдвое снизить индукцию, то потребуется вдвое увеличивать число витков, в четыре раза возрастет индуктивность рассеивания. Преимущества тороидальной конструкции полностью теряются.

Подставим в формулу (12) значения витков (1) и (2) для обоих режимов и получим:

  • при переменном напряжении
  • при импульсном напряжении

Мы получили вторую пару формул для определения размеров трансформатора. Она определяет размеры трансформатора при любой форме кривой напряжения. Предполагается, что известно значение индуктивности рассеивания и напряжение той обмотки, относительно которой определяется эта индуктивность.

Если значение Ls неизвестно, то размеры могут быть определены через относительные величины: напряжение короткого замыкания для синусоидального режима (понятие напряжение короткого замыкания существует только для синусоидального режима, когда существует величина — круговая частота ω=2πf) или относительную длительность фронта импульса для импульсного режима.

Умножим левую и правую части уравнения (13) для синусоидального режима на I, а для импульсного режима (15) — на Iи и после несложных преобразований получим:

  • при синусоидальном напряжении
  • при импульсном напряжении

где uк=100ω>LsI/U — напряжение короткого замыкания в %, а для импульсного режима τsи — относительная длительность фронта импульса.

Таким образом, мы получили третью пару формул для определения площади сечения магнитопровода.

Если известны Ls и uк или τsи, то вторая и третья группы формул дают одинаковый результат. Из найденных по (9-11) сечения s1 и по (14, 16-18) сечения s2 должно быть выбрано большее по величине, и с ним проведены расчеты остальных геометрических параметров, чисел витков и др. Однако, если сечение, найденное из (14, 16-18), окажется много больше сечения, полученного из (9-11) с учетом только тепловой нагрузки трансформатора (через kIw),, то должен быть произведен повторный расчет с β < 1. Можно показать, что приближенно (как s20/21 ≡ s1) значение р может быть принято равным отношению полученных на первом шаге сечений s1/s2.

Тепловыделение внутри обмоток трансформатора, поверхность охлаждения и принятая допустимая температура поверхности катушек определяют максимально допустимую плотность тока в проводах обмоток:

Значения коэффициента kΔ также приведены в таблице.

С учетом найденных соотношений могут быть определены объемы меди обмотки и стали сердечника.

Зная плотность меди и стали, предполагая массу конструктивных элементов (10%), найдем массу этих частей и общую массу трансформатора, кг:

Значения коэффициентов kg , kg и kg приведены в таблице.

В формулу для определения общей массы трансформатора mТ (21) может быть подставлено значение сечения из (9). Получим выражение для вычисления массы трансформатора без учета влияния индуктивности рассеивания:

Используя формулу (17), найдем выражение для массы через полную мощность и напряжение короткого замыкания:

Используя формулу (18), определим массу трансформатора при одновременном задании энергии импульса и постоянной времени цепи нагрузки:

Значения коэффициентов kgSu=kgWz приведены в таблице.

При анализе этих коэффициентов видно, что если проектировать трансформатор с одинаковым уровнем индукции (если позволяют условия охлаждения МП), то самым легким является стержневой трансформатор с прямоугольным сечением магнитопровода.

Порядок применения формул для инженерных расчетов покажем на примерах.

Пример 1

Требуется спроектировать трансформатор, работающий от генератора напряжения прямоугольной формы («меандр») с амплитудой 375 В. Ток нагрузки в виде резонансного контура обуславливает синусоидальную форму тока с эффективным значением I=Im/(ka√v) = 43 А, рабочая частота 15 кГц, индуктивность рассеивания должна составлять 9,5 мкГн.

Высокая рабочая частота заставляет сразу обраться к применению ферритового магнитопровода. Коэффициент заполнения материалом сердечника kc=1. В соответствии с приведенным на рис. 2 графиком выбираем уровень рабочей индукции Bcm=0,22 Тл.

Выбираем магнитопровод стержневого типа с прямоугольным сечением. Рассчитываем сечение магнитопровода без учета требований к напряжению короткого замыкания по (9), первоначально с Β=1.

Теперь с учетом требований к индуктивности рассеивания рассчитаем по (16):

Очевидно, трансформатор должен быть выполнен на магнитопроводе с большим сечением — 8,6 см2. По найденному сечению могут быть определены остальные размеры трансформатора. Например, а=0,71√s=0,02 м, высота окна h=4a=0,08м; ширина окна 1,6а=0,032м; площадь окна 0,0026 м2 и т. д. Число витков рассчитываем по формуле (1):

Плотность тока вычисляем по формуле (19):

Сечение провода 43/2,9 = 14,8 мм2, или иначе:

Диаметр составляющих литцендрат проводников по (6) составит 1/√15 = 0,26 мм.

Число витков и сечение другой обмотки будут отличаться в коэффициент трансформации раз.

Масса трансформатора составит mТ= kgs((β+1)/2)s3/2, mТ=1,40×105×1×(8,6×104)3/2 = 3,5 кг.

Пример 2

Требуется рассчитать трансформатор, работающий совместно с формирующей линией, импульсным напряжением 40 кВ, током 300 А (импульсная мощность 12 МВт), длительностью импульса 360 мкс, длительностью фронта tф = 10% и частотой повторения импульсов 1 Гц.

Скважность импульсов 1/0,00036 = 2780. Трансформатор, работающий на активную нагрузку без формирующей линии, будет иметь постоянную времени фронта вдвое больше — 20%. Длительность фронта — 360x0,2 = 72 мкс = 3τs. Постоянная времени фронта трансформатора тs составит 72/3=24 мкс. При этом сопротивление нагрузки Rн=40 000/300=133 Ом, и индуктивность рассеивания LssRн=24×133 = 3200 мкГ.

Расчет начинаем с выбора режима работы магнитного материала сердечника. При частоте повторения 1 Гц можно использовать любой магнитомягкий материал — листовую трансформаторную сталь. Максимальное значение индукции может быть ΔВи=2Bs=2,4 Тл.

Выбираем стержневой магнитопровод с квадратным (круглым, ступенчатым) сечением стержня с двумя катушками.

Рассчитываем сечение магнитопровода по энергии импульса без учета требований к длительности фронта (11) первоначально β=1.

Теперь по энергии импульса с учетом требований к длительности фронта (18) находим s:

Масса трансформатора с сечением 255·10–4 м2 составит в соответствии с (21):

Редкие импульсы не могут сильно нагреть обмотки, поэтому первое сечение и магнитопровод получаются небольшими. Второе большое сечение является следствием требований, связанных с длительностью фронта, то есть с индуктивностью рассеивания. Два полученных сечения отличаются примерно в пять раз. Можно в 2-3 раза уменьшить толщину обмотки. Проведем расчет по тем же формулам (11) и (18) при β=0,4:

Дальнейшие вычисления необходимо производить с этим значением сечения, например, масса трансформатора будет не 1006 кг, а:

Значение В может быть еще уменьшено.

Пример 3

Оценим размеры трансформатора с прямоугольной формой кривых рабочего напряжения и тока (меандр) 50 В, ток 1 А (эфф.) для работы на частоте 50 кГц.

Предполагаем применение ферритового броневого магнитопровода (Ш-образного) с индукцией 200 мТл.

По формуле (9) находим необходимое сечение магнитопровода: 0,31 см2 = 31 мм2.

По формуле (22) его массу: 0,012 кг =12 г и т. д.

Далее могут быть проанализированы другие варианты конструкций, иные соотношения размеров с целью проведения уточнений при той или иной оптимизации (по массе, объему, стоимости, введению каналов охлаждения и т. п.).

Расчет по разработанным формулам типовых, выпускаемых промышленностью рядов трансформаторов серии ТН, ОСМ дает совпадение расчетных параметров с фактическими.

Одинаково успешный расчет и малых, и больших трансформаторов при различных законах изменения напряжения и тока указывает на фундаментальность приведенной теории расчета.

Литература

1. Тихомиров П. М. Расчет трансформаторов. М.: Госэнергоиздат, 1953.

2. Ицхоки Я. С. Импульсная техника. М.: Советское радио, 1949.

3. Булгаков Н. И. Расчет трансформаторов. М.: Госэнергоиздат, 1950.

4. Ицхоки Я. С. Импульсные устройства. М.: Советское радио, 1959.

5. Черкашин Ю. С. Определение условий эквивалентности электрических режимов мощных силовых и импульсных трансформаторов // Электричество. 1966. № 5.

6. Черкашин Ю. С. Расчет дросселей с маг-нитопроводом при произвольной форме тока // Силовая электроника. 2008. № 3.

7. Черкашин Ю. С. Процесс и энергия намагничивания листового магнитопровода при прямоугольном напряжении // Электричество. 1978. № 6.

8. Бабин С. В., Карасев В. В., Филиппов Ф. Е. Характеристики магнитопроводов трансформаторов тока при одновременном воздействии постоянного и переменного магнитного поля // Электротехническая промышленность. 1981. Вып. 6.

9. Черкашин Ю. С. Проектирование катушек индуктивности для мощных радиотехнических устройств // Радиотехника. 1986. № 6.

*  *  *

Другие статьи по этой теме


Скачать статью в формате PDF

Скачать статью в формате PDF 2009_2_26.pdf  

 
ПОДПИСКА НА НОВОСТИ

Оцените, пожалуйста, удобство и практичность (usability) сайта:
Хорошо
Нормально
Плохо