Силовая электроника №2'2006

Получение передаточной функции и частотных характеристик противопомехового фильтра преобразователя напряжения.

Владимир Худяков
Василий Хабузов
Александр Васильев


В статье приводится упрощенная методика получения в символьном виде передаточной функции противопомехового фильтра (ППФ), подключаемого на вход преобразователя напряжения и предназначенного для обеспечения требований по его электромагнитной совместимости (ЭМС) с питающей сетью. Подобные фильтры имеют довольно сложную схему, состоящую из пяти и более реактивных элементов, что вызывает определенные трудности при анализе дифференциальных уравнений токов и напряжений в цепи высокого порядка. Сложности вычислений возникают на этапе составления уравнений цепи и нарастают при получении передаточной функции и построении частотных характеристик. Для упрощения анализа при сохранении требуемой точности и обеспечении корректности математических моделей фильтра предлагается автоматизировать процесс вычисления путем применения таких программных продуктов, как MATLAB и MAPLE.


Противопомеховые фильтры строятся на базе магнитно-связанных катушек индуктивности, которые соединяются последовательно и либо согласно, либо встречно друг с другом (рис. 1а, б соответственно, где точками показаны начала катушек) [1]. Предположим, по обеим катушкам протекает один и тот же ток, и они объединены в единую систему. Общий магнитный поток (потокосцепление) у первой катушки с учетом влияния второй катушки составляет

Ф1 = Ф11 ± Ф12

а у второй

Ф2 = Ф22 ± Ф21

где первая составляющая потока Ф1122) вызвана протеканием тока в первой (второй) катушке и пронизывает все витки первой (второй) катушки; вторая составляющая Ф1221) — полный поток (потокосцепление) взаимной индукции первой (второй) катушки, который вызван протеканием тока во второй (первой) катушке и пронизывает все витки первой (второй) катушки. Знак (+) отражает согласное, а знак (–) — встречное соединение катушек. Общая индуктивность всей системы из последовательно соединенных катушек составляет

L = L1 + L2 ± 2M,

где L1 и L2 — индуктивности первой и второй катушек соответственно; М — взаимная индуктивность системы, равная отношению полного потока взаимной индукции к связанному с ним току.

Рис. 1. Согласное (а) и встречное (б) последовательное включение катушек
Рис. 1. Согласное (а) и встречное (б) последовательное включение катушек

При этом взаимное влияние обеих катушек оценивают с помощью коэффициента связи kс. Значение коэффициента связи не превышает 1, то есть 0< kс < 1, и определяется как

и соответственно взаимная индуктивность

Включим в ППФ кроме магнитно-связанных катушек два конденсатора: первый С1 на вход анализируемой системы катушек и второй С2 — на ее выход. Источник напряжения Е подключен к фильтру через резистор R1 с относительно малым сопротивлением для ограничения тока заряда конденсатора С1 при запуске. К выходу ППФ подсоединена нагрузка R2. Эквивалентная схема замещения ППФ представлена цепью пятого порядка (по числу реактивных элементов) и включает три контура с токами I1, I2 и I3 (рис. 2).

Рис. 2. Схема противопомехового фильтра с встречным включением катушек
Рис. 2. Схема противопомехового фильтра с встречным включением катушек

Получение передаточной функции в символьном виде для такой цепи является довольно сложной задачей. Чтобы упростить для пользователя процесс решения этой задачи, целесообразно использовать пакет MAPLE, дающий возможность:

  • решать системы дифференциальных, алгебраических и тригонометрических уравнений в символьном или численном видах;
  • выполнять символьные и численные операции с матрицами;
  • осуществлять символьное прямое и обратное преобразования Лапласа.

Кроме того, для быстрого и эффективного решения задач частотного анализа и исследования динамических свойств устройств можно дополнительно применить систему MATLAB, базирующуюся на матрично-векторных вычислениях и имеющую возможность обмена данными с программой MAPLE. Для демонстрации совместного использования обеих программ выполним анализ схемы замещения ППФ, в котором катушки включены последовательно и встречно.

В начале выберем систему координат — базис узловых потенциалов или базис контурных токов. В работе [2] рекомендуется для анализа цепей с индуктивными связями выбрать второй базис координат. Для этого базиса принимается такой порядок действий:

  • выбрать n независимых связанных контуров и задать направления положительных токов в каждом из них;
  • построить квадратную матрицу nхn для анализируемой цепи;
  • составить вектор задающих источников, действующих в контурах;
  • решить матричные уравнения цепи;
  • получить передаточную функцию. Квадратная матрица сопротивлений цепи

строится по следующим правилам [2]:

  • записать на главной диагонали матрицы суммы операторных сопротивлений всех пассивных двухполюсников, образующих контур, причем элемент zkk определяется в виде суммы операторных сопротивлений k-го контура;
  • включить в качестве остальных элементов матрицы взаимные операторные сопротивления контуров, в которых zki представляет собой сопротивление двухполюсника, общего для контуров с номерами k и i;
  • определить знаки взаимных сопротивлений, причем знак (+) ставится в случае одинакового направления токов контуров k и i, а знак (-) — при их противоположном направлении.

В строку вектора задающих источников можно вместо значений Еk записать 1. Тогда изображение реакции совпадет с выражением передаточной функции по току между источником и рассматриваемым контуром. Для нахождения передаточной функции по напряжению следует умножить передаточную функцию по току на операторное сопротивление двухполюсника, выбранного в качестве выхода (нагрузки) цепи.

Все перечисленные действия, связанные с получением и обработкой матрицы, выполним в программе MAPLE. Первое действие состоит в построении матрицы размером 3x3 для анализируемой цепи (рис. 2). В главной диагонали расположены три суммарных операторных сопротивления контуров, а остальные элементы состоят из сопротивлений, общих для двух соседних контуров. Все элементы выше и ниже главной диагонали берутся со знаком «-». Оператор ввода матрицы (все операторы ввода в дальнейшем показаны красным цветом) имеет вид:

>            A:=matrix(3,3,[R1+1/(S*C1),–1/(S*C1),0,-

1/(S*C1),1/(S*C1)+1/(S*C2)+S*(L1+L2)-2*S*M,-1/(S*C2),0,-

1/(S*C2),R2+1/(S*C2)]);

Сама матрица А, полученная после выполнения указанного оператора и записанная в память компьютера, приведена здесь

Все результаты выполнения операторов ввода имеют синий цвет. Переменная S представляет собой комплексную частоту, используемую в преобразовании Лапласа. Полученное выражение для матрицы А содержит только символы и до момента использования передаточная функция не требует введения их численных значений.

Для выполнения операций с матрицами в программе MAPLE необходимо подключить подпрограмму линейной алгебры, что осуществляется оператором ввода. Откликом на указанный оператор является сообщение о переопределении идентификаторов и снятии защиты с них и с пути, указанного в этой подпрограмме,

>            with(linalg):

the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Для введения вектора B задающих возмущений применяется оператор, в котором напряжению Е (источник в первом контуре) присваивается значение 1, а именно:

>            B:=vector(3,[1,0,0]);

B:=[1,0,0]

Выполнение последующего оператора

>            AI:=inverse(A);

позволяет найти матрицу AI, обратную (инверсную) по отношению к А, которая содержит громоздкие математические выражения для ее элементов и поэтому в тексте настоящей статьи не приводится.

Для нахождения символьных выражений для контурных токов в операторном виде следует использовать произведение инверсной матрицы AI и вектора-строки с задающими возмущениями B

>            IS:=multiply(AI,B);

Матрица IS в полном объеме в тексте не приводится, а показано только операторное выражение тока в третьем контуре:

I3:= (1)/(R1SR2C2+R1+R1SC1R2+R1S3C1C2L1R2+R1S2C1L1

+ R1S3C1C2L2R2+R1S2C1L2–2R1S3C1MC2R2–2R1S2C1M+R2+S2C2L1R2+SL1+S2

2L2R2+SL2–2S2MC2R2–2SM)

Передаточная функция ППФ вычисляется с помощью оператора

> W3:=R2*I3;

После его выполнения достигается требуемый результат — выражение передаточной функции ППФ в символьном виде:

W3:=R2/(R1SR2C2+R1+R1SC1R2+R1S3C1C2L1R2+R1S2C1L1

+R1S3C1C2L2R2+R1S2C1L2–2R1S3C1MC2R2–2R1S2C1M+R2 +S2C2L1R2+SL1+S2

2L2R2+SL2–2S2MC2R2–2SM)

В результате перекодировки получено это же выражение, пригодное для анализа в системе MATLAB.

>W3=R2/(R1*S*R2*C2+R1+R1*S*C1*R2+R1*S^3*C1*C2*L1*R2+R1*

^2*C1*L1+R1*S^3*C1*C2*L2*R2+R1*S^2*C1*L2–2*R1*S^3*C1*M*

2*R2–2*R1*S^2*C1*M+R2+S^2*C2*L1*R2+S*L1+S^2*C2*L2*R2+S*

2–2*S^2*M*C2*R2–2*S*M);

Для применения в MATLAB передаточной функции необходимо численное определение всех коэффициентов при комплексной переменной S с одинаковым показателем степени.

Основная особенность полученной передаточной функции заключается в том, что ее характеристическое уравнение (знаменатель) имеет третий порядок вместо ожидаемого пятого. Сокращение порядка связано с тем, что во втором контуре схемы замещения включены три индуктивности, которые программой MAPLE сведены к одному параметру L = L1+L2–2M. В числителе содержится только сопротивление нагрузки R2. Коэффициенты передаточной функции, приведенной выше, определяются по следующим формулам:

A3=C1*C2*R1*R2*(L1+L2–2*M);

A2=(C1*R1+C2*R2)*(L1+L2–2*M);

A1=R1*R2*C1+R1*R2*C2+L1+L2–2*M;

A0=R1+R2;

B0=R2.

Ее символьное обобщенное выражение имеет вид:

По полученному выражению с учетом конкретных значений параметров элементов цепи в системе MATLAB относительно просто находится реакция ППФ на единичный скачок входного напряжения, и строятся частотные характеристики системы. Для этого в окне отладчика, в соответствии с рекомендациями [3], составляется программа, сохраняемая под именем Per_F_PPF (рис. 3). Вначале вводятся исходные данные для расчета коэффициентов — значения параметров элементов анализируемой цепи (пример условный):

R1=0,01 Ом; R2=1 Ом; C1=1e–6 Ф; C2=1e–6 Ф; L1=2e–6 Гн; L2=1e–6 Гн.

Рис. 3. Программа для расчета коэффициентов передаточной функции, построения реакции на единичный скачок и частотных характеристик ППФ
Рис. 3. Программа для расчета коэффициентов передаточной функции, построения реакции на единичный скачок и частотных характеристик ППФ

Величина коэффициента связи задана kc = 0,5 для определения взаимной индуктивности катушек по формуле M = kc*sqrt(L1*L2), где функция sqrt — извлечение квадратного корня.

С помощью команды

W=tf([B0],[A3 A2 A1 A0])

создается передаточная функция ППФ в численном виде. Другие команды

step(W)

figure

freqs([B0],[A3 A2 A1 A0])

позволяют получить реакцию на единичный скачок, а также АЧХ и ФЧХ фильтра на двух отдельных рисунках, вызываемых в программе командой figure (рис. 3 и 4). Следует заметить, что указанные в перечисленных командах коэффициенты B0, A3, A2, A1, A0 необходимо задавать в численном виде.

Рис. 4. Расчетная реакция на единичный скачок (а) и частотные характеристики (б) ППФ
Рис. 4. Расчетная реакция на единичный скачок (а) и частотные характеристики (б) ППФ

В рассматриваемом случае после запуска программы в командном окне выводится выражение для передаточной функции (Transfer function) с численными значениями коэффициентов, а именно:

>> 

Transfer function:

1

-------------------------------------

1.586e-020 s^3 + 1.602e-012 s^2 + 1.606e-006 s + 1.01

Реакция на ступенчатое воздействие представляет собой кривую с перерегулированием 6,5% при длительности переходного процесса до 8 мкс (рис. 4а). Амплитудная и фазовая частотные характеристики (рис. 4б) показывают, что до частоты 106 рад/с коэффициент передачи ППФ составляет 1, а при частоте выше 108 он снижается в 105 раз. Специфика графика ФЧХ состоит в том, что он строится программой по частям. После –180° график для удобства построения (меньше занимает места по вертикали) изменяется скачком. Поскольку итоговый фазовый сдвиг системы третьего порядка достигает –270°, то после указанного скачка он определяется как φ= –180° – φ2, где φ2 — значение фазового сдвига со знаком (+) после полученного скачка.

Теперь следует проверить правильность получения передаточной функции ППФ на функциональной SPS-модели. Для этого построена модель PPFilter_1, состоящая из двух каналов: в первом катушки соединены встречно, во втором — согласно (рис. 5а). Правила построения таких моделей изложены в нашем журнале в цикле статей с общим названием «Школа MATLAB» (№ 1–4'2005, 1'2006). Настройка модели заключается в установке параметров элементов. Резистивные и емкостные элементы имеют те же параметры, что указаны выше при расчете передаточной функции. Для магнитно-связанных катушек значения L1, L2 и kc приведены в окнах настройки, которые одинаковы для обоих каналов (рис. 5б). Тип соединения катушек показан прямо на функциональной модели, что видно из направления стрелок. При этом знак у взаимной индуктивности учитывается автоматически в программе, описывающей построенную функциональную модель.

Рис. 5. Функциональная модель фильтра для получения реакции на единичный скачок при встречном и согласном включении катушек (а) и окно настройки параметров взаимной индуктивности (б)
Рис. 5. Функциональная модель фильтра для получения реакции на единичный скачок при встречном и согласном включении катушек (а) и окно настройки параметров взаимной индуктивности (б)

После запуска модели и ее расчета получены осциллограммы (рис. 6), отражающие реакцию ППФ на единичный скачок входного напряжения. На первой показана реакция в случае встречного соединения катушек (рис. 6а), а на второй — согласного (рис. 6б). Для случая встречного включения катушек проведены уточняющие измерения, показавшие, что численные значения перерегулирования и длительности переходного процесса выходного напряжения практически полностью совпадают с теми же значениями из символьного метода расчета (рис. 4а и 6а). При согласном соединении катушек процесс становится апериодическим и более затянутым.

Рис. 6. Реакция на единичный скачок при встречном (а) и согласном (б) включении катушек, полученная из функциональной модели
Рис. 6. Реакция на единичный скачок при встречном (а) и согласном (б) включении катушек, полученная из функциональной модели

Таким образом, проведенные расчеты и моделирование показали следующее: • построение эквивалентной схемы замещения фильтра с применением базиса контурных токов создает основу для символьного анализа процессов;

  • за счет построения матрицы сопротивлений с последующим преобразованием и решением матричных уравнений в операторной форме определяются контурные токи и передаточная функция в символьном виде;
  • при переходе от программы символьных вычислений MAPLE к системе матричных вычислений MATLAB появляется возможность численного расчета переходной характеристики, а также АЧХ и ФЧХ фильтра;
  • использование функциональной модели ППФ подтверждает удовлетворительную сходимость результатов символьных вычислений с результатами функционального моделирования.

Литература

  1. Зернов В. Н., Карпов В. Г. Теория радиотехнических цепей. Л.: Энергия. 1972.
  2. Кошелев П. А., Парамонов С. В., Пшенкин С. Н. Моделирование электронных устройств в символьных и матричных математических вычислительных средах // Exponenta PRO. Математика в приложениях. 2004. № 3–4.
  3. Худяков В. Школа MATLAB. Урок 5. Анализ динамических свойств устройств силовой электроники в частотной области // Силовая электроника. 2006. № 1.

Скачать статью в формате PDF

Скачать статью в формате PDF 2006_02_96.pdf  

 
ПОДПИСКА НА НОВОСТИ

Оцените, пожалуйста, удобство и практичность (usability) сайта:
Хорошо
Нормально
Плохо