Стационарные режимы синхронного двигателя с постоянными магнитами

Анатолий Коршунов

Синхронные двигатели (СД) находят широкое
применение в разомкнутых системах, обеспечивающих независимую от нагрузки скорость
вращения большого числа индивидуальных приводов. Это необходимо, например, при производстве
синтетических волокон, в различных дозировочных
агрегатах, в пищевой и фармацевтической промышленности и т. д.

В большинстве случаев синхронные двигатели работают в стационарных режимах. Стационарными
обычно называют режимы, параметры которых с течением времени не изменяются. Для постоянного момента нагрузки желательным стационарным режимом является режим постоянной скорости вращения.
К стационарным относится и режим работы СД с колебаниями скорости около синхронной при постоянных амплитуде и частоте колебаний. Однако такой
стационарный режим при постоянной нагрузке обычно оказывается нежелательным или недопустимым.
По физическому смыслу стационарные режимы подобны положениям равновесия, которые, как известно, бывают устойчивыми и неустойчивыми. Наблюдать можно только устойчивые положения равновесия и стационарные режимы, поскольку в случае
неустойчивости малые отклонения от них неограниченно возрастают. Устойчивые стационарные режимы обычно называют установившимися. Определение параметров и устойчивости стационарных режимов СД имеет важное практическое значение.

Стационарные режимы СД
при постоянном моменте нагрузки

Для исследования стационарных режимов воспользуемся упрощенным математическим описанием
СД с постоянными магнитами на роторе, полученным в [1].

где e_a = –E_msinθ, eb = –E_msin (θ–2π/3), e_c = –E_msin × (θ – 4π/3) — фазные ЭДС вращения, E_m = C_e (dθ/dt),
i_k и u_k, k = a, b, c — фазные токи и напряжения, θ—угол поворота ротора, отсчитываемый от оси фазы a
до оси полюса S ротора, J — суммарный момент
инерции ротора и нагрузки, M_н — момент нагрузки,
L_Σ и r — индуктивность и сопротивление фазы.

электромагнитный момент СД, C_e = const.

За положительное направление оси фазы a принято направление, совпадающее с полюсом поля статора, при i_a = I, i_b = i_c = –I/2.

Построим желательный стационарный режим
СД при фазных напряжениях:

образующих трехфазную симметричную систему,
постоянном моменте нагрузки:

и равномерном вращении ротора:

где θ₀ — неизвестное начальное значение угла поворота ротора, ω = dθ/dt — скорость вращения поля статора.

Если φ — неизвестный сдвиг фазных тока I и напряжения U, то симметричная система фазных токов статора в стационарном режиме имеет вид:

Подстановка формул (5) и (6) в выражение электромагнитного момента СД (2) с учетом равенства
скоростей поля и ротора дает:

При построении стационарного режима СД будем
по известным фазным напряжениям и заданному углу θ₀, представляющему при принятых фазах токов
статора (6) постоянное отставание S (N)
полюса ротора относительно полюса N (S) вращающегося поля статора [1], определять амплитуду фазных токов I_m = √2I, сдвиг фаз между фазными напряжением и током φ и электромагнитный момент двигателя (7). Строить
стационарный режим по заданному моменту
менее удобно, поскольку при этом невозможно аналитическое решение системы нелинейных уравнений.

Для простоты пренебрежем активным сопротивлением фазных обмоток статора, то есть
примем:

что тем более допустимо, чем мощнее СД [2].

С учетом симметрии рассмотрим уравнение одной фазы СД, имеющее при условии (8)
с учетом (5) следующий вид:

или

По выражению (9) легко построить векторную диаграмму, представленную для действующих значений на рис. 1.

Из векторной диаграммы или, подставляя
в уравнение (9) значения ωt = 0 и ωt = – π/2,
получаем два уравнения:

которые совместно с уравнением (7) образуют
систему трех нелинейных уравнений, определяющих параметры стационарного режима СД:
θ₀, φ, I_m, при заданных моменте нагрузки M_н (4),
U_m и E_m.

Возводя в квадрат и складывая уравнения
(10) и (11), исключаем неизвестную φ и получаем квадратное уравнение относительно I_m:

Решив квадратное уравнение (12) относительно ωL_Σ I_m, получаем

где а = E_m/U_m, а а > 1 соответствует его перевозбуждению.

Очевидно, что характер стационарного режима существенно зависит от величины а.
Поскольку по смыслу задачи I_m ≥ 0 не все значения θ₀ могут быть решениями системы нелинейных уравнений (7, 10, 11).

Стационарные режимы
перевозбужденного СД

При а > 1 из условия положительности подкоренного выражения в формуле (13) получаем

Значения |θ₀| ≤ π/2 в этом случае недопустимы, поскольку оба значения выражения (13)
оказываются отрицательными. Следовательно, для перевозбужденного СД допустимые
значения θ₀ лежат для двигательного режима
(sinθ₀ > 0) в пределах:

а для генераторного режима (sinθ₀

Заметим, что двигательный режим соответствует отставанию S (N)-полюса ротора от
N (S)-полюса поля статора и направлению
электромагнитного момента СД в сторону вращения поля статора. Генераторный режим
СД соответствует опережению S (N)-полюсом
ротора N (S)-полюса вращающегося поля статора и направлению вращающего момента
двигателя в сторону, противоположную направлению вращения поля статора.

Приведенные рассуждения допускают весьма простую геометрическую иллюстрацию
с помощью векторных диаграмм, представленных на рис. 2.

При изменении θ₀ конец вектора Е перемещается по дуге окружности радиуса Е, ограниченной углами π – θ_m и –π + θ_m. Конец же вектора U перемещается по всей окружности радиуса U. Согласно рис. 2 очевидно наличие двух
различных стационарных режимов с одинаковым углом θ₀. Они различаются значением фазного тока I и знаком одинакового по величине
сдвига фаз φ. Для двигательного режима соответствующие векторные диаграммы построена на рис. 2 при Е = Е_2Д. Меньшему току I = I2
соответствует вектор напряжения U = U_2Д,
отстающий по фазе от тока. Вектор U_2Д^ґ,
соответствующий большему по величине току I = I₂^ґ, опережает его по фазе.

Для генераторного режима СД соответствующие векторные диаграммы построены
на рис. 2 при Е = Е_2Г. Режим работы СД, граничный между двигательным и генераторным,
соответствует нулевому вращающему моменту (7), то есть θ₀ = 180°. Векторные диаграммы для граничного случая на рис. 2 построены для Е = Е₃. Очевидно, что режим, соответствующий меньшему значению тока I = I₃,
опережающему по фазе фазное напряжение
U = U₃ на 90°, представляет собой известный
режим синхронного компенсатора [2]. Однако невозможность регулировать степень перевозбуждения при возбуждении СД постоянными магнитами исключает его практическое применение.

Зависимость амплитуды или действующего значения фазного тока СД от угла θ в установившемся режиме при измерении тока в относительных единицах (13) имеет максимальное (а + 1) и минимальное (а – 1) значения при
θ = π, что очевидно из векторной диаграммы
рис. 2. Максимальная и минимальная амплитуды тока:

Подстановка в формулу (13) граничного значения θ₀ = π – θ_m дает граничное значение I_m:

совпадающее со значением, определенным геометрически из векторной диаграммы (рис. 2)
при θ = π – θ_m.

Аналогичная зависимость электромагнитного момента от угла θ₀ в стационарном режиме согласно (7) и (13) имеет вид:

Обозначив sinθ₀ = x, c учетом пределов изменения θ₀ можно переписать формулу (19)
в виде:

Для определения максимального значения
момента необходимо исследовать на экстремум функцию

В результате анализа получаем точку экстремума:

соответствующую максимальному значению

Таким образом, из выражений (20–23) следует, что при перевозбуждении СД электромагнитный момент имеет максимальное значение:

Коэффициент мощности (cosφ) и фазный
ток I, соответствующие максимальному электромагнитному моменту СД, согласно (10),
(22) и (13), имеют значения:

Определив потребляемую в этом режиме
мощность, с учетом (24) получаем:

что подтверждает правильность полученных
результатов в силу допущений, предполагающих отсутствие потерь в СД. Принятые же допущения оправдывает высокий, близкий к 1,
КПД реальных СД.

На рис. 3 построены зависимости М/М_max
и I_m/(I_m)_max от θ при a = 1,2 для двигательного
режима. Там же по выражению (10) построен
график зависимости коэффициента мощности (cosφ) от θ₀.

Для генераторного (тормозного) режима работы СД на интервале –π 0 _m по отношению к двигательному режиму зависимость I_m/(I_m)_max от θ₀ обладает четной симметрией, зависимости же М/М_max и cosφ от θ₀ —
нечетной симметрией.

Очевидно, что максимальная величина тормозного (отрицательного) электромагнитного
момента СД также определяется выражением
(24), а соответствующие (cosφ)_m и (I_m) _max—выражениями (25).

Угол θ_0m (22) легко построить графически,
как показано на рис. 2а. На том же рис. 2а представлены векторные диаграммы, соответствующие максимальному вращающему и тормозному моменту СД.

Поскольку максимальный момент СД при
перевозбуждении (a > 1) согласно формуле
(24) зависит только от U_m и E_m, можно предположить, что и при недовозбуждении (a а = 1 максимальный момент СД определяется тем же выражением.

Для доказательства этого, исключив из уравнений (7) и (12) θ₀, получаем уравнение, связывающее значения амплитуды фазного тока
и электромагнитного момента в установившемся режиме:

Решив квадратное относительно х уравнение, получаем:

Из условия положительности подкоренного выражения в формуле (26) получаем:

что и доказывает сформулированное ранее
предположение. Из (26) находим амплитуду
тока, соответствующую максимальной величине момента:

Стационарные режимы
недовозбужденного СД

При a 0. Соответствующие векторные диаграммы представлены
на рис. 4.

В двигательном режиме вектор ЭДС Е занимает любое положение на дуге полуокружности радиуса Е от Е₀ при θ₀ = 0, до –Е₀ при θ₀ = π.

В генераторном режиме вектор ЭДС занимает любое положение на нижней полуокружности радиуса Е также от Е₀ при θ₀ = 0, до –Е₀
при θ₀ = –π. Согласно рис. 4 очевидно существование двух разных стационарных режимов
при одинаковом фазовом сдвиге между фазными током и напряжением. Например, в двигательном режиме напряжению U_1Д, сдвинутому относительно фазного тока на угол φ_1Д
(рис. 4), соответствуют два значения ЭДС:
Е_1Д при θ₀ = θ₀₁ и Е_3Д при θ₀₃ = π – θ₀₁ ЭДС Е_1Д
соответствует ток I₁, меньший тока I₃, соответствующего ЭДС Е_3Д.

Аналогичные векторные диаграммы для генераторного (тормозного) режима работы
СД на рис. 4 построены для U_1Г, Е_1Г, Е_3Г, φ_1Г.

Очевидно, что возможные положения вектора фазного напряжения U при недовозбуждении
СД, как и вектора ЭДС Е при перевозбуждении
СД, ограничены частью окружности соответствующего радиуса (рис. 2 и 4). При недовозбуждении СД положение вектора фазного напряжения ограничено точками окружности радиуса U,
соответствующими фазовому сдвигу:

где φ_min = arccos (E_m/U_m) = arccos (a) — минимальный фазовый сдвиг, соответствующий
наибольшему коэффициенту мощности в двигательном режиме:

Используя выражение (13) при знаке «+» перед квадратным корнем

получаем выражение для электромагнитного
момента недовозбужденного СД:

совпадающее с формулой (19) при сохранении только «+» перед корнем.

Анализ выражения (29) позволяет определить максимальную и минимальную амплитуды фазного тока, соответствующие θ₀ = π
и θ₀ = 0,

что можно получить и непосредственно
из рис. 4.

С учетом изложенного максимальное значение электромагнитного момента определяется формулой (24). Следовательно, формула
(30) дает значения относительной величины
момента M/M_max.

Принимая во внимание первое из выражений (31), получаем:

Угол θ_0m, соответствующий максимальному вращающему моменту СД при его недовозбуждении, легко построить графически,
как показано на рис. 4а. Там же приведены векторные диаграммы для максимального вращающего и тормозного моментов.

Для двигательного режима недовозбужденного СД на рис. 5 построены графики зависимостейM/M_max, I_m/(I_m) maxи cosφ от θ₀ при a = 0,8.

Максимума M/M_max достигает согласно (22)
при

а при θ = π/2 из формулы (28) получаем:

В генераторном (тормозном) режиме аналогичные зависимости обладают указанной
симметрией относительно зависимостей, построенных для двигательного режима.

Стационарные режимы СД
в граничном случае

Рассмотрим случай, граничный между перевозбуждением и недовозбуждением СД, соответствующий

Переходя в выражениях (30) и (32) к пределу при a→1–0, получаем:

Из выражения (10) при 0

Согласно векторной диаграмме, представленной на рис. 1, фазное напряжение и ЭДС
совпадают по фазе, что согласно первым трем
уравнениям системы (1) соответствует в стационарном режиме отсутствию фазных токов.
При I = 0 теряет смысл определение угла θ₀,
поскольку поле статора отсутствует. Физически режим с нулевыми фазными токами может
существовать при равенстве фазного напряжения и ЭДС вращения по амплитуде и фазе,
причем их начальная фаза может быть любой.

Эти рассуждения, основанные на физике
процесса, объясняют математический результат, получаемый формальным переходом к
пределу при a→1+0 в двузначных выражениях для тока (13) и момента (19) перевозбужденного СД. Одно значение, соответствующее
«+» перед квадратным корнем, совпадает с выражением (33) и (34) при π/2 0| 0| Векторные диаграммы для граничного режима представлены на рис. 6.

В этом случае концы векторов U и E располагаются на одной и той же окружности. В двигательном режиме векторы E занимают верхнюю правую четверть окружности, а векторы
U — левую, а в генераторном — правую и левую нижние четверти окружности (рис. 6).

Зависимости M/M_max, I_m/(I_m) _max и cosφ от θ₀
для двигательного режима, построенные
по формулам (33), (34) и (10), изображены
на рис. 7. Для генераторного режима аналогичные зависимости обладают указанной симметрией относительно зависимостей, построенных на рис. 7.

Устойчивость
стационарных режимов

Как уже отмечалось, построенные стационарные режимы можно наблюдать реально
только в случае их устойчивости, простой или
асимптотической. В противном случае любые,
даже весьма малые отключения от установившегося режима вызовут его срыв. Не останавливаясь на строгих математических формулировках, устойчивый стационарный режим
можно сравнить с устойчивым нижним положением равновесия физического маятника (качелей), а неустойчивый — с неустойчивым
верхним положением его равновесия. Асимптотически устойчивыми называют стационарные режимы, отклонения от которых с течением времени полностью затухают. Поэтому
такие стационарные режимы называют установившимися.

Согласно рис. 3 и 5 ясно, что одному моменту нагрузки соответствуют два стационарных
режима (точки А и В на кривой M/M_max (θ₀)).

С помощью простейших рассуждений можно показать, что стационарные режимы, соответствующие точке А, лежащей на падающем
участке кривой, неустойчивы. Действительно,
положим, что в результате кратковременного
увеличения M_н ротор СД немного уменьшил
скорость, а отставание поля ротора от поля
статора немного увеличилось: θ₀ > θ_0А. В результате электромагнитный момент СД станет меньше момента нагрузки (M <M_н), и, следовательно, скорость ротора будет продолжать
уменьшаться, отставание поля ротора от поля статора θ₀ — увеличиваться, а электромагнитный момент — уменьшаться. Это приведет к нарушению стационарного режима.

Если же кратковременное уменьшение момента нагрузки вызовет увеличение скорости
ротора и уменьшение отставания поля ротора от поля статора, то процесс ухода из стационарного режима развивается в противоположном направлении.

В случае, когда стационарный режим СД соответствует точке В, находящейся на возрастающем участке кривой M/M_max (θ₀), пренебрегая электромагнитной инерцией, можно считать, что отклонение θ₀ от стационарного
значения θ₀ вызывает изменение электромагнитного момента, определяемого кривой M (θ₀).
В результате появляется разность моментов
M–M_н, направленная, как и при отклонении маятника из нижнего положения равновесия, противоположно отклонению. Это позволяет ожидать, что отклонения от стационарного режима В будут затухать или, по крайней мере, не будут возрастать с течением времени.

Разумеется, приведенные рассуждения являются далеко не строгими, хотя бы потому,
что никак не учитывают электромагнитные
процессы. Получить правильную картину процессов в СД можно только количественными
методами, решая его дифференциальные уравнения. Характер же устойчивости стационарных режимов правильно можно оценить только с помощью методов математической теории устойчивости [3].

Согласно системе дифференциальных уравнений (1, 2, 3) СД представляет собой нелинейную нестационарную динамическую систему. Аналитическое исследование устойчивости ее движений (различных режимов СД)
весьма сложно. Поэтому далее приведены результаты исследования построенных стационарных режимов СД, выполненные методом
математического моделирования в системе
MATLAB 6.5, Simulink 5.

На рис. 8 представлена математическая модель СД, построенная по уравнениям (1, 2, 3).
С ее помощью проведено исследование устойчивости стационарных режимов СД при следующих значениях параметров:

Исследование устойчивости стационарных
режимов перевозбужденного СД (a =E_m/U_m=1,2)
проводилось при M = M_н = 236,1 Нм. Этому
электромагнитному моменту соответствуют два
значения угла отставания поля ротора от поля
статора: θ_0А = 5π/6 и θ_0В = 0,729π. На графиках
M/M_max, I_m/(I_m) _max и cosφ, представленных
на рис. 3, точки, соответствующие исследуемым
режимам, отмечены буквами А и В.

Для приведения модели в установившийся
режим А значение I_mА вычисляется по формуле (13) при знаке «+» перед квадратным корнем. Начальное значение i_a устанавливается равным I_m с максимальной точностью (16 значащих десятичных цифр). Для токов i_b и i_c c такой
же точностью устанавливаются начальные значения Imcos (–2π/3)= –I_m/2 и I_mcos2π/3= –I_m/2,
что соответствует направлению поля статора
вдоль оси обмотки фазы a. Вычислив значение
φ = arccos (asinθ₀) = arccos (0,6), в генератор синусоидального напряжения фазы a вводим начальную фазу π/2 + arccos (0,6). В генераторы
фазных напряжений u_b и u_c введены дополнительно сдвиги –2π/3 и 2π/3 соответственно.
Начальное значение скорости ротора установлено равным ωр = 2π108 рад/с², а начальное значение угла поворота ротора –θ₀ = –5π/6. Моделирование выполнялось методом ode15S с максимальным шагом 1е – 5.

По результатам моделирования, представленным на рис. 9 в виде кривых M (t), ω_p (t)
= dθ/dt (t) и ωt – θ(t), очевидна неустойчивость
стационарного режима, соответствующего
точке А на рис. 3. Медленное уменьшение М
в течение первых 1,5 с не вызывает заметного
увеличения отклонений от стационарного режима. В дальнейшем же происходит лавинообразный рост отклонений, и СД выпадает
из синхронизма. Согласно теории это означает, что стационарный режим А статически неустойчив. Нарушение статически неустойчивого стационарного режима СД происходит
вследствие возмущений, всегда присутствующих в реальных условиях. При цифровом моделировании роль возмущений играют округления при вычислениях, неизбежные из-за
ограничения разрядной сетки, вызывающие
отклонение начального состояния СД от соответствующей точки стационарного режима.

При аналогичном моделировании стационарного режима, соответствующего точке В,
наблюдались незатухающие колебания очень
малой амплитуды, вызванные отклонением
начального состояния СД от соответствующей
точки стационарного режима. Их лавинообразное нарастание не регистрировалось. При
установке начального отклонения скорости ротора от соответствующей стационарному режиму синхронной скорости ω: Δω_р = ω – ω_р =
= 0,1 рад/с наблюдаются незатухающие, практически синусоидальные колебания отклонений от стационарного режима, представленные на рис. 10. По данным рис. 10 определены период колебаний Т = 0,883 с и частота
Ω = 2π/Т = 7,12 рад/с (1,13 Гц). Огибающие амплитуд фазных токов колеблются при этом
с той же частотой и фазой, совпадающей с фазой колебаний M (t).

Длительное наблюдение колебаний ограничено объемом памяти ЭВМ. Поэтому сделать
вывод о поведении их при t→∞ не удается.
Поскольку изменение амплитуды колебаний
незаметно, можно предположить, что стационарный режим, соответствующий точке В,
просто устойчив, а не асимптотически [3].

При увеличении начальных отклонений
форма колебаний искажается. Вначале становятся заметнее отклонения формы колебаний
M (t) от синусоидальных, а затем уже ω_p (t)
и ωt – θ(t) — поскольку колебания ω_p (t) получаются однократным, а колебания ωt – θ(t)—
двукратным интегрированием колебаний M (t).

Искажение синусоидальной формы колебаний отклонений от стационарного режима при
их увеличении — это следствие нелинейности дифференциальных уравнений СД. Еще более ярким проявлением этой нелинейности,
определяющей свойства СД, является выпадение его из синхронизма при достаточно больших отклонениях от стационарного режима,
что легко наблюдать при моделировании.

Характер стационарных режимов при недовозбуждении СД (a = E_m/U_m = 0,8) исследовался при M = M_н = 91,5 Нм. Стационарные режимы, соответствующие этому электромагнитному моменту, наблюдаются при θ_0А = 0,9π
и θ_0В = 0,473π = 1,486 рад. На рис. 5 значения
M/M_max, I_m/(I_m)_max и cosφ, соответствующие
этим стационарным режимам, отмечены буквами А и В.

Стационарный режим, соответствующий
θ_0А, также неустойчив, как и в случае перевозбужденного СД, а соответствующий θ_0В —
устойчив, но не асимптотически, как и в случае перевозбуждения.

На рис. 11 представлены колебания отклонений от стационарного режима, вызванные увеличением θ_0В на 0,01 рад. Согласно данным рис. 11
ясно, что при отклонении θ_0В становятся заметны две составляющие колебаний отклонений:
высокочастотная, имеющая частоту питающего напряжения f = 108 Гц (ω = 216π рад/с) и низкочастотная. С помощью данных рис. 11 легко
определить период низкочастотных колебаний
(Т = 0,764 с) и их частоту Ω = 2π/Т
= 8,54 рад/с (1,34 Гц). Поскольку в колебаниях
ωt – θ(t) высокочастотная составляющая практически отсутствует из-за двукратного их сглаживания интегрированием, период низкочастотной составляющей следует определять
по кривой ωt – θ (рис. 11).

Огибающие амплитуд фазных токов колеблются с низкой частотой Ω без заметного фазового сдвига, причем по фазе они совпадают
с низкочастотной составляющей колебаний
M (t). Следует отметить, что фазные токи
в этом случае имеют небольшие постоянные
составляющие, в сумме равные 0. Объяснить
это можно консервативным характером системы, то есть отсутствием активного сопротивления, вызывающего рассеяние энергии.

Следует подчеркнуть, что полученные результаты справедливы в рамках принятых допущений. В реальных условиях всегда имеется демпфирующий (успокаивающий колебания) вращающий момент. Его вызывают потери в СД на
вихревые токи, гистерезис, вязкое трение. Такой же момент присутствует и в нагрузке СД.
Однако эти факторы не столь существенны, поскольку для повышения КПД привода их стремятся минимизировать. Поэтому можно считать, что полученные результаты отражают основные свойства рассматриваемого типа СД.

Выводы

1. Стационарные режимы СД существенно зависят от степени его возбуждения. Зависимость стационарного электромагнитного
   момента от угла сдвига поля ротора относительно поля статора при недовозбуждении
   однозначна, а при перевозбуждении при одном угле возможны два значения момента.
2. Одному моменту нагрузки соответствуют два
   стационарных режима СД. При недовозбуждении один из них соответствует точке на возрастающей ветви зависимости электромагнитного момента от угла сдвига полей ротора и статора, а другой — точке на спадающей
   ветви этой зависимости. При перевозбуждении СД возможно, что оба стационарных режима соответствуют падающим ветвям зависимости момента от угла сдвига полей.
3. Стационарные режимы СД, соответствующие точкам возрастающей ветви зависимости электромагнитного момента от угла сдвига магнитных полей статора и ротора, устойчивы, а режимы, соответствующие точкам
   падающей ветви, неустойчивы. Стационарные режимы перевозбужденного СД при
   малых моментах нагрузки неустойчивы.

Литература

1. Коршунов А. И. Упрощенная математическая модель синхронного двигателя с возбуждением постоянными магнитами // Силовая электроника. 2008. № 2.
2. Костенко М. П., Пиотровский Л. М. Электрические машины. Часть вторая. Машины
   переменного тока. Л.: Энергия, 1973.
3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.